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相关试卷

1、将连续正奇数 $1, 3, \dots, 2 n - 1 (n \in N^{*})$ 从小到大排列构成一个数， $F (n)$ 为这个数的位数.例如：当 $n = 6$ 肘，此时为1357911，共有7个数字，则 $F (6) = 7$ .现从这个数中随机取一个数学， $P (n)$ 为恰好取到1的概率.

(1)、求 $F (50), P (50)$ ，

(2)、当 $n \leq 2025$ 时，求 $F (n)$ 的表达式；

(3)、求满足 $F (k) + F (m) = 193 (k, m \in N^{*})$ 的 $k, m$ 的对数（注： $\{\begin{array}{l} k = 1 \\ m = 2 \end{array}$ 与 $\{\begin{array}{l} k = 2 \\ m = 1 \end{array}$ 算一对）

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2、如图，在棱长为3的正方体ABCD−A'B'C'D'中，M为AD的中点.

(1)、求证： $D B^{'} / /$ 平面 $B M A^{'}$ ；

(2)、在体对角线 $D B^{'}$ 上是否存在动点Q，使得AQ⊥平面 $B M A^{'}$ ？若存在，求出DQ的长；若不存在，请说明理由.

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3、已知 $△ A B C$ 内角 $A, B, C$ 所对的边长分㓩为 $a, b, c, 2 b (\sqrt{2} b cos A - a cos C) = b^{2} + c^{2} - a^{2}$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，且 $b = 4$ ，求 $c$ 的取值范围.

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4、某中学有高一年级学生 $1000$ 人，高二年级学生 $800$ 人，高三年级学生 $800$ 人参加知识竞赛，现用分层抽样的方法从中抽取 $260$ 名学生，对其成绩进行统计分析.得到如图所示的频率分布直方图.

(1)、求 $a$ 以及从该校高一年级､高二年级､高三年级学生中各抽取的人数；

(2)、根据频率分布直方图，估计该校这 $2600$ 名学生中竞赛成绩在 $80$ 分（含 $80$ 分）以上的人数；

(3)、根据频率分布直方图，估计该校这 $2600$ 名学生竞赛成绩的平均数､中位数､众数.（各组区间的数据以该组区间的中间值作代表）（结果取1位小数）

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5、已知函数 $f (x) = 2 cos 4 x cos (4 x - \frac{π}{6}) - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[0, \frac{π}{8}]$ 的最大值和最小值.

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6、在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B ⊥ B C, A B = B C = B B_{1} = 2, D, E, F$ 分别为 $A_{1} B_{1}, B_{1} C_{1}, A A_{1}$ 的中点，则过 $D, E, F$ 作直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的截面，则截面的面积等于.

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7、王老师在黑板上写出了一个函数，请三位同学各自说出这个函数的一条性质：①此函数为奇函数；②定义域为 $[0, + \infty$ ）；③在 $[0, + \infty)$ 上为单调增函数.王老师说某中有一个同学的结论错误，另两位同学的结论正确.请你写出一个这样的函数 $f (x) =$ .

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8、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 1, |\vec{b}| = 4$ ，且 $(3 \vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} + 2 \vec{b}) = - 69$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ .

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9、若 $a > 0, b > 0$ 且 $a + 4 b + 4 \sqrt{a b} = 1$ ，则下列不等式中一定成立的是（）

A、 $\frac{1}{2 \sqrt{a}} + \frac{1}{\sqrt{b}} ⩾ \frac{9}{2}$ B、 $a + b ⩾ \frac{1}{5}$ C、 $\frac{2 \sqrt{b} + 1}{\sqrt{a} + 1} ⩽ \frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} + \frac{1}{\sqrt{b}} > 3$

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10、《蝶恋花·春景》是北宋大文豪苏赋所写的一首词作.其下阕为“墙里秋千墙外道，墙外行人，墙里佳人笑，笑渐不闻声渐悄，多情却被无情恼”，如图所示，假如将墙看做一个平面，墙外的道路､秋千绳､秋千板简单看做是直线.那么道路和墙面线面平行，秋千静止时，秋千板与墙面线面垂直，秋千绳与墙面线面平行.那么当佳人在荡秋千的过程中（）

A、秋千绳与墙面始终平行 B、秋千绳与道路所成角逐渐增大，逐渐减小，逐渐增大，逐渐减小，循环往复 C、秋千板与墙面所成角逐渐增大，逐渐减小，逐渐增大，逐渐减小，循环往复 D、秋千板与道路始终垂直

