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相关试卷

1、已知 $(x + \frac{a}{x}) {(2 x - x^{2})}^{6}$ 的展开式中各项系数的和为4，则 $a =$ ．

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2、星形线或称为四尖瓣线，是一个有四个尖点的内摆线．已知星形线 $C : x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}} = a^{\frac{2}{3}} (a > 0)$ 上的点到x轴的距离的最大值为1，则（）

A、 $a = 1$ B、C上的点到原点的距离的最大值为1 C、C上的点到原点的距离的最小值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、当点 $(x_{0}, y_{0})$ 在C上时， $x_{0} y_{0} \leq \frac{1}{8}$

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3、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，则下列结论正确的是（）

A、若 $\{a_{n}\}$ 是等差数列，且 $S_{n} = n^{2} + 2 n + k$ ，则 $k = 0$ B、若 $\{a_{n}\}$ 是等比数列，且 $S_{n} = 3^{2 n + 1} + k$ ，则 $k = - 3$ C、若 $S_{n} = 3 n^{2} - 2 n + 1$ ，则 $\{a_{n}\}$ 是等差数列 D、若 $\{a_{n}\}$ 是公比大于1的等比数列，则 $S_{2 n} > 2 S_{n}$

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4、已知函数 $f (x) = \sin | x |$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、 $f (x)$ 的最大值为1 C、 $f (x)$ 是偶函数 D、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{2}$ 对称

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5、已知数据 $x_{1}, x_{2}$ ， …， $x_{5}$ （ $x_{i} \in Z$ ， $i = 1, 2, \dots, 5$ ）的平均数、中位数、方差均为4，则这组数据的极差为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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6、已知函数 $f (x) = x \sin x - 1$ 与 $g (x) = a (x^{2} + 1)$ 的图象恰有一个交点，则 $a =$ （）

A、 $- 1$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、1 D、2

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7、设椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若 $|F_{1} A| = 10$ ， $| A B | = 12$ ，则C的离心率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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8、已知 $\sin (\frac{π}{2} - θ) = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ， $θ \in (- \frac{π}{2}, 0)$ ，则 $\tan (θ + \frac{π}{4}) =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $- \frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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9、已知单位向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{2}$ ，则 $|\vec{a} + \vec{b}| =$ （）

A、1 B、2 C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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10、复数 $z = - 2 i (- 1 + 2 i)$ 的虚部为（）

A、 $- 2$ B、2 C、 $- 4$ D、4

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11、通过研究，已知对任意平面向量 $\vec{A B} = (x, y)$ ，把 $\vec{A B}$ 绕其起点A沿逆时针方向旋转 $θ$ 角得到向量 $\vec{A P} = (x \cos θ - y \sin θ, x \sin θ + y \cos θ)$ ，叫做把点B绕点A逆时针方向旋转 $θ$ 角得到点P，

(1)、已知平面内点 $A (- \sqrt{3}, 2 \sqrt{3})$ ，点 $B (\sqrt{3}, - 2 \sqrt{3})$ ，把点B绕点A逆时针旋转 $\frac{π}{3}$ 得到点P，求点P的坐标：

(2)、已知二次方程 $x^{2} + y^{2} - x y = 1$ 的图像是由平面直角坐标系下某标准椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 绕原点O逆时针旋转 $\frac{π}{4}$ 所得的斜椭圆C，
（i）求斜椭圆C的离心率；
（ⅱ）过点 $Q (\sqrt{\frac{2}{3}}, \sqrt{\frac{2}{3}})$ 作与两坐标轴都不平行的直线 $l_{1}$ 交斜椭圆C于点M、N，过原点O作直线 $l_{2}$ 与直线 $l_{1}$ 垂直，直线 $l_{2}$ 交斜椭圆C于点G、H，判断 $\frac{\sqrt{2}}{|M N|} + \frac{1}{{|O H|}^{2}}$ 是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由.

