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相关试卷

1、（1）已知 ${log}_{(x - 2)} (x^{2} - 7 x + 13) = 0$ ，求 $x$ 的值；
（2）已知 $a^{\frac{1}{2}} + a^{- \frac{1}{2}} = 3$ （ $a > 0$ ），求值： $\frac{a^{2} + a^{- 2} + 1}{a + a^{- 1} + 1}$ .

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2、某商店进货单价为45元，若按50元一个销售，能卖出50个，若销售单价每涨1元，其销售量就减少2个，为了获得最大利润，此商品的最佳售价应为每个元.

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3、已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} 4 x - 2 ， x < 1 \\ 3^{x} ， x \geq 1 \end{matrix}$ 则 $f (f (\frac{3}{4})) =$ .

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4、若 $\log_{5} (\log_{3} (\log_{2} x)) = 0 ， x =$ ．

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5、下列运算正确的是（）

A、 $2 \log_{\frac{1}{5}} 10 + \log_{\frac{1}{5}} 0.25 = 2$ B、 $\log_{4} 27 \cdot \log_{25} 8 \cdot \log_{9} 5 = \frac{9}{8}$ C、 $\lg 2 + \lg 50 = 2$ D、 $9^{\frac{1}{2}} + \ln e = 4$

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6、已知集合 $P = \{x | (x - 3) (x - 2) = 0\}$ ，则下列关系式表示正确的有（）

A、 $\{3\} \in P$ B、 $- 2 \in P$ C、 $\emptyset \subseteq P$ D、 $P \subseteq \{2, 3\}$

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7、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} a x^{2} - 2 x - a, x \geq 1 \\ (a + 3) x - 1, x < 1 \end{cases}$ ，在 $R$ 上单调递减，则实数a的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - 3)$ B、 $[- 4, - 3)$ C、 $[- 4, 0)$ D、 $(- 4, 0)$

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8、已知幂函数 $f (x) = (b - 1) x^{a}$ 的图象过点 $(\sqrt{3}, \frac{1}{3})$ ，则 $a + b$ 等于（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、0 C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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9、若 $0 < t < 1$ ，则不等式 $(x - t) (x - \frac{1}{t}) < 0$ 的解集是（）

A、 $(\frac{1}{t}, t)$ B、 $(- \infty, t) \cup (\frac{1}{t}, + \infty)$ C、 $(- \infty, - \frac{1}{t}) \cup (- t, + \infty)$ D、 $(t, \frac{1}{t})$

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10、函数 $f (x) = a^{x - 3} + 2$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）的图象恒过定点（）

A、 $(0, 1)$ B、 $(0, 3)$ C、 $(3, 3)$ D、 $(4, 1)$

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11、下列四组函数中， $f (x)$ 与 $g (x)$ 表示同一函数是（）

A、 $f (x) = x - 1, g (x) = \frac{x^{2} - 1}{x + 1}$ B、 $f (x) = |x + 1|, g (x) = \{\begin{matrix} x + 1, x \geq - 1 \\ - x - 1, x < - 1 \end{matrix}$ C、 $f (x) = 1, g (x) = {(x + 1)}^{0}$ D、 $f (x) = x, g (x) = {(\sqrt{x})}^{2}$

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12、设：p： $x < 23$ ， q： $13 < x < 23$ ，则p是q成立的（）

A、充分必要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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13、函数 $y = 2 x + \frac{1}{x} (x > 0)$ 的最小值为（）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、3 D、4

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14、已知集合 $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ ， $B = \{2, 3\}$ ， $C = \{2, 4, 6\}$ ，则 $(∁_{A} B) \cap C =$ （）

A、 $\{2, 4, 6\}$ B、 $\{1, 3, 4, 5, 6\}$ C、 $\{4, 6\}$ D、 $\{2\}$

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15、某地政府为进一步推进地区创业基地建设，助推创业带动就业工作，拟对创业者提供 $x (0 \leq x \leq 20)$ 万元的创业补助．某企业拟定在申请得到 $x$ 万元创业补助后，将产量增加到 $m = (x + 2)$ 万件，同时企业生产 $m$ 万件产品需要投入的成本为 $(7 m + \frac{162}{m} + 2 x)$ 万元，并以每件 $(6 + \frac{108}{m})$ 元的价格将其生产的产品全部售出．（注：收益＝销售金额＋创业补助－成本）

(1)、求该企业获得创业补助后的收益 $y$ 万元与创业补助 $x$ 万元的函数关系式；

(2)、当创业补助为多少万元时，该企业所获收益最大？

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16、已知集合 $A = {x ∣ 3 - m < x < 2 m + 1}$ ， $B = {x | x^{2} - x - 2 > 0}$ ．

(1)、当 $m = 2$ 时，求 $A \cap (∁_{R} B)$ ， $A \cup (∁_{R} B)$ ；

(2)、若 $A \cap B = A$ ，求实数m的取值范围．

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17、若关于 $x$ 的不等式 $x^{2} + (m + 2) x + 2 m < 0$ 的解集中恰有两个整数，则实数 $m$ 的取值范围是．

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18、若无穷数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $\forall n \in N^{*}$ ， $|a_{n} - a_{n + 1}| = n + 1$ ，则称 $\{a_{n}\}$ 具有性质 $P_{1}$ ．若无穷数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $\forall n \in N^{*}$ ， $a_{n} a_{n + 4} + 1 \geq a_{n + 2}^{2}$ ，则称 $\{a_{n}\}$ 具有性质 $P_{2}$ ．

(1)、若数列 $\{a_{n}\}$ 具有性质 $P_{1}$ ，且 $a_{1} = 0$ ，请直接写出 $a_{3}$ 的所有可能取值；

(2)、若等差数列 $\{a_{n}\}$ 具有性质 $P_{2}$ ，且 $a_{1} = 1$ ，求 $a_{2}^{2} + a_{3}^{2}$ 的取值范围；

(3)、已知无穷数列 $\{a_{n}\}$ 同时具有性质 $P_{1}$ 和性质 $P_{2}$ ， $a_{5} = 3$ ，且 $0$ 不是数列 $\{a_{n}\}$ 的项，求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式．

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19、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面 $A B C$ 是边长为2的正三角形，侧面 $A C C_{1} A_{1}$ 是菱形，平面 $A C C_{1} A_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ， $E$ ， $F$ 分别是棱 $A_{1} C_{1}$ ， $B C$ 的中点， $G$ 是棱 $C C_{1}$ 上一点，且 $\vec{C_{1} G} = t \vec{G C} (t > 0)$ ．

(1)、证明： $E F$ $/ /$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ；

(2)、若三棱锥 $C {}_{1}- A B C$ 的体积为1，且二面角 $A - E G - F$ 的余弦值为 $\frac{4 \sqrt{53}}{53}$ ，求 $t$ 的值．

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20、古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积等于圆周率 $π$ 与椭圆的长半轴长、短半轴长的乘积.已知椭圆 $M$ 的中心为坐标原点，焦点 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 均在 $x$ 轴上，面积为 $2 π$ ，点 $(1, \frac{\sqrt{3}}{2})$ 在椭圆 $M$ 上.

(1)、求椭圆 $M$ 的标准方程；

(2)、经过点 $P (- 1, 0)$ 的直线 $l$ 与曲线 $M$ 交于 $A$ ， $B$ 两点， $△ O A B$ 与椭圆 $M$ 的面积比为 $\frac{2}{5 π}$ ，求直线 $l$ 的方程.

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