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相关试卷

1、已知向量 $\vec{a} = (2, - 1, 1), \vec{b} = (1, x, 1), \vec{c} = (1, - 2, - 1)$ ，当 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ 时，向量 $\vec{b}$ 在向量 $\vec{c}$ 上的投影向量为（）

A、 $\sqrt{6}$ B、 $- \sqrt{6}$ C、 $- \sqrt{6} \vec{c}$ D、 $- \vec{c}$

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2、自然对数 $e$ 也称为欧拉数，它是数学上最重要的常数之一， $e$ 的近似值约为 $2.7182818 \dots$ ，若用欧拉数的其中 $6$ 位数字 $1, 8, 2, 8, 1, 8$ 设置一个 $6$ 位数的密码，则不同的密码有（）个

A、 $720$ B、 $180$ C、 $60$ D、 $260$

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3、某高一班级有40名学生，在一次物理考试中统计出平均分数为70，方差为95，后来发现有2名同学的成绩有误，甲实得70分却记为50分，乙实得60分却记为80分，则更正后的方差是.

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4、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，左，右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 的直线交 $C$ 于 $A$ ， $B$ 两点．若 $A F_{1} ⊥ A F_{2}$ ，则 $\frac{|A F_{2}|}{|B F_{2}|} =$ （）

A、2 B、3 C、4 D、5

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5、已知空间向量 $\vec{a} = (2, 1, 3)$ ， $\vec{b} = (- 1, 2, - 2)$ ， $\vec{c} = (7, 6, λ)$ ，若向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 共面，则实数 $λ$ 的值为（）.

A、8 B、9 C、10 D、11

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6、已知 $f (x)$ 是定义在R上的奇函数，且当 $x > 0$ 时， $f (x) = (x^{2} - 3) e^{x} + 2$ ，则（）

A、 $f (0) = 0$ B、当 $x < 0$ 时， $f (x) = - (x^{2} - 3) e^{- x} - 2$ C、 $f (x) \geq 2$ 当且仅当 $x \geq \sqrt{3}$ D、 $x = - 1$ 是 $f (x)$ 的极大值点

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7、已知函数 $f (x) = e^{x - 1} - \frac{n}{x}$ ， $n \in N^{*}$ ．

(1)、证明： $f (x)$ 有唯一零点；

(2)、记 $f (x)$ 的零点为 $a_{n}$ ．
（i）数列 $\{a_{n}\}$ 中是否存在连续三项按某顺序构成等比数列，并说明理由；
（ii）证明： $2 (\sqrt{n + 1} - 1) < \sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{a_{i}} \leq \frac{n + 1 + ln n}{2}$ ．

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8、某公司邀请棋手与该公司研制的一款机器人进行象棋比赛，规则如下：棋手的初始分为 $200$ ，每局比赛，棋手胜加 $100$ 分；平局不得分；棋手负减 $100$ 分．当棋手总分为 $0$ 时，挑战失败，比赛终止；当棋手总分为 $300$ 时，挑战成功，比赛终止；否则比赛继续．已知每局比赛棋手胜、平、负的概率分别为 $\frac{1}{4}$ 、 $\frac{1}{4}$ 、 $\frac{1}{2}$ ，且各局比赛相互独立.

(1)、求两局后比赛终止的概率；

(2)、在 $3$ 局后比赛终止的条件下，求棋手挑战成功的概率；

(3)、在挑战过程中，棋手每胜 $1$ 局，获奖 $5$ 千元．记 $n (n \geq 10)$ 局后比赛终止且棋手获奖 $1$ 万元的概率为 $P (n)$ ，求 $P (n)$ 的最大值．

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9、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P B = P C$ ， $D$ 为 $B C$ 的中点，平面 $P A D ⊥$ 平面 $P B C$ ．

(1)、证明： $A B = A C$ ；

(2)、若 $A B ⊥ A C$ ， $A B = 2$ ， $P A = P D = 1$ ，求平面 $P A B$ 与平面 $P A C$ 的夹角的正弦值．

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10、设函数 $f (x) = (x - a) (x - b) (x - c)$ ，其中 $a < b < c$ ．若 $f (1 + x) f (2 - x) \leq 0$ 对任意的 $x \in R$ 恒成立，则 $a + b + c =$ ．

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11、已知 $sin 2 α = 2 sin 2 β$ ， $cos 2 α = 4 {sin}^{2} β$ ，则 $cos (2 α + β) =$ ．

