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相关试卷

1、已知 $a, b, c$ 分别为 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边，且 $c (a \cos B - b \sin A) = a^{2} - b^{2}$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $a = 2$ ， $△ A B C$ 的面积为2，求 $b + c$ .

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2、下列命题是真命题的是（）

A、已知函数 $f (2 x + 1)$ 的定义域为 $[- 1, 1]$ ，则函数 $f (x)$ 的定义域为 $[- 1, 3]$ B、若 $y = f (x)$ 是一次函数，满足 $f (f (x)) = 16 x + 5$ ，则 $f (x) = 4 x - 1$ C、函数 $y = f (x)$ 的图象与 $y$ 轴最多有一个交点 D、函数 $y = \frac{1}{x + 1}$ 在 $(- \infty, - 1) \cup (- 1, + \infty)$ 上是单调递减函数

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3、已知 $S_{n}$ 是等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和，若 $S_{4} = 12, S_{8} = 40$ ，则 $S_{12} =$ （）

A、44 B、56 C、68 D、84

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4、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}, A$ 为椭圆 $C$ 的右顶点， $B$ 为椭圆 $C$ 的上顶点， $P$ 为椭圆 $C$ 上与椭圆顶点不重合的动点，直线 $P A$ 与 $y$ 轴交于点 $N$ ，直线 $P B$ 与 $x$ 轴交于点 $M$ ，则（）

A、椭圆 $C$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、当 $P F_{1} ⊥ P F_{2}$ 时， $|P F_{1}| \cdot |P F_{2}| = 3$ C、 $|A M| \cdot |B N| = 4$ D、当点 $P$ 在第三象限时，若 $M N / / A B$ ，则 $|O P| = \frac{\sqrt{10}}{2}$

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5、曲线 $y = e^{x} - 2 a x$ 在 $x = 0$ 处的切线经过点 $(2, - 1)$ ，则实数 $a$ 的值为（）

A、 $- 1$ B、0 C、1 D、2

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6、已知 $P (- 9, 8)$ 为角 $α$ 终边上一点，则 $\frac{5 sin α - 2 cos α}{2 sin α + 5 cos α} =$ （）

A、 $- \frac{61}{22}$ B、 $- 2$ C、 $\frac{22}{61}$ D、 $\frac{1}{2}$

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7、已知 $A$ 是椭圆 $E : \frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 上的一点， $F_{1}, F_{2}$ 分别是椭圆 $E$ 的左，右焦点，则 $|A F_{1} |+| A F_{2}| =$ （）

A、6 B、4 C、3 D、2

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8、已知 $\vec{a} = (- 2, 1, 3), \vec{b} = (4, - 1, m)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $m$ 的值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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9、 $cos (- \frac{13 π}{3}) =$ ．

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10、若 $\sin α \tan α > 0$ ，且 $\cos α \tan α < 0$ ，则角 $α$ 是（）

A、第一象限角 B、第二象限角 C、第三象限角 D、第四象限角

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11、已知等比数列 $\{d_{n}\}$ 为单增数列， $d_{1} = 1$ ， $d_{1} + 2$ 是 $d_{2}$ 与 $d_{3}$ 的等差中项，

(1)、求 $d_{n}$

(2)、若不等式 ${(- 1)}^{n} λ d_{n} - 6 d_{n} + n + 3 < 0$ 对 $n \in N^{+}$ 恒成立，求 $λ$ 的取值范围；

(3)、项数为 $n$ 的数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{i} = b_{n + 1 - i}$ ， $i = 1, 2, \dots, n$ ，我们将 $\{b_{n}\}$ 称为n项对称数列，如数列1，2，2，1称为4项对称数列，1，2，3，2，1称为5项对称数列．记数列 $\{c_{n}\}$ 为 $2 k - 1 (k \geq 2)$ 项的对称数列， $c_{1}, c_{2}, \dots, c_{k}$ 是公差为2的等差数列，数列 $\{c_{n}\}$ 的最大项为 $d_{4}$ ，记 $\{c_{n}\}$ 前 $2 k - 1$ 项的和为 $S_{2 k - 1}$ ， $S_{2 k - 1} = 32$ ，求k的值．

