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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = a \sin x$ ， $a \in Z$ .若 $y = f (f (x))$ 的零点恰为 $y = f (x)$ 的零点，则a的最大值是.

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2、已知抛物线 $C : x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点为F，斜率为1的直线l过F与C交于A，B两点，AB的中点到抛物线准线的距离为8，则 $p =$ ．

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3、已知平面向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (- 2, x)$ ，则（）

A、当 $x = 2$ 时， $\vec{a} + \vec{b} = (- 1, 4)$ B、若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则 $x = - 1$ C、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $x = 1$ D、若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为钝角，则 $x \in (- \infty, - 4) \cup (- 4, 1)$

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4、在斜三角形 $A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c, b = 4, 4 \sqrt{6} a sin 2 C = 3 (a^{2} + b^{2} - c^{2}) sin B$ ，点 $O$ 满足 $2 \vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = 0$ ，且 $cos ∠ C A O = \frac{1}{4}$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $2 \sqrt{15}$ B、 $4 \sqrt{15}$ C、 $\sqrt{15}$ D、 $\frac{3 \sqrt{15}}{2}$

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5、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{2} = 5$ ， $a_{9} + 7 = 2 a_{6}$ .

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设数列 $\{b_{n}\}$ 前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $b_{n} = a_{n + 1}^{2} - a_{n}^{2}$ ，若 $S_{m} > 432$ ，求正整数 $m$ 的最小值.

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6、解二元一次方程组是数学学习的必备技能.设有满足条件 $a_{11} a_{22} \neq a_{12} a_{21}$ 的二元一次方程组 $\{\begin{matrix} a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} = b_{1} \\ a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} = b_{2} \end{matrix}$ .

(1)、用消元法解此方程组，直接写出该方程组的两个解；

(2)、通过求解，不难发现两个解的分母是由方程组中 $x_{1}, x_{2}$ 的系数 $a_{11} 、 a_{22} 、 a_{12} 、 a_{21}$ 所唯一确定的一个数，按照它们在方程组中的位置，把它们排成一个数表 $\begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix}$ ，由此可以看出 $a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}$ 是这个数表中左上到右下对角线上两个数的乘积减去右上到左下对角线上两个数的乘积的差，称 $a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}$ 为该数表的二阶行列式，记为 $|\begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix}|$ .当 $|\begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix}|$ ≠0时，二元一次方程组 $\{\begin{matrix} a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} = b_{1} \\ a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} = b_{2} \end{matrix}$ 有唯一一组解.同样的，行列式 $|\begin{matrix} a & b & c \\ l & m & n \\ x & y & z \end{matrix}|$ 称为三阶行列式，且 $|\begin{matrix} a & b & c \\ l & m & n \\ x & y & z \end{matrix}|$ = $a m z + b n x + c l y - c m x - b l z - a n y$ .
（i）用二阶行列式表示方程组 $\{\begin{matrix} a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} = b_{1} \\ a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} = b_{2} \end{matrix}$ 的两个解；
（ii）对于三元一次方程组 $\{\begin{matrix} a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + a_{13} x_{3} = b_{1} \\ a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + a_{23} x_{3} = b_{2} \\ a_{31} x_{1} + a_{32} x_{2} + a_{33} x_{3} = b_{3} \end{matrix}$ ，类比二阶行列式，用三阶行列式推导使得该三元一次方程组有唯一一组解的条件（结论不得使用行列式表达），并用三阶行列式表示该方程组的解.

(3)、若存在 $x \in [0, π]$ ，使得 $|\begin{matrix} \sin x & - m \\ \cos x & m \end{matrix}| > sin 2 x + 2$ ，求 $m$ 的取值范围.

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7、已知函数 $f (x) = \ln x$ ， $g (x) = a x^{2} - 1$

(1)、当 $x \in [1, + \infty)$ 时， $2 x f (x) \leq g (x)$ 恒成立，求a的取值范围；

(2)、设 $A (x_{1}, f (x_{1}))$ ， $B (x_{2}, f (x_{2}))$ 为 $f (x)$ 上不同的两点 $(x_{1} < x_{2})$ ，设AB两点所在直线的斜率为K，证明： $\frac{2}{x_{1} + x_{2}} < K < \frac{{(\sqrt{x_{1}} + \sqrt{x_{2}})}^{2}}{4 x_{1} x_{2}}$

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8、已知函数 $f (x) = a e^{x} - x - 1$ ．