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12、如图，已知点列 $P_{n} (x_{n}, \frac{2}{x_{n}})$ 与 $A_{n} (a_{n}, 0)$ 满足 $x_{n + 1} > x_{n}$ ， $\vec{P_{n} P_{n + 1}} ⊥ \vec{A_{n} P_{n + 1}}$ 且 $|\vec{P_{n} P_{n + 1}}| = |\vec{A_{n} P_{n + 1}}|$ ，其中 $n \in N_{+}$ ， $x_{1} = 1$ ．

(1)、求 $x_{2}$ ；

(2)、求 $x_{n + 1}$ 与 $x_{n}$ 的关系式；

(3)、证明： $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + \dots + x_{n + 1}^{2} \leq 4 n^{2} + 1$ ．

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13、已知函数 $f (x) = (m + 1) x^{2} - m x + m - 1 (m \in R)$ .

(1)、若不等式 $f (x) < 0$ 的解集为 $\emptyset$ ，求 $m$ 的取值范围；

(2)、当 $m > - 2$ 时，解不等式 $f (x) \geq m$ ；

(3)、对任意的 $x \in [- 1, 1]$ ，不等式 $f (x) \geq x^{2} - x + 1$ 恒成立，求 $m$ 的取值范围.

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14、算盘是我国古代一项伟大的发明，是一类重要的计算工具.如图，算盘多为木制，内嵌有九至十五根直杆（简称档），自右向左分别表示个位、十位、百位、……，梁上面一粒珠子（简称上珠）代表5，梁下面一粒珠子（简称下珠）代表1，五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小.例如，个位拨动一粒上珠、十位拨动一粒下珠至梁上，表示数字15.现将算盘的个位、十位、百位分别随机拨动一粒珠子至梁上，设事件 $A =$ “表示的三位数能被5整除”， $B =$ “表示的三位数能被3整除”.

(1)、求事件A，B的概率.

(2)、求事件 $A \cup B$ 、 $A \cap B$ 的概率.

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15、中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍（chú méng）者，下有袤有广，而上有袤无广，刍，草也．甍，屋盖也．”其释义为：刍甍，底面有长有宽的矩形，顶部只有长没有宽为一条棱的五面体．刍甍字面意思为茅屋屋顶．如图所示，现有刍甍 $A B C D E F$ ，所有顶点都在球O的球面上，球心O在矩形 $A B C D$ 所在的平面内， $A B = 4$ ， $B C = 2 \sqrt{2}$ ，该刍甍的体积最大时， $E F =$ ，体积的最大值为．

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16、在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 在 $B C$ 边上， $B C = 2, ∠ B A D = ∠ C A D, A B \cdot A C = A D \cdot A B + A C \cdot A D$ ，则 $△ A B C$ 的外接圆的半径为.

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17、 $⌈x⌉ (x \in R)$ 表示不小于x的最小整数，例如 $⌈2⌉ = 2$ ， $⌈- \frac{3}{2}⌉ = - 1$ ．已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{7} = - 7$ ， $a_{4} + a_{6} = - 3$ ．记 $b_{n} = ⌈a_{n}⌉$ ，则数列 ${b_{n}}$ 的前10项的和．

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18、下列函数中最小值为4的是（）

A、 $y = \ln x + \frac{4}{\ln x}$ B、 $y = 2^{x} + 2^{2 - x}$ C、 $y = 4 |\sin x| + \frac{1}{|\sin x|}$ D、 $y = \frac{x^{2} + 5}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

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19、已知随机变量 $X$ 满足： $X \sim B (4, p), 0 < p < 1, E (X) = \frac{3}{2} D (X)$ ，则（）

A、 $p = \frac{2}{3}$ B、 $E (X) = \frac{4}{3}$ C、 $E (2 X + 1) = \frac{11}{3}$ D、 $D (2 X + 1) = \frac{32}{9}$

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20、已知角 $α$ 是锐角，角 $β$ 是第四象限角，且 $3 cos α + \sqrt{10} cos β = \frac{17}{5}$ ， $3 sin α - \sqrt{10} sin β = \frac{24}{5}$ ， $tan α = \frac{3}{4}$ ，则下列结论不正确的是（）

A、 $cos (α + β) = \frac{13 \sqrt{10}}{50}$ B、 $sin (α + β) = - \frac{9 \sqrt{10}}{50}$ C、 $tan (2 α + β) = \frac{9}{13}$ D、 $tan β = - 3$

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