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相关试卷

1、高二某班男生20人，女生30人，男､女生身高平均数分别为 $170 cm 、 160 cm$ ，方差分别为170､160，记该班全体同学身高的平均数为 $\bar{X}$ ，方差为 $s^{2}$ ，则（）

A、 $\bar{X} > 165, s^{2} > 165$ B、 $\bar{X} < 165, s^{2} > 165$ C、 $\bar{X} > 165, s^{2} < 165$ D、 $\bar{X} < 165, s^{2} < 165$

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2、已知随机变量 $X \sim N (1, 4)$ ，且 $P (X \geq a) = P (X \leq 0.2) = 0.1$ ，则 $P (\frac{a}{9} < X < 1) =$ （）

A、0.4 B、0.2 C、0.8 D、0.1

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3、函数 $f (x) = \frac{ln |x| cos x}{x}$ 的图象为（）

A、 B、 C、 D、

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4、已知函数 $f (x) = cos (2 x + φ) (0 < φ < \frac{π}{2})$ 的对称中心为 $(\frac{π}{6}, 0)$ ，则能使函数 $f (x)$ 单调递增的区间为（）

A、 $[0, \frac{π}{4}]$ B、 $[\frac{π}{4}, \frac{π}{2}]$ C、 $[\frac{π}{2}, \frac{3 π}{4}]$ D、 $[\frac{3 π}{4}, π]$

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5、已知 $x$ 是实数，则“ $x + \frac{1}{x} \geq \frac{5}{2}$ ”是“ $x \geq 2$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6、已知向量 $\vec{a} = (1, 2), \vec{b} = (3 - x, x)$ ，且 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} + 2 \vec{b})$ ，则 $x =$ （）

A、11 B、 $- 11$ C、 $\frac{11}{2}$ D、 $- \frac{11}{2}$

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7、已知复数 $z_{1} = 2 + i, z_{2} = - 1 + 2 i$ ，则 $z_{1} - z_{2}$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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8、杭州亚运会以“绿色，智能，节俭，文明”为办赛理念，展示杭州生态之美，文化之韵，充分发挥国际重大赛事对城市发展的牵引作用，从而促进经济快速发展，筹备期间，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放当地市场已知该种设备年固定研发成本为 $50$ 万元，每生产一台需要另投入 $80$ 元，设该公司一年内生产该设备 $x$ 万台且全部售完，每万台的销售收入 $G (x)$ （万元）与年产量 $x$ （万台）满足如下关系式： $G (x) = \{\begin{array}{l} 180 - 2 x, (0 < x \leq 20) \\ 70 + \frac{2000}{x} - \frac{9000}{x (x + 1)}, (x > 20) \end{array}$ .

(1)、写出年利润 $W (x)$ （万元）关于年产量 $x$ （万台）的函数解析式；（利润=销售收入-成本）

(2)、当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大？并求出最大利润.

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9、在古装剧《知否》中，甲和乙两人进行一场投壶比赛，比赛投中得分情况分“有初”，“贯耳”，“散射”，“双耳”，“依竿”五种，其中“有初”算“两筹”，“贯耳”算“四筹”，“散射”算“五筹”，“双耳”算“六筹”，“依竿”算“十筹”，三场比赛得筹最多者获胜.假设甲投中“有初”的概率为 $\frac{1}{3}$ ，投中“贯耳”的概率为 $\frac{1}{6}$ ，投中“散射”的概率为 $\frac{1}{9}$ ，投中“双耳”的概率为 $\frac{1}{12}$ ，投中“依竿”的概率为 $\frac{1}{36}$ ，乙的投掷水平与甲相同，且甲和乙投掷相互独立，比赛第一场，两人平局；第二场，甲投了个“贯耳”，乙投了个“双耳”，则三场比赛结束时，甲获胜的概率为（）

A、 $\frac{46}{213}$ B、 $\frac{17}{193}$ C、 $\frac{13}{121}$ D、 $\frac{83}{432}$

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10、如图，一个电路中有 $A, B, C$ 三个电器元件，每个元件正常工作的概率均为 $\frac{1}{2}$ ，这个电路是通路的概率是（）

A、 $\frac{1}{8}$ B、 $\frac{3}{8}$ C、 $\frac{5}{8}$ D、 $\frac{1}{4}$

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11、已知抛物线C： $y^{2} = 2 p x$ （ $p > 0$ ）过点 $(1, 2)$ ， F为C的焦点，A，B为C上不同于原点O的两点.

(1)、若 $O A ⊥ O B$ ，试探究直线 $A B$ 是否过定点，若是，求出该定点；若不是，请说明理由；

(2)、若 $A F ⊥ B F$ ，求 $△ A F B$ 面积的最小值.

