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相关试卷

1、已知点 $A (- 2, - 1), B (2, 3)$ 到直线 $l : a x + y + 1 = 0$ 的距离相等，则 $a =$ （）

A、－1或0 B、 $- \frac{1}{2}$ C、－1 D、2

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2、生产A产品需要投入年固定成本5万元，每年生产 $x$ 万件 $(x \in N^{*})$ ，需要另外投入流动成本 $g (x)$ 万元，且 $g (x) = \{\begin{array}{l} \frac{1}{2} x^{2} + 4 x, 0 < x < 7 \\ 11 x + \frac{50}{x} - 35, x \geq 7 \end{array}$ ，每件产品售价为10元，且生产的产品当年能全部售完.

(1)、写出利润 $p (x)$ （万元）关于年产量 $x$ （万件）的函数解析式；（年利润=年销售收入-固定成本-流动成本）

(2)、年产量为多少万件时，该产品的年利润最大？最大年利润是多少？

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3、已知关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + b x - 12 \geq 0$ 的解集为 ${x ∣ x \leq - 3$ 或 $x \geq 4}$ ．

(1)、求 $a 、 b$ 的值；

(2)、求关于 $x$ 的不等式 $b x^{2} + a x + 6 \geq 0$ 的解集．

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4、已知集合 $A = \{x |3 \leq x < 5\}$ ， $B = \{x |4 x - 3 \geq 2 x + 5\}$ ．

(1)、求 $A \cup B$ ；

(2)、求 $(∁_{R} A) \cap (∁_{R} B)$ ．

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5、定义 $\min \{a, b\} = \{\begin{matrix} a, a \leq b \\ b, a > b \end{matrix}$ ，若函数 $f (x) = \min \{x^{2} - 3 x + 3, - |x - 3| + 3\}$ ，则 $f (x)$ 的最大值为；若 $f (x)$ 在区间 $[m, n]$ 上的值域为 $[\frac{3}{4}, \frac{7}{4}]$ ，则 $n - m$ 的最大值为．

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6、已知 $f (x) = \{\begin{array}{l} x + 1, x \geq 0 \\ x^{2}, x < 0 \end{array}$ ，则 $f (- 2) =$

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7、德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名的函数 $f (x) = \{\begin{matrix} 1, & x \in Q \\ 0, & x \in ∁_{R} Q \end{matrix}$ 被称为狄利克雷函数，其中 $R$ 为实数集， $Q$ 为有理数集，以下关于狄利克雷函数 $f (x)$ 的四个结论中，正确的个数是个.
①函数 $f (x)$ 偶函数；
②函数 $f (x)$ 的值域是 $\{0, 1\}$ ；
③若 $T \neq 0$ 且 $T$ 为有理数，则 $f (x + T) = f (x)$ 对任意的 $x \in R$ 恒成立；
④在 $f (x)$ 图象上存在不同的三个点 $A$ ， $B$ ， $C$ ，使得 $△ A B C$ 为等边角形.

A、1 B、2 C、3 D、4

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8、已知偶函数 $f (x)$ 的图象经过点 $(- 1, - 3) ，$ 且当 $0 \leq a < b$ 时，不等式 $\frac{f (b) - f (a)}{b - a} < 0$ 恒成立，则使得 $f (x - 2) + 3 < 0$ 成立的x取值范围为( )

A、 $(3, + \infty)$ B、 $(- \infty, 1) \cup (3, + \infty)$ C、(1，3) D、[1，3]

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9、已知函数 $f (x) = 2 x^{2} - a x + 5$ ， $x \in [- 1, 2]$ ．

(1)、当 $a = 4$ 时，求 $f (x)$ 的最值；

(2)、若 $f (x)$ 的最小值为 $- 5$ ，求实数 $a$ 的值．

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10、已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} x + 1, x \leq - 2 \\ 3 x + 5, - 2 < x < 2 \\ 2 x - 1, x \geq 2 \end{matrix}$

(1)、求 $f (- 5)$ ， $f (1)$ ， $f (f (- \frac{5}{2}))$ ；

(2)、若 $f (a^{2} + 2) \geq a + 4$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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11、已知定义域为 $R$ 的偶函数 $f (x)$ 满足：对任意 $x_{1}, x_{2} \in [0, + \infty) (x_{1} \neq x_{2})$ ，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ 成立，则满足 $f (2 x - 1) \leq f (1)$ 的 $x$ 取值范围是．

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12、若函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} (3 a - 1) x + 4 a, x < 1 \\ - a x, x \geq 1 \end{array}$ ，是定义在 $R$ 上的减函数，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[\frac{1}{8}, \frac{1}{3})$ B、 $(0, \frac{1}{3})$ C、 $[\frac{1}{8}, + \infty)$ D、 $(- \infty, \frac{1}{8}] \cup [\frac{1}{3}, + \infty)$

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13、下列函数中为奇函数且在 $(0, + \infty)$ 上单调递增的是（）

A、 $f (x) = - x^{3}$ B、 $f (x) = - \frac{1}{|x|}$ C、 $f (x) = x |x|$ D、 $f (x) = x + \frac{1}{x}$

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14、已知 $A (- 1, 0)$ ， $B (1, 0)$ ，平面上有动点 $P$ ，且直线 $A P$ 的斜率与直线 $B P$ 的斜率之积为1.

