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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = {log}_{2} x, g (x) = \sqrt{x^{3} + x - a}$ .

(1)、若直线 $x = t (t > 0)$ 与直线 $y = 2 x$ 交于点 $P$ ，与 $f (x)$ 的图象交于点 $Q$ ，求 $|P Q|$ 的最小值；

(2)、设函数 $y = \sqrt{f (x) - 1}$ 的定义域为 $A, g (x)$ 的定义域为 $B$ ，且 $A \cap B = A$ ，求 $a$ 的取值集合.

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2、在 $△ A B C$ 中，设角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $A$ ， $B$ ， $C$ 成等差数列，且 $b = \sqrt{5}$ .

(1)、求 $△ A B C$ 外接圆的面积；

(2)、若 $a = \frac{\sqrt{30}}{3}$ ，求 $A$ ， $C$ .

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3、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{3} + a_{5} = a_{4} + 7, a_{10} = 19$ ，则数列 $\{a_{n} \cos n π\}$ 的前10项和为.

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4、 $\vec{a} = (- 1, \sqrt{3})$ ， $\vec{b} = (\sqrt{3}, 3)$ 的夹角为.

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5、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的公差为 $d (d \neq 0)$ ，等比数列 $\{b_{n}\}$ 的公比为 $q (q \neq 1)$ ，且 $a_{1} = b_{1} = 1$ ， $a_{2} = b_{2} ， a_{5} = b_{3}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $d = 2$ B、数列 $\{b_{n}\}$ 是递增数列 C、存在正整数 $m$ ，使得 $a_{m} = b_{m + 1}$ D、存在正整数 $k$ ，使得 $a_{k + 1} - a_{k} = b_{k + 1} - b_{k}$

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6、函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则（）

A、 $f (x) = 3 sin (2 x + \frac{π}{6})$ B、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = - \frac{π}{3}$ 对称 C、若方程 $f (x) = \frac{3}{2}$ 在 $(0, m)$ 上有且只有6个根，则 $m \in (3 π, \frac{10 π}{3}]$ D、 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度后得到函数 $g (x) = 3 cos 2 x$

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7、下列不等式成立的是（）

A、 ${(\frac{1}{2})}^{- 2.1} < {(\frac{1}{2})}^{- 1.3}$ B、 ${(\sqrt{2})}^{3} > {(\sqrt{2})}^{2 \sqrt{2}}$ C、 $2^{- \frac{1}{3}} < 3^{- \frac{1}{3}}$ D、 ${(- 1.2)}^{3} < {(- 0.8)}^{3}$

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8、若 $α \in (0, π)$ ，且 $sin α - cos α = sin α cos α$ ，则 $sin α - cos α =$ （）

A、 $- 1 + \sqrt{2}$ B、 $- \sqrt{2} + 1$ C、 $- \sqrt{2} \pm 1$ D、 $- 1 \pm \sqrt{2}$

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9、已知函数 $f (x) = e^{x} - a x + b (a, b \in R), g (x) = x^{2} + x$ ，若这两个函数的图象在公共点 $A (1, 2)$ 处有相同的切线，则 $a + b$ 的值为（）

A、 $e - 4$ B、 $e + 2$ C、e D、 $e^{2}$

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10、在等比数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1}, a_{19}$ 是方程 $x^{2} + 6 x + 4 = 0$ 的两根，则 $a_{3} a_{17} + a_{10}$ 等于（）

A、 $6$ B、 $2$ C、 $2$ 或 $6$ D、 $- 2$

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11、已知 $f (x)$ 是定义在 $[0, 2]$ 上的函数，则“对 $\forall x \in (0, 2]$ ， $f (x) > f (0)$ 都成立”是 $f (x)$ 在 $[0, 2]$ 上是增函数”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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12、设 $M = \{x |x = 6 k - 2 . k \in Z\}$ ， $N = \{x |x = 3 k + 1, k \in Z\}$ ，则（）

A、 $M \subseteq N$ B、 $N \subseteq M$ C、 $M = N$ D、 $M ⊄ N$

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13、若复数 $z = a + b i (a, b \in R)$ 满足： $z + i \bar{z} = 2 + 2 i$ ，则 $a + b =$ （）

A、 $0$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $4$

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14、下列函数中，既是偶函数又在 $(0, + \infty)$ 上单调递减的为（）

A、 $y = x^{- 1}$ B、 $y = x^{- 4}$ C、 $y = ln x$ D、 $y = 2^{|x|}$

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15、 $△ A B C$ 中，内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ， $A = \frac{π}{3}$ ．

(1)、若 $b = 2$ ， $c = 3$ ．求证： $\frac{a}{tan A} + \frac{b}{sin B} = \sqrt{21}$ ；

(2)、若 $D$ 为 $B C$ 边的中点，且 $△ A B C$ 的面积为 $6 \sqrt{3}$ ，求 $A D$ 长的最小值．

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16、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足 $- \frac{2 a}{c} = 1 + \frac{\tan B}{\tan C}$

(1)、求角B的大小；

(2)、若 $b = 2 \sqrt{3}$ ， D为AC边上的一点， $B D = 1$ ，且BD是 $∠ B$ 的平分线，求 $△ A B C$ 的面积.

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17、某人参加一项抽奖游戏，盒中放有红、蓝、绿、黄四色小球各1个，参加游戏的人需有放回地从盒中连续摸两次，每次摸出1个小球，并记录小球的颜色（其中红色、黄色为暖色；蓝色、绿色为冷色）．设两次记录的颜色分别为α，b．奖励规则如下：①若两次记录的颜色中有红色，获得一等奖；②若两次记录的颜色中没有红色，但不全是冷色，获得二等奖；③其余情形获得鼓励奖．假设小球除颜色外其他都相同．

(1)、求此人获得一等奖的概率；

(2)、比较此人获得二等奖与获得鼓励奖的概率的大小，并说明理由．

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18、已知圆 $C$ 关于直线 $x - y + 1 = 0$ 对称的圆的方程 ${(x - 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 1$ ，则圆 $C$ 的方程为.

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19、已知 $△ A B C$ 的三内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 满足 $16 \sin C \cos (A - B) + 8 \sin 2 C = 3 π$ ，则 $△ A B C$ 的面积与 $△ A B C$ 外接圆的面积之比为．

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20、下列四个命题为真命题的是（）．

A、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $a = \sqrt{3}$ ， $b = 2$ ， $A = θ$ ，要使满足条件的三角形有且只有两个，则 $θ \in (0, \frac{π}{6})$ B、若向量 $\vec{a} = (5, 0)$ ， $\vec{b} = (2, 1)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $(4, 2)$ C、已知向量 $\vec{a} = (\cos α, \sin α)$ ， $\vec{b} = (2, 1)$ ，则 $|\vec{a} - \vec{b}|$ 的最大值为 $\sqrt{5} + 1$ D、函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，若 $f (x + 1)$ 为偶函数， $f (x + 2)$ 为奇函数，则 $f (2024) = 0$

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