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相关试卷

1、已知双曲线 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左，右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，过点 $F_{1}$ 的直线交 $E$ 的左支于 $A, B$ 两点，若 $|A F_{1}|, |A F_{2}|, |B F_{2}|$ 成等差数列，且 $\cos ∠ A F_{2} B = \frac{1}{3}$ ，则 $E$ 的离心率是（）

A、 $\frac{\sqrt{33}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{15}}{2}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $3$

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2、在等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{2} + a_{5} = 7, a_{7} + a_{10} = 25$ ，则 $a_{6} =$ （）

A、6 B、7 C、8 D、9

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3、已知圆心为 $C$ 的圆经过点 $A (1, 1)$ 和 $B (2, - 2)$ ，且圆心 $C$ 在直线 $l : x - y + 1 = 0$ 上．

(1)、求圆 $C$ 的方程；

(2)、若线段 $P Q$ 的端点 $P$ 的坐标是 $(5, 0)$ ，端点 $Q$ 在圆 $C$ 上运动，求线段 $P Q$ 的中点 $M$ 的轨迹方程．

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4、已知 $S_{n}$ 是等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和，且 $S_{n} = - n^{2} + 15 n$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、n为何值时， $S_{n}$ 取得最大值并求其最大值.

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5、已知直线 $l : (m - 2) x + y - 2 m + 1 = 0$ ，圆 $C : {(x - 3)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 9$ ，直线l与圆C交于 $M, N$ 两点，则弦长 $|M N|$ 的最小值为．

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6、已知抛物线 $C : y^{2} = 8 x$ 的焦点为F，点P在C上，若点 $Q (6, 3)$ ，则 $△ P Q F$ 周长的最小值为.

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7、已知双曲线 $\frac{y^{2}}{m^{2}} - \frac{x^{2}}{12} = 1$ 的焦距为 $2 \sqrt{15}$ ，则该双曲线的渐近线方程为.

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8、已知正方体ABCD－EFGH棱长为2，M为棱CG的中点，P为底面EFGH上的动点，则（）

A、存在点P，使得 $|A P| + |P M| = 4$ B、存在唯一点P，使得 $A P ⊥ P M$ C、当 $A M ⊥ B P$ ，此时点P的轨迹长度为 $\sqrt{2}$ D、当P为底面EFGH的中心时，三棱锥P－ABM的外接球体积为 $\frac{9 π}{2}$

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9、已知空间向量 $\vec{a} = (2, - 3, 3)$ ， $\vec{b} = (3, - 1, x)$ ，下列说法正确的是（）

A、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $x = - 3$ B、若 $x = - 2$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $\frac{3}{14} \vec{b}$ C、若 $|\vec{b}| = \sqrt{14}$ ，则 $x = 2$ D、若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为钝角，则 $x \in (3, + \infty)$

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10、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点为 $F$ ，直线 $y = \sqrt{3} x$ 与 $C$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，且 $A F ⊥ B F$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{3} - 1$ B、 $\sqrt{2} - 1$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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11、直线 $y = x + b$ 与曲线 $x = \sqrt{4 - y^{2}}$ 恰有两个不同的公共点，则实数b的取值范围是（）

A、 $[- 2, 2 \sqrt{2}]$ B、 $(- 2 \sqrt{2}, - 2]$ C、 $(- 2, 2)$ D、 $[- 2 \sqrt{2}, - 2)$

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12、设数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n + 1} = \frac{1 + a_{n}}{1 - a_{n}}$ ，且 $a_{1} = \frac{1}{2}$ ，则 $a_{2025} =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- \frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、3

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13、圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} = 4$ 和圆 $C_{2} : {(x - 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4$ 的公共弦长为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $\frac{9}{2}$ C、 $\frac{9}{4}$ D、 $\sqrt{2}$

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14、据有关文献记载：我国古代一座9层塔共挂了126盏灯，且相邻两层中的下一层灯数比上一层灯数都多3盏，则塔的底层共有灯（）

A、38盏 B、32盏 C、26盏 D、18盏

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15、设函数 $f (x) = x^{2} + a x + b, (a, b \in R)$ .
（1）当 $b = \frac{a^{2}}{4} + 1$ 时，求函数 $f (x)$ 在 $[- 1, 1]$ 上的最小值 $g (a)$ 的表达式；
（2）已知函数 $f (x)$ 在 $[- 1, 1]$ 上存在零点， $0 \leq b - 2 a \leq 1$ ，求 $b$ 的取值范围.

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16、已知函数 $f (x) = {log}_{2} \frac{a - x}{1 + x}$ 为奇函数， $g (x) = m \cdot 4^{x} - 2^{x + 2} + 1$ .

(1)、求实数 $a$ 的值；

(2)、 $\forall x_{1} \in [0, 1]$ ， $\exists x_{2} \in [0, 1)$ ，使得 $g (x_{1}) = f (x_{2})$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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17、如图，有一个扇环形花圃ABCD，外圆弧的半径是内圆弧半径的两倍，周长为定值2l，圆心角为 $α (0 < α < π)$ ．

(1)、当 $α = 2$ 时，求弧 $\overset{⌢}{B C}$ 的中点E到弦BC的距离，

(2)、当 $α$ 为多少弧度时，扇环面积最大，并求出最大面积．

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18、已知 $a, b, c \in [\frac{1}{2}, 1]$ ，则 $\frac{a^{2} + 2 b^{2} + c^{2}}{a b + b c}$ 的取值范围是．

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19、 $\sin (\frac{π}{6} + α) + \cos (\frac{2 π}{3} + α) =$ ．

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20、已知 $\{x |x \neq \frac{k π}{2}, k \in Z\}$ ，则函数 $y = \frac{| \sin x |}{\sin x} + \frac{| \cos x |}{\cos x} - \frac{2 | \sin x \cos x |}{\sin x \cos x}$ 的值可能是（）

A、0 B、 $- 4$ C、4 D、2

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