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相关试卷

1、已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左顶点为 $A (- 2, 0)$ ，且过点 $B (- 4, 3)$ ． $C$ 的右支上有三点 $P, M, N$ 满足 $B M // A P$ ， $A N // B P$ ．

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、求 $△ P M N$ 的面积；

(3)、求四边形 $A B M N$ 面积的最小值．

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2、直椭圆柱体是指上下底面为椭圆，侧面与底面垂直的柱体．如图，已知某直椭圆柱体的底面椭圆离心率为 $\frac{1}{2}$ ，高为椭圆短轴长的一半，上底面椭圆的长轴为 $A_{1} B_{1}$ ，下底面椭圆的长轴为 $A B$ ，点 $E$ 为 $A B$ 上一点，过点 $E$ 作直线交椭圆于 $C$ ， $D$ 两点，设线段 $A E$ 与线段 $B E$ 的长度之比为 $m$ ．

(1)、当点 $E$ 为底面椭圆的焦点时，求 $m$ 的值；

(2)、当 $A B ⊥ C D$ ， $m = \frac{3}{4}$ 时，求平面 $A_{1} C B$ 与平面 $A_{1} D B$ 夹角的余弦值．

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3、已知曲线 $y_{1} = x ln (a x) - a x + 1 (a > 0)$ 与曲线 $y_{2} = ln (a x) + 1 - a$ 交于 $A (1, m)$ ， $B (x_{0}, n)$ 两点．

(1)、求 $n$ ；

(2)、求 $x_{0}$ 的最小值．

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4、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项积为 $T_{n}$ ， $\{T_{n}\}$ 为公差不为0的等差数列，且 $a_{1} = 2$ ， $T_{1}, T_{3}, T_{7}$ 成等比数列．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = |a_{n + 1} - a_{n}|$ ，记 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，证明： $S_{n} < 1$ ．

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5、已知圆 $C$ ： ${(x - 3)}^{2} + y^{2} = 9$ ，直线 $l$ ： $y = k x - 2$ ．

(1)、若 $l$ 与 $C$ 仅有一个交点，求 $k$ ；

(2)、设 $O$ 为坐标原点，点 $P$ 满足 $|P O| = 2 |P C|$ ，且点 $P$ 在直线 $l$ 上，求 $k$ 的取值范围．

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6、曲线 $y = a e^{x} (a > 1)$ 与曲线 $y = e^{x} + a$ 公切线斜率的最小值为．

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7、已知正项等比数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{5} - a_{1} = 15$ ， $a_{4} - a_{2} = 6$ ，则 $a_{6} =$ ．

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8、函数 $f (x) = 3 e^{x} - \cos x$ 在 $[0, 1]$ 上的最大值为．

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9、平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的各棱长为1，且 $M$ 、 $N$ 、 $P$ 、 $Q$ 分别为 $A D$ 、 $B C$ 、 $A_{1} B_{1}$ 、 $C_{1} D_{1}$ 中点．若 $M N$ 、 $M P$ 、 $P Q$ 两两垂直，则（）

A、 $∠ B A D = 90 °$ B、 $∠ B A A_{1} = 150 °$ C、 $∠ D A A_{1} = 60 °$ D、四面体 $M N P Q$ 的体积为 $\frac{\sqrt{2}}{12}$

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10、记 $S_{n}$ 为首项为2的数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，已知 $a_{n} - a_{n} a_{n + 1} = 1$ ，则（）

A、 $2 a_{2} = 1$ B、 $a_{4} = 3$ C、 $a_{2025} + 1 = 0$ D、 $2 S_{2025} = 2023$

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11、在某次物理试验课堂上，某同学利用位移跟踪仪记录了一玩具车在静止状态下释放，其运动的位移方程满足 $S (t) = 3 t^{2} + 2 (1 \leq t \leq 6)$ ，则（）

A、该玩具车位移的最大值为110 B、该玩具车在 $[1, 4]$ 内的平均速度为12.5 C、该玩具车在 $t = 5$ 时的瞬时速度为30 D、该玩具车的速度 $v$ 和时间 $t$ 的关系式是 $v (t) = 6 t (1 \leq t \leq 6)$

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12、棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $\vec{A_{1} D_{1}} = 2 \vec{A_{1} M}$ ， $\vec{D_{1} N} = \vec{N C_{1}}$ ， $P$ 为平面 $A C B_{1}$ 上的一动点（包含边界），则 $△ M P N$ 周长的最小值为（）（附：平面的截距式方程为： $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ ，其中 $a$ ， $b$ ， $c$ 分别为平面在 $x$ ， $y$ ， $z$ 轴上的截距）

A、 $\frac{\sqrt{14}}{2} + \sqrt{3}$ B、 $4 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{14} + 1$ D、 $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{14}}{2}$

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13、记 $S_{n}$ 为等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，且 $a_{k}^{2} - a_{k - 1} - a_{k + 1} = 0$ ， $S_{2 k - 1} = 22$ ，则 $k =$ （）

A、12 B、8 C、6 D、3

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14、已知 $x = 0$ 是函数 $f (x) = x^{3} - a x^{2} + (a^{2} + a) x - 2$ 的极小值点，则 $f (a + 1) =$ （）

A、 $- 2$ B、0 C、 $- 1$ D、 $- 1$ 或 $- 2$

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15、若函数 $f (x) = x^{2} + \frac{a}{x}$ 在 $[2, + \infty)$ 上单调递增，则 $a$ 的最大值为（）

A、4 B、8 C、12 D、16

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16、已知抛物线 $C$ ： $4 x^{2} + m y = 0$ 恰好经过圆 $M$ ： ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 1$ 的圆心，则 $C$ 的准线方程为（）

A、 $y = \frac{1}{8}$ B、 $y = - \frac{1}{8}$ C、 $x = \frac{1}{8}$ D、 $x = - \frac{1}{8}$

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17、已知函数 $f (x) = e^{x} - f^{'} (1) x$ ，则 $f^{'} (1) =$ （）

A、0 B、1 C、 $\frac{e}{2}$ D、 $\frac{e}{4}$

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18、已知首项为1的数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = \frac{n}{n + 2}$ ，则 $a_{3} =$ （）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{4}$

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19、曲线 $y = \frac{x - 1}{x + 1}$ 在点 $(0, - 1)$ 处的切线斜率为（）

A、2 B、1 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{4}$

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20、如图，在 $△ A O B$ 中， $\overset{⃑}{O C} = \frac{1}{4} \overset{⃑}{O A}$ ， $\overset{⃑}{O D} = \frac{1}{2} \overset{⃑}{O B}$ ， $A D$ 与 $B C$ 相交于点M，设 $\overset{⃑}{O A} = \vec{a}$ ， $\overset{⃑}{O B} = \vec{b}$ ，
（1）试用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 表示向量 $\overset{⃑}{O M}$ ：
（2）在线段 $A C$ 上取一点E，在 $B D$ 上取一点F，使得 $E F$ 过点M，设 $\overset{⃑}{O E} = λ \overset{⃑}{O A}$ ， $\overset{⃑}{O F} = μ \overset{⃑}{O B}$ ，求证： $\frac{1}{7 λ} + \frac{3}{7 μ} = 1$ ．

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