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相关试卷

1、设 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别是 $a, b, c$ ，且 $c \cdot \cos C$ 是 $a \cdot \cos B$ 与 $b \cdot \cos A$ 的等差中项．
（1）求角 $C$ ；
（2）设 $c = 3$ ，求 $△ A B C$ 周长的最大值．

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2、设函数 $f (x) = \{\begin{matrix} |ln x|, 0 < x \leq e \\ 2 - ln x, x > e \end{matrix}$ ，若方程 $f (x) = m$ 有三个实数根 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ ，满足 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，则 $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} + x_{3}$ 的取值范围是.

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3、已知 $O$ 为坐标原点，点 $P (0, 1)$ ，圆 $C : x^{2} + y^{2} - 4 x + 3 = 0$ ，点 $Q$ 为圆 $C$ 上的一动点，则 $∠ P O Q$ 的最小值为.

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4、用数学归纳法证明 $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{2^{n} - 1} < n (n \in N$ 且 $n > 1)$ ，第一步要证的不等式是.

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5、杨辉三角形又称贾宪三角形，因首现于南宋杰出数学家杨辉的《详解九章算法》而得名，它的排列规律如图所示：在第一行的中间写下数字1；在第二行写下两个1，和第一行的1形成三角形；随后的每一行，第一个位置和最后一个位置的数都是1，其他的每个位置的数都是它左上方和右上方的两个数之和.那么下列说法中正确的是（）

A、第 $n$ 行的第 $r (r \leq n)$ 个位置的数是 $C_{n}^{r - 1}$ B、若从杨辉三角形的第三行起，每行第3个位置的数依次组成一个新的数列 $\{a_{n}\}$ ，则 $a_{10} = 55$ C、70在杨辉三角中共出现了3次 D、记第 $n + 1$ 行的第 $i$ 个数为 $a_{i}$ ，则 $\sum_{i = 1}^{n + 1} 3^{i - 1} a_{i} = 4^{n}$

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6、中国的五岳是指在中国境内的五座名山，坐落于东西南北中五个方位，分别是东岳泰山，西岳华山，南岳衡山，北岳恒山，中岳嵩山.小明与其父母共3人计划在假期出游，每人选一个地方，则（）

A、3人选择的地点均不同的方法总数为60 B、恰有2人选一个地方的方法总数为15 C、恰有1人选泰山的概率是 $\frac{48}{125}$ D、若小明已选择去泰山，其父母至少有一人选择去泰山的概率为 $\frac{16}{25}$

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7、函数 $f (x) = x - \frac{1}{x} (x \neq 0)$ 的图象犹如两条飘逸的绸带而被称为飘带函数，也是一对优美的双曲线.在数列 $\{c_{n}\}$ 中， $c_{1} = 1, \frac{1}{c_{n}} = f (n) (n \in N, n \geq 2)$ ，记数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项积为 $T_{n}$ ，数列 $\{T_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则当 $n \geq 2$ 时（）

A、 $\frac{5}{3} \leq S_{n} < 2$ B、 $1 < S_{n} \leq \frac{5}{3}$ C、 $\frac{5}{3} \leq S_{n} < \frac{23}{12}$ D、 $\frac{7}{4} \leq S_{n} < 2$

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8、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 中，公比 $q > 0$ ，若 $a_{2} = 4$ ，则 $a_{1} + a_{2} + a_{3}$ （）

A、有最小值 $- 4$ B、有最小值12 C、有最大值 $- 4$ D、有最大值12

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9、现有4个同学站成一排，将甲、乙2个同学加入排列，保持原来4个同学顺序不变，不同的方法共有（）种

A、10 B、20 C、30 D、60

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10、若 ${(\sqrt{x} + \frac{3}{x^{2}})}^{n}$ 展开式中只有第 $7$ 项的二项式系数最大，则 $n =$ （）

A、 $9$ B、 $10$ C、 $11$ D、 $12$

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11、已知过点 $(- 1, 0)$ 的直线与曲线 $y = e^{x}$ 相切于点 $A$ ，则切点 $A$ 的坐标为（）

A、 $(0, 1)$ B、 $(1, e)$ C、 $(2, e^{2})$ D、 $(3, e^{3})$

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12、已知等差数列 $\{a_{n}\}, a_{2} = 3, a_{6} = 11$ ，则 $a_{4} =$ （）

A、6 B、7 C、8 D、9

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13、若函数 $y = f (x) + g (x)$ 为幂函数，则称 $f (x)$ 与 $g (x)$ 互为“和幂函数”；若函数 $y = f (x) g (x)$ 为幂函数，则称 $f (x)$ 与 $g (x)$ 互为“积幂函数”．

