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相关试卷

1、已知复数 $z = (m^{2} - 1) + (m - 1) i (m \in R)$

(1)、若复数 $z$ 为纯虚数，求实数 $m$ 的值；

(2)、已知 $- 3 + 2 i$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} + p x + q = 0$ 的一个根，其中 $p$ ， $q \in R$ ，求 $p + q$ 的值．

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2、如图1，这是清风楼，位于河北省邢台市，始建于唐、宋年间，是邢台市地标性建筑之一，也是邢台历史人文的一个缩影．某数学兴趣小组成员为测量清风楼的高度，在与楼底 $O$ 位于同一水平面上共线的 $A$ ， $B$ ， $C$ 三处进行测量，如图2．已知在 $A$ 处测得塔顶 $P$ 的仰角为 $30 °$ ，在 $B$ 处测得塔顶 $P$ 的仰角为 $45 °$ ，在 $C$ 处测得塔顶 $P$ 的仰角为 $60 °$ ， $B C = A B = 22$ 米，则清风楼的高度 $O P =$ ．

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3、已知向量 $\overset{⇀}{a}$ 、 $\overset{⇀}{b}$ 满足 $| \overset{⇀}{a} | = 2$ ， $| \overset{⇀}{b} | = \sqrt{3}$ ，且 $(\overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b}) ⊥ \overset{⇀}{b}$ ，则 $\overset{⇀}{a}$ 与 $\overset{⇀}{b}$ 的夹角为.

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4、若复数 $z$ 满足 $z = \frac{1 - 2 i}{2 - i}$ （ $i$ 为虚数单位），则复数 $z$ 的虚部为．

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5、如图，该几何体是高相等的正四棱柱和正四棱锥组成的几何体，若该几何体底面边长和上面正四棱锥的侧棱长均为10cm，则下列选项中正确的是（）

A、该几何体的高为 $10 \sqrt{2} cm$ B、该几何体的表面积为 $100 \sqrt{3} + 200 \sqrt{2} {cm}^{2}$ C、该几何体的体积为 $\frac{2000 \sqrt{2}}{3} {cm}^{3}$ D、一只小蚂蚁从点 $E$ 爬行到点 $S$ ，所经过的最短路程为 $\sqrt{150 + 50 \sqrt{6}} cm$

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6、下列说法中正确的是（）

A、若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ， $\vec{b} / / \vec{c}$ ，则 $\vec{a} / / \vec{c}$ B、两个非零向量 $\overset{⃑}{a}$ ， $\overset{⃑}{b}$ ，若 $|\vec{a} - \vec{b}| = |\vec{a}| + |\vec{b}|$ ，则 $\overset{⃑}{a}$ 与 $\overset{⃑}{b}$ 共线且反向 C、若 $\overset{⃑}{a} // \overset{⃑}{b}$ ，则存在唯一实数 $λ$ 使得 $\overset{⃑}{a} = λ \overset{⃑}{b}$ D、若 $P$ 是三角形 $A B C$ 的重心，则 $\overset{⃑}{P A} + \overset{⃑}{P B} + \overset{⃑}{P C} = \overset{⃑}{0}$

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7、正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系．在如图所示的正五角星 $A B C D E$ 中， $A B = 8$ ， $O$ 是该正五角星的中心，则 $\vec{O A} \cdot \vec{A E} =$ （）

A、 $- 32$ B、32 C、 $- 64$ D、64

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8、已知复数 $z$ 满足 $| z - 2 - 2 i | = 2$ ，则 $| z |$ 最大值为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{2} + 1$ D、 $2 \sqrt{2} + 2$

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9、已知 $A (2, 3)$ ， $B (4, - 3)$ ，点 $P$ 在线段 $A B$ 的延长线上，且 $| \vec{A P} | = \frac{3}{2} | \vec{B P} |$ ，则点 $P$ 的坐标是（）

A、 $(8, - 15)$ B、 $(- 8, 15)$ C、 $(15, - 8)$ D、 $(- 15, 8)$

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10、如图， $△ O^{'} A^{'} B^{'}$ 是水平放置的 $△ O A B$ 的直观图，则 $△ O A B$ 的面积为（）