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12、行列式是线性代数的一个重要研究对象，本质上，行列式描述的是n维空间中，一个线性变换所形成的平行多面体的体积，它被广泛应用于解线性方程组，矩阵运算，计算微积分等．在数学中，我们把形如 $[\begin{array}{l} 1 \\ 3 \end{array}]$ ， $[\begin{array}{l} 4 & 4 \\ 2 & 7 \end{array}]$ ， $[\begin{matrix} - 2 & 3 & 1 \\ 3 & 5 & - 3 \end{matrix}]$ 这样的矩形数字（或字母）阵列称作矩阵．我们将二阶矩阵 $[\begin{array}{l} a & b \\ c & d \end{array}]$ 两边的“[ ]”改为“”，得到二阶行列式 $|\begin{array}{l} a & b \\ c & d \end{array}|$ ，它的运算结果是一个数值（或多项式），记为 $|\begin{array}{l} a & b \\ c & d \end{array}| = a d - b c$ ．

(1)、求二阶行列式 $|\begin{matrix} 3 & 5 \\ - 2 & - 1 \end{matrix}|$ 的值；

(2)、求不等式 $|\begin{matrix} 1 & - \sqrt{3} \\ \cos x & \sin x \end{matrix}| > 1$ 的解集；

(3)、若存在 $x \in [0, π]$ ，使得 $|\begin{matrix} \sin x & - m \\ \cos x & m \end{matrix}| > \sin 2 x + 2$ ，求m的取值范围．

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13、某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：

以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．
（1）求X的分布列；
（2）若要求 $P (X \leq n) \geq 0.5$ ，确定n的最小值；
（3）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在 $n = 19$ 与 $n = 20$ 之中选其一，应选用哪个？

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14、某学校高三年级有学生1000名，经调查，其中750名同学经常参加体育锻炼（称为 $A$ 类同学），另外250名同学不经常参加体育锻炼（称为 $B$ 类同学）.现用分层抽样方法（按 $A$ 类、 $B$ 类分两层）从该年级的学生中共抽查200名同学，如果以身高达到 $165 cm$ 作为达标的标准，对抽取的200名学生，得到以下列联表：

身高达标
身高不达标
总计
经常参加体育锻炼
80

不经常参加体育锻炼

30

总计

200

(1)、完成上表；

(2)、能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为经常参加体育锻炼与身高达标有关系.
附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
$P (K^{2} \geq k_{0})$
0.10
0.05
0.010
0.001
$k_{0}$
2.706
3.841
6.635
10.828

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15、甲和乙玩纸牌游戏，已知甲手中有2张10和4张3，乙手中有4张5和6张2，现从两人手中各随机抽取两张牌并交换给对方，则交换之后甲手中牌的点数之和大于乙手中牌的点数之和的概率为

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16、马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲乙两个口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行 $n (n \in N^{*})$ 次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为 $X_{n}$ ，恰有1个黑球的概率为 $p_{n}$ ，则 $p_{1} =$ ； $p_{n} =$ ．

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17、已知函数 $f (x)$ （ $f (x)$ 不恒为零），其中 $f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数，对于任意的 $x, y \in R$ ，满足 $f (x + y) f (x - y) = f^{2} (x) - f^{2} (y)$ ，且 $f (1) = 1, f (2) = 0$ ，则（）

A、 $f (x)$ 是偶函数 B、曲线 $f^{'} (x + 1)$ 关于直线 $x = 1$ 对称 C、 $f (2 n) = 0, n \in N$ D、 $\sum_{k = 1}^{8} f (k) = - 1$

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18、设复数z的共轭复数为 $\bar{z}$ ， i为虚数单位，若 $(z + 2) i = 1 + i$ ，则（）

A、复数z的虚部为 $- 1$ B、 $|z| = 2$ C、 $\bar{z}$ 在复平面内对应的点在第一象限 D、 $z^{8} = 16$

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19、如图，已知 $M$ 为双曲线 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 上一动点，过 $M$ 作双曲线 $E$ 的切线交 $x$ 轴于点 $A$ ，过点 $A$ 作 $A D ⊥ O M$ 于点 $D$ ， $|O D| \cdot |O M| = 2 b^{2}$ ，则双曲线 $E$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$

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20、已知 $\bar{A}$ 、 $\bar{B}$ 分别为随机事件A、 $B$ 的对立事件， $P (A) > 0$ ， $P (B) > 0$ ，则下列等式错误的是（）

A、 $P (B |A) + P (\bar{B} |A) = P (A)$ B、 $P (B |A) + P (\bar{B} |A) = 1$ C、若A、 $B$ 独立，则 $P (A |B) = P (A)$ D、若A、 $B$ 互斥，则 $P (A |B) = P (B |A)$

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	身高达标	身高不达标	总计
经常参加体育锻炼	80
不经常参加体育锻炼		30
总计			200

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.10	0.05	0.010	0.001
$k_{0}$	2.706	3.841	6.635	10.828