(1)、试问函数 $f (x) = \frac{1}{2} x + {log}_{2} (\sqrt{x^{2} + 1} + x)$ 与 $g (x) = \frac{1}{2} x + {log}_{2} (\sqrt{x^{2} + 1} - x)$ 是否互为“和幂函数”？请说明你的理由．

(2)、已知函数 $f (x) = x^{m} \cdot 2^{- x}$ 与 $g (x) = (m^{3} + m - 9) 2^{x}$ 互为“积幂函数”．
①证明：函数 $h (x) = f (x) - g (x)$ 存在负零点，且负零点唯一．
②已知函数 $p (x) = 2 ln x - x ln 2$ 在 $(0, \frac{2}{ln 2})$ 上单调递增，在 $(\frac{2}{ln 2}, + \infty)$ 上单调递减，且 $p (\frac{2}{ln 2}) = t > 0$ ，若函数 $k (x) = f (x) - a$ 在 $(0, 6]$ 上有两个零点，求 $a$ 的取值范围（结果用含字母 $t$ 的区间表示）．

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14、已知 $△ A B C$ 中，点 $D$ 是 $A C$ 中点，点 $M$ 满足 $\vec{B M} = 2 \vec{M C}$ ，记 $\vec{B A} = \vec{a}$ ， $\vec{B D} = \vec{b}$ ，请用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 表示 $\vec{A M} =$ ；若 $\vec{B A} \cdot \vec{B D} = - 5$ ，向量 $\vec{A M}$ 在向量 $\vec{B D}$ 上的投影向量的模的最小值为．

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15、已知函数 $y = 2 sin (ω x - \frac{π}{6}) (ω > 0)$ 在区间 $(0, \frac{π}{2})$ 上有且仅有2个零点，则实数 $ω$ 的取值范围是.

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16、已知命题“ $\forall x \in R, a x^{2} + 4 x - 1 < 0$ ”是真命题，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - 4)$ B、 $(- \infty, 4)$ C、 $[- 4, + \infty)$ D、 $[4, + \infty)$

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17、在平面内，若直线 $l$ 将多边形分为两部分，多边形在 $l$ 两侧的顶点到直线 $l$ 的距离之和相等，则称 $l$ 为多边形的一条“等线”，已知 $O$ 为坐标原点，双曲线 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}, E$ 的离心率为2，点 $P$ 为 $E$ 右支上一动点，直线 $m$ 与曲线 $E$ 相切于点 $P$ ，且与 $E$ 的渐近线交于 $A, B$ 两点，当 $P F_{2} ⊥ x$ 轴时，直线 $y = 1$ 为 $△ P F_{1} F_{2}$ 的等线.

(1)、求 $E$ 的方程；

(2)、若 $y = \sqrt{2} x$ 是四边形 $A F_{1} B F_{2}$ 的等线，求四边形 $A F_{1} B F_{2}$ 的面积；

(3)、设 $\vec{O G} = \frac{1}{3} \vec{O P}$ ，点 $G$ 的轨迹为曲线 $Γ$ ，证明： $Γ$ 在点 $G$ 处的切线 $n$ 为 $△ A F_{1} F_{2}$ 的等线

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18、已知函数 $f (x) = e^{x} - \ln (x + m)$ ．

(1)、当 $m = 0$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、当 $m \leq 2$ 时，求证 $f (x) > 0$ ．

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19、已知函数 $f (x) = sin (ω x + \frac{π}{6}) (ω > 0)$ 在 $(0, \frac{2 π}{3}]$ 上单调递增，在 $(\frac{2 π}{3}, π]$ 上单调递减，设 $(x_{0}, 0)$ 为曲线 $y = f (x)$ 的对称中心．

(1)、求 $x_{0}$ ；

(2)、记 $△ A B C$ 的角 $A, B, C$ 对应的边分别为 $a, b, c$ ，若 $cos A = cos x_{0}, b + c = 6$ ，求 $B C$ 边上的高 $A D$ 长的最大值．

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20、设数列 $\{a_{n}\}$ 的各项均为正整数．

(1)、数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $\frac{a_{1}}{2^{1}} + \frac{a_{2}}{2^{2}} + \dots + \frac{a_{n - 1}}{2^{n - 1}} + \frac{a_{n}}{2^{n}} = n$ ，求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $\{a_{n}\}$ 是等比数列，且 $\{\frac{a_{n}}{n}\}$ 是递减数列，求公比 $q$ ．

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