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12、对于数列 $\{a_{n}\}$ （ $a_{n} \in N_{+}$ ），定义 $b_{k}$ 为 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， …， $a_{k}$ 中最大值（ $k = 1, 2, \cdot \cdot \cdot, n$ ）（ $n \in N_{+}$ ），把数列 $\{b_{n}\}$ 称为数列 $\{a_{n}\}$ 的“M值数列”.如数列2，2，3，7，6的“M值数列”为2，2，3，7，7，则（）

A、若数列 $\{a_{n}\}$ 是递减数列，则 $\{b_{n}\}$ 为常数列 B、若数列 $\{a_{n}\}$ 是递增数列，则有 $a_{n} = b_{n}$ C、满足 $\{b_{n}\}$ 为2，3，3，5，5的所有数列 $\{a_{n}\}$ 的个数为8 D、若 $a_{n} = {(- 2)}^{n - 1} (n \in N_{+})$ ，记 $S_{n}$ 为 $\{b_{n}\}$ 的前n项和，则 $S_{100} = \frac{2}{3} (2^{100} - 1)$

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13、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点为 $F$ ，如图，过点 $F$ 作倾斜角为 $60^{\circ}$ 的直线与椭圆 $E$ 交于 $A, B$ 两点， $M$ 为线段 $A B$ 的中点，若 $4 |F M| = |O F|$ （ $O$ 为坐标原点），则椭圆 $E$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{15}}{5}$ D、 $\frac{2 \sqrt{7}}{7}$

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14、已知 $S_{n}$ 为等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，公差为 $d$ .若 $a_{1} > 0, S_{18} = 0$ ，则（）

A、 $d > 0$ B、 $S_{7} = S_{11}$ C、 $S_{20} > 0$ D、 $S_{n}$ 无最大值

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15、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A D / / B C$ ， $A D ⊥ D C$ ， $B C = C D = \frac{1}{2} A D = 1$ ， E为棱 $A D$ 的中点， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ .

(1)、求证：平面 $P A B ⊥$ 平面 $P B D$ ；

(2)、若二面角 $P - C D - A$ 的大小为 $45^{°}$ ，求直线 $P A$ 与平面 $P B D$ 所成角的正弦值.

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16、为了解同学们每天进行户外锻炼的时长，某兴趣小组在高一年级随机调查了500位同学，得到如下的样本数据的频率分布直方图．

(1)、求a，并估计每天户外锻炼时长在40min～70min的人数；

(2)、用样本估计总体，估计高一年级同学每天进行户外锻炼的平均时长（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；

(3)、求高一年级同学每天进行户外锻炼的时长的75%分位数．

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17、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $B C C_{1} B_{1}, A B B_{1} A_{1}$ 均为正方形， $A B = B C = 1$ ， $∠ A B C = 90 °$ ，点D是棱的 $A_{1} C_{1}$ 中点，点O为 $A_{1} B$ 与 $A B_{1}$ 交点．

(1)、求证： $B C_{1} //$ 平面 $A B_{1} D$ ；

(2)、求点 $A_{1}$ 到平面 $A B_{1} D$ 的距离．

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18、已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $c \cos B + b \cos C = \frac{a}{2 \cos A}$ ．

(1)、求角A的大小；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $4 \sqrt{3}, a = 3 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长和外接圆的面积；

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19、已知 $\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}$ 是平面内两个不共线的非零向量， $\vec{A B} = 2 \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}, \vec{B E} = - \vec{e_{1}} + λ \vec{e_{2}}, \vec{E C} = - 2 \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}$ ，且 $A, E, C$ 三点共线．

(1)、求实数 $λ$ 的值；

(2)、已知 $\vec{e_{1}} = (2, 1), \vec{e_{2}} = (2, - 2)$ ，点 $D (3, 5)$ ，若 $A, B, C, D$ 四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标．

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20、某学校组建了演讲，舞蹈，航模，合唱，机器人五个社团，全校所有学生每人都参加且只参加其中一个社团，校团委将统计结果绘制成如下两个不完整的统计图，则合唱社团的人数占全体学生人数的百分比为.

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