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相关试卷

1、在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是矩形，侧棱 $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $E, F$ 分别是 $A B, P C$ 的中点， $P A = A D = 2, C D = \sqrt{2}$ .

(1)、若 $\vec{B C} = 4 \vec{B M}$ ，求证： $E D ⊥$ 平面 $P A M$ ；

(2)、求 $P D$ 与平面 $E F D$ 所成角的正弦值.

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2、平面内一动点 $C$ 到点 $A (1, 0)$ 与 $B (4, 0)$ 的距离之比为 $1 : 2$ .

(1)、求动点 $C$ 的轨迹方程：

(2)、过 $A$ 点且斜率为 $1$ 的直线 $l$ 与曲线 $C$ 交于 $M, N$ 两点，求 $|M N|$ 的值.

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3、已知 $x, y > 0, x y = 6$ ，则 $x + y - \sqrt{{(x + 3)}^{2} + {(y + 2)}^{2}}$ 的最大值是.

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4、若过点 $(0 ， - 1)$ 的直线l与抛物线 $y^{2} = 2 x$ 有且只有一个交点，则这样的直线l共有条.

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5、若直线 $l$ 和平面 $α$ 所成角的正弦值为 $\frac{1}{2}$ ，则直线 $l$ 的一个方向向量和平面 $α$ 的一个法向量的夹角的大小为.

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6、已知棱长为12的正四面体ABCD中， $M$ 为CD中点，P、Q分别为四面体ABCD的内切球和外接球上的动点，则（）

A、|PQ|的最大值为 $4 \sqrt{6}$ B、 $| P A |^{2} + | P B |^{2} + | P C |^{2} + | P D |^{2} = 240$ C、 $| Q A |^{2} + | Q B |^{2} + | Q C |^{2} + | Q D |^{2} = 480$ D、若 $\vec{P Q} = x \vec{M A} + y \vec{M B} + z \vec{M C}$ ，则 $x + y + z$ 的最大值为 $\frac{3}{2}$

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7、已知抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，过 $F$ 的直线交抛物线于 $A, B$ ， $Q$ 为抛物线上一个动点， $P (2, 1)$ ，则（）

A、 $F$ 的坐标为 $(1, 0)$ B、 $|A B|$ 的最小值为2 C、若 $Q (1, 2)$ ，则过 $Q$ 与抛物线相切的直线的方程为 $y = x + 1$ D、 $|P Q| + |Q F|$ 的最小值为3

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8、已知 $F$ 为双曲线 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左焦点， $P$ 为 $E$ 右支上一点，若 $| P F | = 2 b$ ，则双曲线 $E$ 的离心率 $e$ 可能为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{5}{3}$ D、2

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9、如图，已知抛物线 $x^{2} = 4 y$ 的焦点为 $F$ ，过拋物线上两点 $A (x_{1}, y_{1}), B (x_{2}, y_{2})$ 作切线交于 $P$ ，若 $S_{△ P B F} = 4 S_{△ P A F}$ ，则 $4 y_{1} - y_{2} =$ （）

A、 $- 3$ B、 $- 2$ C、 $- 1$ D、 $0$

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10、双曲线 $C : \frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{16} = 1$ 的右支上一点 $P$ 在第一象限， $F_{1}, F_{2}$ 分别为双曲线 $C$ 的左、右焦点，若 $△ P F_{1} F_{2}$ 内切圆 $I$ 与 $y$ 轴相切， $A$ 为双曲线 $C$ 的左顶点，则直线AI的方程为（）

A、 $2 x - 5 y + 6 = 0$ B、 $2 x - 3 y + 6 = 0$ C、 $x - 3 y + 3 = 0$ D、 $x - 2 y + 3 = 0$

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11、自点 $A (- 2, 2)$ 发出的光线 $l$ 经过 $x$ 轴反射，其反射光线所在直线与圆 $M : x^{2} + y^{2} - 4 x - 6 y + 9 = 0$ 相切，则满足条件的反射光线所在直线的斜率之积为（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{10}{3}$ C、1 D、 $\frac{7}{4}$

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12、一动圆与圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 外切，同时与圆 $x^{2} + y^{2} - 6 x - 7 = 0$ 内切，则该动圆圆心的轨迹是（）

A、椭圆 B、双曲线的一支 C、抛物线 D、圆

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13、已知 $A (0, 0, 1), B (0, 1, 0), C (2, 0, 0), D (3, 0, 2)$ ，则点 $D$ 到平面 $A B C$ 的距离为（）

A、2 B、3 C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{5}{3}$

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14、如果 $a b > 0$ ，那么直线 $a x + b y + 1 = 0$ 一定经过（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、坐标原点

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15、已知空间向量 $\vec{a} = (1, 2, 1), \vec{b} = (3, - 2, 1), \vec{c} = (- 3, 2, 1)$ ，则（）

A、 $| \vec{a} | = 2$ B、 $\vec{b} / / \vec{c}$ C、 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ D、 ${\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}}$ 不能构成空间的一组基底

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16、在空间直角坐标系中，点 $P (1, - 2, 3)$ 关于 $x O z$ 平面对称的点的坐标是（）

A、 $(1, 2, 3)$ B、 $(- 1, - 2, 3)$ C、 $(1, - 2, - 3)$ D、 $(- 1, 2, - 3)$

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17、已知函数 $y = \sqrt{\frac{x}{x - 1} + 1}$ 则函数定义域为（）

A、 $(- \infty, \frac{1}{2}] \cup [1, + \infty)$ B、 $[\frac{1}{2}, 1)$ C、 $(- \infty, \frac{1}{2}] \cup (1, + \infty)$ D、 $[\frac{1}{2}, 1]$

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18、已知函数 $f (x), g (x)$ 是定在 $R$ 上的函数，且满足关系 $g (x) = f (x) \cdot f (x + \frac{π}{2})$ ．

(1)、若 $f (x) = |\sin x| + \cos x$ ，若 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ ，求 $y = g (x)$ 的值域；

(2)、若 $f (x) = |\sin x| + \cos x$ ，存在 $x_{1}, x_{2} \in R$ ，对任意 $x \in R$ ，有 $g (x_{1}) \leq g (x) \leq g (x_{2})$ 恒成立，求 $|x_{1} - x_{2}|$ 的最小值；

(3)、若 $f (x) = \cos x + \sin x$ ，要使得 $F (x) = a \sin x + g (x)$ 在 $(0, n π) (n \in N^{*})$ 内恰有2022个零点，请求出所有满足条件的 $a$ 与 $n$ ．

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19、已知函数 $f (x) = 2 sin x cos x + \frac{{tan}^{2} x - 1}{{tan}^{2} x + 1}$

(1)、化简 $f (x)$

(2)、在锐角 $△ A B C$ 中，内角 $A$ 满足 $f (A) = \frac{\sqrt{2}}{3}$ ，求 $cos 2 A$ 的值

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20、已知 $|\vec{a}| = 4$ ， $|\vec{b}| = 2$ ，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $120 °$ ，求：

(1)、 $|2 \vec{a} - \vec{b}|$ ；

(2)、若向量 $\vec{a} - λ \vec{b}$ 与 $λ \vec{a} - 4 \vec{b}$ 的夹角为锐角，求实数 $λ$ 的取值范围．

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