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12、已知点 $A$ 在直线 $x - y + 1 = 0$ 上， $\vec{A B} = (2, 0)$ ，则原点 $O$ 与 $B$ 的最短距离为．

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13、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，设 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ ，定义： ${‖A B‖}_{n} = {({|x_{1} - x_{2}|}^{n} + {|y_{1} - y_{2}|}^{n})}^{\frac{1}{n}}$ ．若 $s, t \in N^{*}$ ，且 $s < t$ ，则下列结论正确的是（）

A、若 $A, B$ 关于x轴对称，则 ${‖A B‖}_{s} = {‖A B‖}_{t}$ B、若 $A, B$ 关于直线 $y = x$ 对称，则 ${‖A B‖}_{s} \geq {‖A B‖}_{t}$ C、若 ${‖O A‖}_{s} = 2 {‖O B‖}_{s}$ ，则 ${‖O A‖}_{t} = 2 {‖O B‖}_{t}$ D、若 $P = \{M |{||A M||}_{s} \leq 1\}$ ， $Q = \{M {|||A M||}_{t} \leq 1\}$ ，则 $P \subseteq Q$

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14、已知函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的定义域均为 $R$ ， $f (x) \geq g (x)$ （当且仅当 $x = 0$ 时，等号成立），则下列结论可能正确的是（）

A、 $\forall x \in R$ ， $f (x) \geq f (0)$ ，且 $g (x) \leq g (0)$ B、 $\forall x \in R$ ， $f (x) \geq f (0)$ ，且 $g (x) \geq g (0)$ C、 $\forall x_{1} \in R$ ， $f (x_{1}) \leq f (0)$ ，且 $\exists x_{2} \in R$ ， $g (x_{2}) > g (0)$ D、 $\exists x_{1} \in R$ ， $f (x_{1}) < f (0)$ ，且 $\exists x_{2} \in R$ ， $g (x_{2}) > g (0)$

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15、若函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} \frac{ln x}{x}, x \geq 2 \\ k x, x < 2 \end{array}$ 有最大值，则 $k$ 的最大值为（）

A、 $\frac{ln 2}{4}$ B、 $\frac{ln 2}{2}$ C、 $\frac{1}{2 e}$ D、 $\frac{1}{e^{2}}$

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16、已知4个不全相等的正整数的平均数与中位数都是2，则这组数据的极差为（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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17、已知 $z = \frac{1 - i}{1 + i}$ ，则 $|\bar{z}| =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、4

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18、在一个不透明的口袋中装有大小、形状完全相同的n个小球，将它们分别编号为 $1, 2, 3, \cdot \cdot \cdot, n$ ．每次从口袋中随机抽取一个小球，记录编号后放回，直至取遍所有小球后立刻停止摸球．记总的摸球次数为 $X_{n}$ ，其期望为 $E (X_{n})$ ．

(1)、求 $P (X_{2} = 4)$ 与 $P (X_{3} = 5)$ ；

(2)、求 $E (X_{2})$ ；

(3)、证明： $E (X_{n}) > n \ln (n + 1)$ ．
附：①若随机变量 $X$ 的可能取值为 $1, 2, 3, \cdot \cdot \cdot, n, \cdot \cdot \cdot$ ，则 $E (X) = \sum_{i = 1}^{+ \infty} (k \cdot P (X = k)) = \lim_{n \to + \infty} \sum_{i = 1}^{n} (k \cdot P (X = k))$
②若随机变量 $X = \sum_{i = 1}^{n} ξ_{i}$ ，则 $E (X) = \sum_{i = 1}^{n} E (ξ_{i})$ ．

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19、如图，四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长均为2，且 $B D = 2$ ， $\cos ∠ A_{1} A B = \cos ∠ A_{1} A D = \frac{3}{4}$ ， $E$ 是 $A_{1} C_{1}$ 中点．

(1)、求证：平面 $A_{1} B D ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、求二面角 $A_{1} - B C - E$ 的余弦值．

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20、已知 $A (4, 0)$ 和 $P (2, \sqrt{2})$ ，直线 $A P$ 与椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 切于点 $P$ .

(1)、求 $C$ 的离心率；

(2)、若过 $P$ 的直线 $l$ 交 $C$ 于另一点 $B$ ，且 $△ A B P$ 的面积为 $4 \sqrt{2}$ ，求 $l$ 的方程.

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