(1)、若 $f (x)$ 在 $(1, 2)$ 上存在极小值，求实数 $a$ 的取值范围

(2)、讨论 $f (x)$ 在 $(- 2, 2)$ 上的零点个数．

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9、已知函数 $f (x) = 2 \sin (ω x + φ) (ω > 0, 0 < φ < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示．该图象与 $y$ 轴交于点 $A (0, \sqrt{3})$ ，与 $x$ 轴交于 $B, C$ 两点， $D$ 为图象的最高点，且 $△ B C D$ 的面积为 $\frac{π}{2}$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式及其单调递增区间．

(2)、若将 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数 $g (x)$ 的图象．若 $g (α) = \frac{8}{5} (\frac{π}{2} < α < π)$ ，求 $\cos α$ 的值．

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10、已知函数 $f (x) = x + \ln (x - 1) - 1$ ， $g (x) = x \ln x$ ，若 $f (x_{1}) = 2 \ln t$ ， $g (x_{2}) = t^{2}$ ，则 $(x_{1} x_{2} - x_{2}) \ln t^{2}$ 的最小值为．

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11、已知x₁、x₂分别是函数f（x）=e^x+x-4、g（x）=lnx+x-4的零点，则 $e^{x_{1}} + \ln x_{2}$ 的值为（　　）

A、 $e^{2} + l n 3$ B、 $e + l n 3$ C、3 D、4

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12、已知平面向量 $\vec{m}$ ， $\vec{n}$ 满足： $|\vec{m} |=| \vec{n}| = 2$ ，且 $\vec{m}$ 在 $\vec{n}$ 上的投影向量为 $- \frac{1}{2} \vec{n}$ ，则向量 $\vec{m}$ 与向量 $\vec{n}$ 的夹角为（）

A、 $30^{\circ}$ B、 $60^{\circ}$ C、 $120^{\circ}$ D、 $150^{\circ}$

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13、若 $x > 1$ ， $y > 1$ ，则“ $x - y > 1$ ”是“ $\ln x - \ln y > 1$ ”的（）

A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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14、在数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 2$ ，且 $a_{n + 1} = \frac{1}{1 - a_{n}}, n \in N^{*}$ ，则 $a_{2020} =$ （）

A、 $2$ B、 $- 1$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $1$

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15、某环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水排放量 $W$ 与时间t的关系为 $W = f (t)$ ，用 $-$ $\frac{f (b) - f (a)}{b - a}$ 的大小评价在 $[a, b]$ 这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.则下列正确的命题是（）

A、在 $[t_{1}, t_{2}]$ 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业弱； B、在 $t_{2}$ 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业弱； C、在 $t_{3}$ 时刻，甲、乙两企业的污水排放都不达标； D、甲企业在 $[0, t_{1}]$ ， $[t_{1}, t_{2}]$ ， $[t_{2}, t_{3}]$ 这三段时间中，在 $[t_{1}, t_{2}]$ 的污水治理能力最强

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16、已知向量 $\vec{a} = (1, n), \vec{b} = (- 1, n)$ ，若 $2 \vec{a} - \vec{b}$ 与 $\vec{b}$ 垂直，则 $|\vec{a}| =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、4

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17、在复平面内，复数 $z$ 满足 $z (3 + 4 i) = (5 + 12 i)$ ，则 $|\bar{z}| =$ （）

A、 $\frac{5}{13}$ B、 $\frac{13}{5}$ C、 $\frac{12}{5}$ D、 $\frac{13}{4}$

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18、已知实数 $a \neq 0$ ，设函数 $f (x) = a \ln x + \sqrt{x + 1}, x > 0.$
（1）当 $a = - \frac{3}{4}$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调区间；
（2）对任意 $x \in [\frac{1}{e^{2}}, + \infty)$ 均有 $f (x) \leq \frac{\sqrt{x}}{2 a},$ 求 $a$ 的取值范围.
注： $e = 2.71828...$ 为自然对数的底数.

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19、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和 $S_{n}$ 满足 $S_{n} = 2 a_{n} + {(- 1)}^{n}, n \geq 1$ ．

(1)、写出数列 $\{a_{n}\}$ 的前三项 $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ ；

(2)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(3)、证明：对任意的整数 $m > 4$ ，有 $\frac{1}{a_{4}} + \frac{1}{a_{5}} + \dots + \frac{1}{a_{m}} < \frac{7}{8}$ ．

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20、已知椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线 $l$ ： $y = - x + 3$ 与椭圆 $E$ 有且只有一个公共点T．
（Ⅰ）求椭圆 $E$ 的方程及点 $T$ 的坐标；
（Ⅱ）设 $O$ 是坐标原点，直线 $l^{'}$ 平行于 $O T$ ，与椭圆 $E$ 交于不同的两点 $A$ 、 $B$ ，且与直线 $l$ 交于点 $P$ ，证明：存在常数 $λ$ ，使得 $| P T |^{2} = λ | P A | \cdot | P B |$ ，并求 $λ$ 的值．

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