(1)、求动点 $P$ 的轨迹 $Ω$ 的方程.

(2)、过点A的直线与 $Ω$ 交于点 $M$ （ $M$ 在第一象限），过点 $B$ 的直线与 $Ω$ 交于点 $N$ （ $N$ 在第三象限），记直线 $A M$ ， $B N$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，且 $k_{1} = 4 k_{2}$ .试判断 $△ A M N$ 与 $△ B M N$ 的面积之比是否为定值，若为定值，请求出该定值；若不为定值，请说明理由.

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15、记 $S_{n}$ 为等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和．已知 $a_{1} = a_{3} + a_{4} = - 10$ ，则 $S_{n}$ 的最小值为．

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16、比亚迪将在2024年发布第二代刀片电池，能量密度更高，带来更长的续航里程，更耐低温，除此之外还将发布 $1000 V$ 高压 $Sic$ 平台，实现充电 $5 \sim 8$ 分钟续航500公里.已知在每款新能源电车正式发布前要对每辆车进行续航､抗压等相关系数的测验，现随机抽取将要上市发布的8台新能源电车进行续航系数测评，得到下列一组样本数据： $1, 2, 3, 4, 1, 5, 1, 2$ ，则（）

A、这组数据的众数为1 B、这组数据的极差为3 C、这组数据的平均数为2.5 D、这组数据的 $40 %$ 分位数为2

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17、若i是虚数单位，复数 $\frac{2 - i}{1 + i} =$

A、 $\frac{1}{2} + \frac{3}{2} i$ B、 $\frac{1}{2} - \frac{3}{2} i$ C、 $\frac{3}{2} + \frac{3}{2} i$ D、 $\frac{3}{2} - \frac{3}{2} i$

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18、如图，在菱形 $A B C D$ 中， $∠ B A D = 60 °$ ， $E$ 是 $A D$ 的中点，将 $△ A B E$ 沿直线 $B E$ 翻折使点 $A$ 到达点 $A_{1}$ 的位置， $F$ 为线段 $A_{1} C$ 的中点.

(1)、求证： $D F ∥$ 平面 $A_{1} B E$ ；

(2)、若平面 $A_{1} B E ⊥$ 平面 $B C D E$ ，求直线 $A_{1} E$ 与平面 $A_{1} B C$ 所成角的大小.

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19、卵形曲线也叫卵形线，是常见曲线的一种，分笛卡尔卵形线和卡西尼卵形线.卡西尼卵形线是平面内与两个定点（叫做焦点）距离之积等于常数的点的轨迹.设焦点 $F_{1} (- c ， 0) ， F_{2} (c ， 0)$ 是平面内两个定点， $| P F_{1} | \cdot | P F_{2} | = a^{2}$ （ $a$ 是定长），特别地，当 $c = a$ 时的卡西尼卵形线又称为伯努利双纽线，某同学通过类比椭圆与双曲线的研究方法，对伯努利双纽线进行了相关性质的探究，得到下列结论，其中正确的是（）

A、曲线过原点 B、关于原点中心对称且关于坐标轴成轴对称 C、方程为 ${(x^{2} + y^{2})}^{2} = 2 a^{2} (x^{2} - y^{2})$ D、曲线上任意点 $P (x_{0} ， y_{0})$ ， $x_{0} \in [- a ， a]$ ， $y_{0} \in [- \frac{a}{2} ， \frac{a}{2}]$

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20、若数列 $\{a_{n}\} \{b_{n}\}$ 满足：对于任意正整数n， $(a_{n} - b_{n}) (a_{n + 1} - b_{n + 1}) \leq 0$ ，则称 $a_{n}$ ， $b_{n}$ 互为交错数列．记正项数列 $\{x_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，已知1， $\sqrt{S_{n} + 1}$ ， $x_{n}$ 成等差数列，则与数列 $\{x_{n}\}$ 互为交错数列的是（）

A、 $a_{n} = n + \sin n π$ B、 $b_{n} = n + \cos n π$ C、 $c_{n} = 2 n + \sin n π$ D、 $d_{n} = 2 n + \cos n π$

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