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相关试卷

1、若复数 $z$ 满足 $z = i (i - 1)$ ，则 $|z| =$ （）

A、 $- 1$ B、 $1$ C、 $\sqrt{2} i$ D、 $\sqrt{2}$

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2、从1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取3个不同的数，且这三个数之积为偶数，记满足条件的这三个数之和为 $X$ ；从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，且这两个数之积为偶数，记满足条件的两个数之和为 $Y$ .则 $P (X = Y) =$ .

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3、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} - x^{2} + 2 a x + 3 a, x < - 1, \\ x^{3} + 1, x \geq - 1 \end{array}$ 在 $R$ 上单调递增，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - 1]$ B、 $[- 1, 0]$ C、 $[0, 1]$ D、 $[- 1, 1]$

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4、在空间直角坐标系中，已知向量 $\vec{u} = (a, b, c) (a b c \neq 0)$ ，点 $P_{0} (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ ，点 $P (x, y, z)$ ．
（1）若直线l经过点 $P_{0}$ ，且以 $\vec{u}$ 为方向向量，P是直线l上的任意一点，求证： $\frac{x - x_{0}}{a} = \frac{y - y_{0}}{b} = \frac{z - z_{0}}{c}$
（2）若平面 $α$ 经过点 $P_{0}$ ，且以 $\vec{u}$ 为法向量，P是平面 $α$ 内的任意一点，求证： $a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) +$ $c (z - z_{0}) = 0$ ．

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5、在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ， $\vec{A A_{1}} = \vec{c}$ ， $E$ ， $F$ 分别是 $A D_{1}$ ， $B D$ 的中点．

(1)、用向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 表示 $\vec{D_{1} B}$ ， $\vec{E F}$ ；

(2)、若 $\vec{D_{1} F} = x \vec{a} + y \vec{b} + z \vec{c}$ ，求 $\vec{D_{1} F}$ 在基 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ 下的坐标．

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6、设 $M (x_{1}, y_{1}), N (x_{2}, y_{2})$ 为不同的两点，直线 $l : A x + B y + C = 0$ ，记 $λ = \frac{A x_{1} + B y_{1} + C}{A x_{2} + B y_{2} + C}$ ，当 $λ =$ 时，直线 $l$ 经过 $M N$ 的中点．

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7、与直线 $l : \sqrt{3} y - 3 x + 6 = 0$ 相交于 $(2, 0)$ 且与直线l夹角为 $\frac{π}{6}$ 的直线方程为．

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8、向量 $\vec{a} = (1, 0, k), \vec{b} = (- 1, 2, 1)$ ，若 $k \vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $k =$ ．

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9、已知直线 $l_{1}$ ： $(a + 1) x + a y + 2 = 0$ ， $l_{2}$ ： $a x + (1 - a) y - 1 = 0$ ，则（）

A、 $l_{1}$ 的斜率可为任意值 B、若 $l_{1} ∥ l_{2}$ ，则 $a^{2} = \frac{1}{2}$ C、若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则 $a^{2} = 1$ D、当 $0 \leq a \leq 1$ 时， $l_{2}$ 不经过第三象限

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10、空间中，已知 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 不共线，那么“ $\vec{c}$ 与 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 共面”的充分不必要条件是（）

A、存在唯一一组实数 $λ$ 、 $μ$ ，使得 $\vec{c} = λ \vec{a} + μ \vec{b}$ B、 $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$ C、不存在实数 $λ$ 、 $μ$ ，使得 $\vec{c} = λ \vec{a} + μ \vec{b}$ D、 $\vec{c} = \vec{0}$

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11、（多选）若圆上的点 $(2, 1)$ 关于直线 $x + y = 0$ 的对称点仍在圆上，且圆的半径为 $\sqrt{5}$ ，则圆的标准方程可能是（）

A、 $x^{2} + y^{2} = 5$ B、 ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 5$ C、 $x^{2} + {(y + 1)}^{2} = 5$ D、 ${(x - 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 5$

