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相关试卷

1、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $4 b {sin}^{2} \frac{A}{2} + c = 2 b$

(1)、判断 $△ A B C$ 的形状；

(2)、若 $A D = 3$ ，且 $D$ 是边 $B C$ 的中点，求 $△ A B C$ 的面积最大值．

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2、2024年7月26日，第33届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎开幕，足球作为其中的一项团队运动项目，风䨾世界，深受大众喜欢，为了解喜爱足球运动是否与性别有关，随机抽取了男性和女性观众各100名进行调查，得到如下 $2 \times 2$ 列联表．
喜爱足球运动
不喜爱足球运动
合计
男性
60
40
100
女性
30
70
100
合计
90
110
200

(1)、判断是否有 $99.9 %$ 的把握认为喜爱足球运动与性别有关；

(2)、用样本分布的频率估计总体分布的概率，若现在从喜爱足球运动的观众中随机抽取3名，记男性的人数为 $X$ ，求事件 $X$ 的分布列和数学期望；
$α$
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}, n = a + b + c + d$ ．

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3、若关于 $α$ 的方程 $\frac{\cos 2 α + 1 + m \sin 2 α}{m \cos 2 α + m - \sin 2 α} = \frac{\sin^{3} α}{\cos^{3} α}$ 在区间 $(0, \frac{π}{4})$ 上有且仅有一个实数解，则实数 $m =$ ．

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4、数列 $\{a_{n}\}$ 中，满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = \frac{n a_{n}}{n + 2} (n \in N^{*})$ ，则 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{2025}$ ．

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5、若随机变量 $η$ 服从正态分布 $N (5, δ^{2})$ ，且 $P (η < 2) = 0.1$ ，则 $P (2 < η < 8) =$ ．

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6、已知函数 $f (x) = {(x - 1)}^{2} (x - 4) + m$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ （）

A、若 $f (x)$ 有三个零点，则 $0 < m < 4$ B、 $f^{'} (4 - x) = f^{'} (x)$ C、 $x = 1$ 是 $f (x)$ 的极小值点 D、当 $x \geq 0, f (x) \geq 0$ 时，则 $m \geq 4$

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7、已知 $z_{1}, z_{2}$ 是复数，i为虚数单位，则下列说法正确的是（）

A、若 $|z_{1}| = 1$ ，则 $z_{1} = i$ B、 $\forall z_{1}, z_{z} \in C, |z_{1} z_{2}| = |z_{1}| |z_{2}|$ C、 $z_{1} - z_{2} > 0$ 是 $z_{1} > z_{2}$ 的充要条件 D、若 $z_{1} z_{2} = 0$ ，则 $z_{1}, z_{2}$ 中至少有一个为0

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8、已知对任意的 $a$ ， $b \in R$ 都有 $(b - a) e^{b - a} \geq b e^{- b} - λ a$ 恒成立，则实数 $λ$ 的值为（）

A、 $e$ B、1 C、0 D、 $- e$

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9、在三棱锥 $P - A B C$ 中，平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C, △ P A B$ 为等腰三角形，且 $∠ A P B = 120^{\circ}$ ， $A B = 2 \sqrt{3}, A C = 4, ∠ B A C = 90^{\circ}$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 外接球的表面积为（）

A、 $32 π$ B、 $64 π$ C、 $80 π$ D、 $128 π$

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10、已知在平面直角坐标系 $x o y$ 中， $A (- 2, 1), B (- 2, 2)$ ，动点 $P$ 满足 $\frac{|P A|}{|P B|} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，点 $Q$ 为抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 上一动点，且点 $Q$ 在直线 $x = - 2$ 上的投影为 $R$ ，则 $|P B| + \sqrt{2} |P Q| + \sqrt{2} |Q R|$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{10}$ B、 $2 \sqrt{5}$ C、 $2 \sqrt{5} + \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{10}$

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11、已知 $(1 + a x) {(2 - x)}^{4} (a \in R)$ 的展开式中 $x^{4}$ 的系数为17．则实数 $a$ 的值为（）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、1 D、2

