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相关试卷

1、如图，边长为2的等边 $△ P C D$ 所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面， $B C = 2 \sqrt{2}$ ， M为BC的中点.

(1)、证明： $A M ⊥ P M$ ；

(2)、求平面PAM与平面ABCD的夹角的大小；

(3)、求点D到平面AMP的距离.

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2、已知以点C为圆心的圆经过点 $A (- 1 ， 0)$ 和 $B (3 ， 4)$ ，且圆心在直线 $x + 3 y - 15 = 0$ 上.
（1）求圆C的方程；
（2）设点P在圆C上，求△PAB的面积的最大值.

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3、某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务态度，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为 $[40, 50), [50, 60), \dots, [80, 90), [90, 100] .$

(1)、求频率分布直方图中 $a$ 的值；

(2)、试估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；

(3)、从评分在 $[40, 60)$ 内的受访职工中，数据抽取2人，求此2人评分都在 $[50, 60)$ 内的概率.

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4、已知直线 $l$ 经过两条直线 $l_{1}$ ： $x + y - 4 = 0$ 和 $l_{2}$ ： $x - y + 2 = 0$ 的交点，直线 $l_{3}$ ： $2 x - y - 1 = 0$ ；
(1)若 $l ∥ l_{3}$ ，求 $l$ 的直线方程；
(2)若 $l ⊥ l_{3}$ ，求 $l$ 的直线方程．

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5、已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} \sin x \cos x - \frac{\sqrt{3}}{4} (\cos^{2} x - \sin^{2} x)$ ， $x \in R$ .

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、求 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{4}, \frac{π}{4}]$ 上的最大值和最小值.

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6、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，离心率为 $\frac{1}{2}$ ，过点 $F_{2}$ 的直线与椭圆C交于A，B两点．若 $△ F_{1} A B$ 的周长为16，则椭圆方程为．

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7、已知圆 $O : x^{2} + y^{2} = 1$ ， $l$ 为过点 $(0, 2)$ 的动直线，若 $l$ 与圆 $O$ 相切，则直线 $l$ 的倾斜角为．

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8、已知函数 $f (x) = \log_{a} (3 + 2 x)$ ， $g (x) = \log_{a} (3 - 2 x)$ ，（ $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ）．则函数 $f (x) - g (x)$ 是函数（奇偶性：奇或偶或非奇非偶）．

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9、已知椭圆的方程为 $\frac{x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ ，斜率为 $k$ 的直线不经过原点 $O$ （ $O$ 为坐标原点），且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点，则下列结论正确的是（）

A、直线AB与OM垂直 B、若点M的坐标为 $(1, 1)$ ，则直线AB的方程为 $2 x + y - 3 = 0$ C、若直线AB的方程为 $y = x + 1$ ，则点M的坐标为 $(\frac{1}{3}, \frac{4}{3})$ D、若直线AB的方程为 $y = x + 2$ ，则 $|A B| = \frac{4 \sqrt{2}}{3}$

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10、设正实数 $a$ ， $b$ 满足 $a + b = 1$ ，则（）

A、 $a b$ 的最大值为 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值为4 C、 $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ 的最大值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $a^{2} + b^{2}$ 的最小值为 $\frac{1}{2}$

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11、下列说法中，正确的是（）

A、直线 $y = 5 x - 3$ 在 $y$ 轴上的截距为 $3$ B、直线 $\sqrt{3} x - y + 1 = 0$ 的倾斜角为 $60^{°}$ C、 $A (1, 3)$ ， $B (2, 5)$ ， $C (- 2, - 3)$ 三点共线 D、过点 $(3, 4)$ 且在 $x, y$ 轴上的截距相等的直线方程为 $x + y - 7 = 0$

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12、一入射光线经过点 $M (2, 6)$ ，被直线l： $x - y + 3 = 0$ 反射，反射光线经过点 $N (- 3, 4)$ ，则反射光线所在直线方程为（）

A、 $2 x - y + 13 = 0$ B、 $6 x - y + 22 = 0$ C、 $x - 3 y + 15 = 0$ D、 $x - 6 y + 27 = 0$

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13、已知条件p： $m > 3$ ，条件q： $\frac{x^{2}}{m} + y^{2} = 1$ 表示焦点在x轴上的椭圆，则p是q的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既非充分也非必要条件

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14、如图，在空间四边形 $A B C D$ 中，设 $E$ ， $F$ 分别是 $B C$ ， $C D$ 的中点，则 $\overset{⃑}{A D} + \frac{1}{2} (\overset{⃑}{B C} - \overset{⃑}{B D}) =$ （）

A、 $\overset{⃑}{A D}$ B、 $\overset{⃑}{F A}$ C、 $\overset{⃑}{A F}$ D、 $\overset{⃑}{E F}$

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15、集合 $A = \{x| 1 < x < 3\}$ ，集合 $B = {x | x > 4$ 或 $x < 2}$ ，则集合 $A \cup (∁_{R} B) =$ （）

A、 $R$ B、 $[2, 3)$ C、 $(1, 4]$ D、 $\emptyset$

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16、高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设 $x \in R$ ，用 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，则 $y = [x]$ 称为高斯函数，如 $[3.2] = 3$ ， $[- 1.6] = - 2$ .若 $f (x) = x - [x]$ ， $g (x) = \frac{[x + 1]}{x}$ ，则下列说法正确的是（）

A、当 $2023 \leq x < 2024$ 时， $f (x) = x - 2023$ B、 $f (x + 1) - f (x) = 1$ C、函数 $f (x)$ 的值域为 $[0, 1)$ D、当 $x \geq 1$ 时，函数 $g (x)$ 的值域为 $(1, 2]$

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17、已知点 $(a, 27)$ 在幂函数 $f (x) = (a - 2) x^{m} (a, m \in R)$ 的图象上，则 $a + m =$ （）

A、4 B、5 C、6 D、7

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18、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为矩形，侧棱 $P D ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $P D = D C = 2 A D = 2, E$ 是 $P C$ 的中点.

(1)、求证： $P A / /$ 平面 $E D B$ ；

(2)、求平面 $E D B$ 与平面 $P A D$ 夹角的余弦值；

(3)、已知点 $F$ 在棱 $P B$ 上，且直线 $E F$ 与平面 $E D B$ 所成角的正弦值为 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ，求线段 $P F$ 的长.

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19、已知三棱锥P－ABC中，PA⊥ABC，AB⊥AC，PA=AC=^1/2AB，N为AB上一点，AB=4AN，M，S分别为PB，BC的中点.
（Ⅰ）证明：CM⊥SN；
（Ⅱ）求SN与平面CMN所成角的大小.

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20、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，D，E，F分别为AB，BC， $B_{1} B$ 的中点．

(1)、证明： $A_{1} C_{1} / /$ 平面 $B_{1} D E$ ；

(2)、若 $A B = 1$ ， $A B ⊥ A C$ ， $B_{1} D ⊥ A_{1} F$ ，求点E到平面 $A_{1} F C_{1}$ 的距离．

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