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12、直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ ，底面ABC为直角三角形且 $A B = A C = A A_{1}$ ， $\vec{B_{1} P} = λ \vec{C_{1} B_{1}}$ 且 $λ \in (- 1, - \frac{1}{2})$ ，求二面角 $P - A C - B$ 的平面角的余弦值的取值范围（）

A、 $[0, \frac{\sqrt{5}}{5}]$ B、 $(- \frac{\sqrt{5}}{5}, 0)$ C、 $(0, \frac{\sqrt{2}}{2})$ D、 $(0, \frac{\sqrt{5}}{5})$

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13、直线 $l_{1} : 5 x - 12 y + 4 = 0$ 与直线 $l_{2} : 10 x - 24 y - 18 = 0$ 上各有一动点 $P$ 、 $Q$ ，那么 $|P Q|$ 最小值为（）

A、0 B、1 C、 $\frac{5}{13}$ D、 $\frac{22}{13}$

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14、曲线 $| x |^{2} + {(|y| - 4)}^{2} = 1$ 所表达的图形是（）

A、以 $(0, 4)$ 为圆心 $1$ 为半径的圆 B、以 $(0, 4)$ 为圆心 $1$ 为半径的圆面 C、以 $(0, 4)$ 为圆心1为半径的圆和以 $(0, 4)$ 为圆心，3为半径的圆构成的同心圆 D、以 $(0, 4)$ 为圆心1为半径的圆和以 $(0, - 4)$ 为圆心，1为半径的圆

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15、圆 ${(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 25$ 上到点 $(\frac{1}{4}, \frac{1}{3})$ 距离最小的点的坐标为（）

A、 $(0, 0)$ B、 $(3, 4)$ C、 $(6, 8)$ D、 $(\frac{1}{4}, \frac{\sqrt{279} + 16}{4})$

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16、以下说法正确的个数是（）
①平行于同一向量的向量共线．
②空间中，不以原点为起点的 $\vec{A B}$ 关于原点对称的向量是 $\vec{B A}$ ．
③正四面体任意以顶点为起点和终点构成的向量之间夹角为 $\frac{π}{3}$
④直线l的方向向量是 $\vec{l} = (1, - 1, 0)$ ，平面 $α$ 的一个法向量 $\vec{n} = (0, 1, 0)$ ，那么直线l与平面 $α$ 所成角为 $\frac{3 π}{4}$

A、0 B、1 C、2 D、3

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17、 $A = \{(x, y) | x + y + 2 = 0\}$ ， $B = \{(x, y) | x - y = 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $x \neq - 1$ B、 $(- 1, - 1)$ C、 $\{(x, y) | x = - 1, y = - 1\}$ D、 $\{(x, y) | x + y + 2 = 0, x \neq - 1\}$

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18、向量 $\vec{A C} = (\sqrt{2}, 0, 1), \vec{A D} = (\frac{\sqrt{2}}{4}, - 3, 2)$ ，则 $\vec{A C} - 4 \vec{D A} =$ （）

A、 $(0, - 12, 7)$ B、 $(0, 12, - 7)$ C、 $(2 \sqrt{2}, - 12, 9)$ D、 $(- 2 \sqrt{2}, 12, - 9)$

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19、直线的方向向量坐标为 $(- \sqrt{2}, - \sqrt{2})$ ，则直线的倾斜角为（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{3 π}{4}$ D、 $\frac{5 π}{4}$

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20、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 与双曲线 $\frac{y^{2}}{6} - \frac{x^{2}}{2} = 1$ 的渐近线相同，且经过点 $(2, 3)$ ．

(1)、求双曲线 $C$ 的方程；

(2)、若斜率为 $\frac{\sqrt{15}}{5}$ 的直线 $l$ 过双曲线的左焦点，分别交双曲线于 $P$ 、 $Q$ 两点，求证： $O P ⊥ O Q$ .

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