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11、已知小王2023年5月份总收入10000元，总支出5000元，他的各项收入与支出占比情况如下表：

工资
兼职
理财
其他
收入占比
$50 %$
$20 %$
$8 %$
$22 %$

衣
食
住
行
其他
支出占比
$8 %$
$32 %$
$28 %$
$8 %$
$24 %$
则下列判断中正确的是（）

A、小王2023年5月份的收入主要来源是工资 B、小王2023年5月份的兼职收入低于食的支出 C、小王2023年5月份的最大支出出于食 D、小王2023年5月份的工资刚好够支出

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12、由甲､乙､丙､丁组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由其中一人猜一个成语，已知甲猜对乙未猜对的概率为 $\frac{1}{3}$ ，乙猜对丙未猜对的概率为 $\frac{1}{4}$ ，丙猜对丁未猜对的概率为 $\frac{1}{8}$ ，甲､丁都猜对的概率为 $\frac{1}{4}$ ，在每轮活动中，四人猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则乙､丙都猜对的概率是（）

A、 $\frac{1}{24}$ B、 $\frac{1}{12}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{1}{4}$

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13、将函数 $f (x) = sin x$ 的图象的横坐标变为原来的 $\frac{1}{3}$ ，纵坐标变为原来的2倍，然后向右平移 $\frac{π}{18}$ 个单位长度，得到函数 $g (x)$ 的图象，当 $x \in [0, 2 π]$ 时，曲线 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的交点个数为（）

A、3 B、4 C、6 D、8

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14、如图，正方形 $O A_{1} B_{1} C, A_{1} A_{2} B_{2} B_{1}$ 是同样大小的正方形， $O, A_{1}, A_{2}$ 三点共线.若点 $P_{1}, P_{2}$ 分别是边 $A_{1} B_{1}, A_{2} B_{2}$ 上的动点（不包含端点）.记 $m = \vec{O A_{1}} \cdot \vec{O P_{2}}, n = \vec{O A_{2}} \cdot \vec{O P_{1}}$ ，则（）

A、 $m > n$ B、 $m < n$ C、 $m = n$ D、 $m, n$ 大小关系不能确定

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15、已知圆台的上､下底面的半径分别为 $R, r$ ，若 $R = 2 r = 2$ ，过轴 $O_{1} O_{2}$ （其中 $O_{2}, O_{1}$ 分别为上､下底面的圆心）的轴截面的面积为 $3 \sqrt{3}$ ，则该圆台的表面积为（）

A、 $11 π$ B、 $9 π$ C、 $6 π$ D、 $3 π$

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16、已知 $a = - ln \frac{4}{5}, b = ln \sqrt{2}, c = - ln \frac{5}{6}$ ，则（）

A、 $c < b < a$ B、 $a < b < c$ C、 $c < a < b$ D、 $b < a < c$

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17、已知 $\sqrt{2} \approx 1.4142 \dots$ ，把 $\sqrt{2}$ 通过四舍五入精确到小数点后 $n (n = 0, 1, 2, 3)$ 位的近似值分别记为 $a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3}$ ，若从 $a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3}$ 中任取1个数字 $a_{i} (0 \leq i \leq 3)$ ，则满足 $a_{i} > 1.4$ 的概率为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{2}{5}$

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18、已知集合 $A = \{x \in N^{*} ∣ 2 x \leq 7\}, B = \{x \in N^{*} ∣ x (x - 3) < 0\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $\{3\}$ B、 $\{1, 3\}$ C、 $\{2, 3\}$ D、 $\{1, 2, 3\}$

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19、已知 $z = \frac{1 - i}{1 + i}$ ，则 $|\bar{z}| =$ （）

A、1 B、2 C、 $\sqrt{5}$ D、5

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20、文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段： $[40, 50)$ ， $[50, 60)$ ， $\dots$ ， $[90, 100]$ 得到如图所示的频率分布直方图.

(1)、求频率分布直方图中 $a$ 的值；

(2)、求样本成绩的第75百分位数；

(3)、已知落在 $[50, 60)$ 的平均成绩是56，方差是7，落在 $[60, 70)$ 的平均成绩为65，方差是4，求两组成绩的总平均数 $\bar{z}$ 和总方差 $s^{2}$ .

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	工资	兼职	理财	其他
收入占比	$50 %$	$20 %$	$8 %$	$22 %$

	衣	食	住	行	其他
支出占比	$8 %$	$32 %$	$28 %$	$8 %$	$24 %$