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12、已知 $|\vec{a}| = \sqrt{3}, \vec{b} = (2, 2), | \vec{a} - 2 \vec{b} | = \sqrt{51}$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量为（）

A、 $(1, 1)$ B、 $(- 1, - 1)$ C、 $(2 \sqrt{2}, 2 \sqrt{2})$ D、 $(- 2 \sqrt{2}, - 2 \sqrt{2})$

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13、已知函数 $f (x) = cos (x + \frac{π}{3})$ ，现将函数 $f (x)$ 的图象横坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$ ，纵坐标不变得到函数 $g (x)$ ，则 $g (\frac{π}{6})$ 值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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14、若 $x > 1$ ，则函数 $y = 2 x + \frac{8}{x - 1}$ 的最小值为（）

A、8 B、9 C、10 D、11

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15、已知集合 $A = \{x |\frac{x - 3}{x + 1} \leq 0\}$ ，集合 $B = \{x |x^{2} + x - 2 \leq 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $[- 2, 3]$ B、 $[- 1, 1]$ C、 $(- 1, 2]$ D、 $(- 1, 1]$

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16、如图所示， $M$ 、 $D$ 分别为椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + y^{2} = 1 (a > 1)$ 的左、右顶点，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

(1)、求椭圆的标准方程；

(2)、过 $M$ 点作两条互相垂直的直线 $M A$ ， $M B$ 与椭圆交于 $A$ ， $B$ 两点，求 $△ D A B$ 面积的最大值.

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17、如图，在三棱锥 $A - B C D$ 中，平面 $A B D ⊥$ 平面 $B C D$ ， $A B = A D$ ， $O$ 为 $B D$ 的中点， $△ O C D$ 是边长为 $1$ 的等边三角形，且 $V_{A - B C D} = \frac{\sqrt{3}}{6}$ ．

(1)、证明： $O A ⊥ C D$ ；

(2)、在棱 $A D$ 上是否存在点 $E$ ，使二面角 $E - B C - D$ 的大小为 $45^{\circ}$ ？若存在，并求出 $\frac{A E}{E D}$ 的值．

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18、某中外合作办学学院为了统计学院往届毕业生薪酬情况，面向学院部分毕业生发放问卷统计了其薪资情况，共有200名毕业生进行了问卷填写．毕业生年薪（单位：万元），以 $[10, 20)$ ， $[20, 30)$ ， $[30, 40)$ ， $[40, 50)$ ， $[50, 60)$ ， $[60, 70)$ ， $[70, 80)$ 分组的频率分布直方图如图所示，年薪在 $[50, 60)$ 的毕业生人数比年薪在 $[10, 20)$ 的毕业生人数多22人．

(1)、求直方图中x，y的值；

(2)、①用样本估计总体，比较学院毕业生与同类型合作办学高校毕业生薪资水平，如果至少77%的毕业生年薪高于同类型合作办学高校毕业生平均薪资水平，则说明同类型合作办学高校毕业生平均年薪最高为多少；
②若将频率视为概率，现从该学院毕业生中随机抽取4人，其中年薪高于50万的人数为 $ξ$ ，求 $ξ$ 的分布列及数学期望 $E (ξ)$ ．

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19、函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，对任意 $x, y \in R$ ，恒有 $f (x) + f (y) = 2 f (\frac{x + y}{2}) \cdot f (\frac{x - y}{2})$ .若 $f (1) = \frac{1}{2}$ ，则 $f (- 1) =$ ， $\sum_{n = 1}^{2024} f (n) =$ .

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20、要排出高一某班一天上午5节课的课表，其中语文、数学、英语、艺术、体育各一节，若要求语文、数学选一门第一节课上，且艺术、体育不相邻上课，则不同的排法种数是．

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	喜爱足球运动	不喜爱足球运动	合计
男性	60	40	100
女性	30	70	100
合计	90	110	200

$α$	0.100	0.050	0.025	0.010	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	5.024	6.635	10.828