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相关试卷

1、唐代是我国古代金银器制造最为成熟与发达的时期.强盛的国力､开放的心态､丝绸之路的畅通，使得唐代对外交往空前频繁.走进陕西历史博物馆珍宝馆，你会看到“东学西渐”和“西风东来”，各类珍宝无不反映出唐人对自我文化的自信.素面高足银杯（如图1）就是其中一件珍藏.银杯主体可以近似看作半球与圆柱的组合体（假设内壁光滑，杯壁厚度可忽略），如图2所示.已知球的半径为 $r$ ，酒杯容积为 $\frac{10 π r^{3}}{3}$ ，则其内壁表面积为（）

A、 $\frac{10 π r^{2}}{3}$ B、 $4 π r^{2}$ C、 $\frac{14 π r^{2}}{3}$ D、 $\frac{22 π r^{2}}{3}$

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2、在 $△ A B C$ 中，“ $a sin A = b sin B$ ”是“ $△ A B C$ 为等腰三角形”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3、在 $△ A B C$ 中，点 $E$ 是 $A B$ 上靠近 $A$ 的三等分点， $F$ 是 $C E$ 上靠近 $C$ 的三等分点，则 $\vec{A F} =$ （）

A、 $\frac{1}{9} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}$ B、 $\frac{2}{9} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}$ C、 $\frac{1}{9} \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A C}$ D、 $\frac{2}{9} \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A C}$

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4、设 $i$ 为虚数单位，复数z满足 $z (i + 1) = 4 + 2 i$ ，则复数 $z$ 的虚部是（）

A、 $- i$ B、 $- 1$ C、 $3 i$ D、3

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5、已知集合 $A = {x ∣ (x + 4) (x - 3) < 0}, B = \{x ∣ {log}_{3} x \leq 1\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- 4, 3]$ B、 $(0, 3)$ C、 $(- \infty, 3]$ D、 $(- 4, 3)$

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6、如图，在五棱锥 $S - A B C D E$ 中，平面 $S A E ⊥$ 平面 $A E D$ ， $A E ⊥ E D$ ， $S E ⊥ A D$ ．四边形 $A B C D$ 为矩形，且 $S E = A B = 1$ ， $A D = 3$ ， $\vec{B N} = 2 \vec{N C}$ ．

(1)、证明： $S E ⊥$ 平面 $A E D$ ；

(2)、若 $A E = \sqrt{3}$ ，求二面角 $E - S A - D$ 的余弦值；

(3)、求直线 $D N$ 与平面 $S A D$ 所成角的正弦值的最小值．

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7、设 $A, B$ 是一个随机试验的两个事件，则（）

A、若 $A, B$ 对立，则 $A, B$ 一定互斥 B、若 $A \subseteq B$ ，则 $P (A B) = P (B)$ C、若 $P (A B) = P (A) P (B)$ ，则 $A, B$ 相互独立 D、若 $P (A) + P (B) = 1$ ，则 $A, B$ 一定对立

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8、已知某平面图形 $O A B C$ 的直观图是如图所示的梯形 $O^{'} A^{'} B^{'} C^{'}$ ，且 $A^{'} B^{'} = 2, O^{'} C^{'} = 3, O^{'} A^{'} = 2$ ，则原图形OABC的面积为（）

A、 $5 \sqrt{2}$ B、 $\frac{5 \sqrt{2}}{2}$ C、12 D、10

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9、二项分布是离散型随机变量重要的概率模型.我们已经知道，若 $X \sim B (n, p)$ ，则 $P (X = k) = C_{n}^{k} p^{k} {(1 - p)}^{n - k}$ .多项分布是二项分布的推广，同样是重复 $n$ 次试验，不同的是每次试验的结果不止2种，而有 $m$ 种，记这 $m$ 种结果为事件 $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{m}$ ，它们的概率分别为 $p_{1}, p_{2}, \dots, p_{m}$ ，则 $p_{i} \geq 0, p_{1} + p_{2} + \dots + p_{m} = 1$ .现考虑某厂生产的产品分成一等品 $A_{1}$ ､二等品 $A_{2}$ ､三等品 $A_{3}$ 和不合格品 $A_{4}$ ，它们出现的概率分别为 $p_{1}, p_{2}, p_{3}, p_{4}$ ，从该厂产品中抽出 $n$ 个，研究各类产品出现的次数的情况，就是一个多项分布.由于产品很多，每次抽取可以看作是独立重复的.