A、6 B、9 C、12 D、15

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11、已知向量 $\vec{a} = (2, - 1)$ ， $\vec{b} = (1, 3)$ ，且 $(\vec{a} - \vec{b}) ⊥ (k \vec{a} + \vec{b})$ ，则 $k =$ （）

A、 $- \frac{11}{2}$ B、 $\frac{11}{6}$ C、 $- 1$ D、 $\frac{13}{2}$

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12、在 $△ A B C$ 中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知 $B = 30 °$ ， $c = 15$ ， $b = 5 \sqrt{3}$ ，那么这个三角形是（）

A、等边三角形 B、等腰三角形 C、直角三角形 D、等腰三角形或直角三角形

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13、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 3$ ， $| \vec{b} | = 2$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = 3$ ，则 $| \vec{a} - \vec{b} | =$ （）

A、7 B、 $\sqrt{19}$ C、 $\sqrt{7}$ D、4

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14、在复平面中，复数 $z = \frac{2}{1 + i}$ 的共轭复数所对应的点的坐标为（）

A、 $(i, 1)$ B、 $(1, i)$ C、 $(1, 1)$ D、 $(1, - 1)$

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15、已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，点 $P (a, 2)$ 在 $C$ 上，且 $|P F| = 2$ .

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、过点 $P$ 作圆 $O : x^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)$ 的两条切线 $l_{1}, l_{2}$ ，且 $l_{1}, l_{2}$ 分别与 $C$ 相交于点 $A$ ， $B$ （异于点 $P$ ）.
（ⅰ）若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，求 $△ P A B$ .面积；
（ⅱ）证明：直线 $A B$ 过定点.

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16、如图，在 $△ A B C$ 中， $D, E$ 分别是 $A B, A C$ 上的点，且 $B D = C E, B E$ 与 $C D$ 交于点 $O$ ，已知 $O C = O D = 2$ ，且 $∠ E O C = \frac{π}{3}$ .

(1)、若 $O B = \frac{3}{2}$ ，求 $B C$ 的长；

(2)、求 $B E$ 的长.

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17、如图，在四棱锥 $E - A B C D$ 中，底面四边形 $A B C D$ 是正方形， $A E ⊥$ 平面 $C D E$ ，二面角 $E - A B - D$ 为 $\frac{π}{4}$ .

(1)、证明：平面 $A D E ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、求直线 $B E$ 与平面 $A B C D$ 所成角的正弦值.

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18、某景区经过提质改造后统计连续5天进入该景区参观的人数（单位：千人）如下：
日期
3月5日
3月6日
3月7日
3月8日
3月9日
第x天
1
2
3
4
5
参观人数y
2.2
2.6
3.1
5.2
6.9

(1)、建立 $y$ 关于 $x$ 的回归直线方程，预测第10天进入该景区参观的人数；

(2)、该景区只开放东门，西门供游客出入，游客从东门，西门进入该景区的概率分别为 $\frac{3}{4}$ 、 $\frac{1}{4}$ ，且出景区与进入景区选择相同的门的概率为 $\frac{1}{5}$ ，出景区与进入景区选择不同的门的概率为 $\frac{4}{5}$ .假设游客从东门，西门出入景区互不影响，求甲，乙两名游客都从西门出景区的概率.
附：参考数据： $\sum_{i = 1}^{5} x_{i} y_{i} = 72, \sum_{i = 1}^{5} x_{i}^{2} = 55, \bar{y} = 4$ .
参考公式：回归直线方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ，其中 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ .

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19、已知函数 $f (x) = cos(ω x - \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 在区间 $(- π, π)$ 上有且仅有1个零点和1条对称轴，则实数 $ω$ 的取值范围是.

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20、若函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} 1 - a x, x \leq 1 \\ x ln x, x > 1 \end{array}$ 有最小值，则实数 $a$ 的取值范围是.

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日期	3月5日	3月6日	3月7日	3月8日	3月9日
第x天	1	2	3	4	5
参观人数y	2.2	2.6	3.1	5.2	6.9