(1)、若从该厂产品中抽出4个，且 $p_{1}, p_{2}, p_{3}$ 和 $p_{4}$ 分别为 $0.15, 0.70, 0.10$ 和0.05，求抽出一等品1个､二等品2个，三等品1个的概率；

(2)、现从该厂中抽出 $n$ 个产品，记事件 $A_{i}$ 出现的次数为随机变量 $X_{i}, i = 1, 2, 3, 4$ .为了定出这一多项分布的分布列，只需求出事件 $B = \{X_{1} = k_{1}, X_{2} = k_{2}, X_{3} = k_{3}, X_{4} = k_{4}\}$ 的概率，其中 $k_{i} (i = 1, 2, 3, 4)$ 为非负整数， $k_{1} + k_{2} + k_{3} + k_{3} = n$ .
（i）求 $P (B)$ ；
（ii）对于上述多项分布，求在给定 $X_{2} = k_{2}$ 的条件下，随机变量 $X_{1}$ 的数学期望.

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10、已知函数 $f (x) = a x e^{x - 1} - x - ln x$ .

(1)、若 $a = 2$ ，求曲线 $f (x)$ 在点 $M (1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[1, 3]$ 上的最大值 $g (a)$ 的表达式；

(3)、若函数 $f (x)$ 有两个零点，求实数 $a$ 的取值范围.

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11、已知 $a, b, c$ 分别为 $△ A B C$ 三个内角 $A, B, C$ 的对边，且 $\frac{sin (2 A + B)}{sin A} - 2 cos (A + B) = \frac{a + c}{b}$ .

(1)、证明： $b^{2} - a^{2} = a c$ ；

(2)、求 $cos A + \frac{a}{b}$ 的最小值.

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12、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，四边形 $A B C D$ 为正方形， $△ P A D$ 为等边三角形， $A B = 2, E ､ F$ 分别为 $A D ､ B C$ 的中点， $E G ⊥ P F$ ，垂足为 $G$ .

(1)、证明： $E G ⊥$ 平面 $P B C$ ；

(2)、若 $cos ∠ P A B = - \frac{3}{4}$ ，求平面 $P A B$ 与平面 $P C D$ 形成的锐二面角的余弦值.

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13、某校开展一项名为“书香致远，阅读润心”的读书活动，为了更好地服务全校学生，需要对全校学生的周平均阅读时间进行调查，现从该校学生中随机抽取200名学生，将他们的周平均阅读时间（单位：小时）数据分成5组： $[2, 4), [4, 6), [6, 8), [8, 10), [10, 12]$ ，根据分组数据制成了如图所示的频率分布直方图.

(1)、求 $a$ 的值，并估计全校学生周平均阅读时间的平均数；

(2)、用分层抽样的方法从周平均阅读时间不小于6小时的学生中抽出6人，从这6人中随机选出2人作为该活动的形象大使，求这2人都来自 $[6, 8)$ 这组的概率.

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14、在三棱锥 $A - B C D$ 中， $A C ⊥ A B, B D ⊥ A B$ ，且 $A C = B D = 10, A B = 3$ ，若三棱锥 $A - B C D$ 的外接球表面积的取值范围为 $[\frac{661}{4} π, 409 π]$ ，则三棱锥 $A - B C D$ 体积的取值范围为.

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15、若 ${(2 x + 1)}^{5} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{5} x^{5}$ ，则 $a_{2} =$ .

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16、已知集合 $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ ，集合 $B = {x \in R ∣ - 1 < x < 4}$ ，则 $A \cap B =$ .

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17、在 $△ A B C$ 中，已知 $4 cos B + 3 sin B + 4 sin (C - A) = 9, A C = 6$ ，则（）

A、 $A > B$ B、 $A B = 2 B C$ C、 $△ A B C$ 的外接圆直径为 $10$ D、 $△ A B C$ 的面积为 $12$

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18、投掷一枚质地均匀的硬币两次，记“第一次正面向上”为事件 $A$ ， “第二次正面向上”为事件 $B$ ， “至少有一次正面向上”为事件 $C$ ，则下列判断正确的是（）

A、 $A$ 与 $B$ 相互独立 B、 $A$ 与 $B$ 互斥 C、 $P (B ∣ C) = \frac{2}{3}$ . D、 $P (C) = P (A) + P (B) - P (A B)$

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19、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，（）

A、 $A C ⊥ B D_{1}$ B、直线 $B D_{1}$ 与 $C D$ 所成角为 $\frac{π}{4}$ C、 $A_{1} C_{1}$ $//$ 平面 $A B_{1} C$ D、直线 $B C_{1}$ 与平面 $B B_{1} D_{1} D$ 所成角为 $\frac{π}{6}$

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20、已知当 $x \in [0, 1)$ 时， $f (x) = 3^{x} - 3$ ，若函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且有 $f (x + 1)$ 为奇函数， $f (x + 2)$ 为偶函数，则 $f ({log}_{3} 300)$ 所在的区间是（）

A、 $(- \infty, 0)$ B、 $(0, \frac{1}{2})$ C、 $(\frac{1}{2}, 1)$ D、 $(1, + \infty)$

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