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相关试卷

1、在 $△ A B C$ 中， $1 + sin A sin B = {cos}^{2} B - {sin}^{2} A + {sin}^{2} C$ .

(1)、求角 $C$ 的大小；

(2)、若 $D$ 在边 $A B$ 上， $D C ⊥ C B$ ，且 $A C = \sqrt{3}, A D = 1$ ，求 $△ A B C$ 的面积 $S$ .

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2、已知第10~19届亚运会中国队获得的金牌数如下图所示.

(1)、求第 $10 \sim 19$ 届亚运会中国队获得的金牌数的极差；

(2)、剔除第 $12$ 届亚运会中国队获得的金牌数数据，求剩余9届亚运会中国队获得的金牌数的平均数；

(3)、设第 $10 \sim 12$ 届亚运会中国队获得的金牌数的方差为 $s_{1}^{2}$ ，第 $13 \sim 15$ 届亚运会中国队获得的金牌数的方差为 $s_{2}^{2}$ ，不通过计算，试比较 $s_{1}^{2}$ 与 $s_{2}^{2}$ 的大小，并说明理由.

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3、为促进学生德､智､体､美､劳全面发展，某校开发出文化艺术课程､科技课程､体育课程等多类课程.为了解该校各班参加科技课程的人数，从全校随机抽取5个班级，设这5个班级参加科技课程的人数分别为 $x, y, z, m, n (x < y < z < m < n, x, y, z, m, n \in N^{*})$ .已知这5个班级参加科技课程的人数的平均数为9，方差为4，则 $z - 9 =$ .

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4、已知向量 $\vec{a} = (1, \sqrt{3}), \vec{b} = (\sqrt{3}, λ), \vec{c} = (4 \sqrt{3}, - 3)$ ．若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $λ =$ ；若 $\vec{b} ⊥ \vec{c}$ ，则向量 $3 \sqrt{3} \vec{a} - 2 \vec{b}$ 与 $\vec{a}$ 的夹角为.

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5、复数 $(2 + i^{3}) i$ 的虚部为．

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6、刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于 $2 π$ 与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制．例如：正方体每个顶点均有3个面角，每个面角均为 $\frac{π}{2}$ ，故其各个顶点的曲率均为 $2π - 3 \times \frac{π}{2} = \frac{π}{2}$ ．如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C = B C = 2, A A_{1} = \frac{3}{2}$ ，点 $C$ 的曲率为 $\frac{π}{3}, D, E, F$ 分别为 $A C, A B, A_{1} C_{1}$ 的中点，则（）

A、直线 $B F / /$ 平面 $A_{1} D E$ B、在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，点 $A$ 的曲率为 $\frac{5π}{6}$ C、在四面体 $A_{1} A D E$ 中，点 $E$ 的曲率小于 $π$ D、二面角 $A_{1} - D E - A$ 的大小为 $\frac{π}{3}$

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7、一名男生A和两名女生B，C在周六、周日两天中任选一天去参观博物馆，每人只去一天，且每天至少有一人去参观博物馆，则下列结论正确的是（）

A、“周六至少有一名女生去参观博物馆”与“周六只有一名男生去参观博物馆”是对立事件 B、“周六只有一人去参观博物馆”与“周日只有一人去参观博物馆”是对立事件 C、“周六只有一人去参观博物馆”与“周日有两人去参观博物馆”是互斥事件 D、“女生B周六去参观博物馆”与“女生B周日去参观博物馆”是互斥事件

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8、若 $z = k^{2} - 2 k + k i (k \in R)$ ，则下列结论正确的是（）

A、若 $z$ 为实数，则 $k = 0$ B、若 $z i = 1 + 3 i$ ，则 $k = 3$ C、若 $z$ 在复平面内对应的点位于第一象限，则 $k > 3$ D、若 $z + \bar{z} = - 2$ ，则 $|z| = \sqrt{2}$

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9、 $P$ 是 $△ A B C$ 内一点， $∠ A B P = 45 °, ∠ P B C = ∠ P C B = ∠ A C P = 30 °$ ，则 $\tan ∠ B A P =$ （）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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10、已知 $|\vec{O A}| = |\vec{O B}| = |\vec{O C}|$ ，且 $\vec{A B} + \vec{A C} + \vec{O A} = \vec{0}$ ，则 $\vec{B A}$ 在 $\vec{O A}$ 上的投影向量为（）

A、 $\frac{1}{2} \vec{O A}$ B、 $- \frac{1}{2} \vec{O A}$ C、 $\frac{1}{4} \vec{O A}$ D、 $\vec{O A}$

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11、已知样本数据 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{200}$ 的平均数为 $14$ ，样本数据 $y_{1}, y_{2}, \dots, y_{600}$ 的平均数为 $a$ ，若样本数据 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{200}, y_{1}, y_{2}, \dots, y_{600}$ 的平均数为 $a + 1$ ，则 $a =$ （）

A、12 B、10 C、2 D、11

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12、一个样本容量为600的频数分布表不小心被损坏了一部分．若样本中数据在 $[0.2, 0.8)$ 内的频率为0.75，则样本中的数据在 $[0.4 ， 0.8)$ 内的个数为（）

A、225 B、295 C、235 D、305

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13、如图所示， $\vec{B C} = 2 \vec{A D}, \vec{D C} = 4 \vec{D H}$ ，则 $\vec{B H} =$ （）

A、 $\frac{3}{4} \vec{B A} + \frac{7}{8} \vec{B C}$ B、 $\frac{2}{3} \vec{B A} + \frac{3}{5} \vec{B C}$ C、 $\frac{3}{4} \vec{B A} + \frac{5}{8} \vec{B C}$ D、 $\frac{3}{4} \vec{B A} + \frac{5}{6} \vec{B C}$

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14、已知在 $R$ 软件的控制台中，输入“ $sample (1 : 20, 4$ ， $replace = F$ ）”，按回车键，得到的4个1~20范围内的不重复的整数随机数为 $12, 6, 10, 4$ ，则这4个整数的标准差为（）

A、 $2 \sqrt{10}$ B、 $\sqrt{10}$ C、40 D、10

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15、为了提升学生的文学素养，某校将2024年5月定为读书月，要求每个学生都只选择《平凡的世界》与《麦田里的守望者》中的一本.已知该校高一年级学生选择《平凡的世界》的人数为450，选择《麦田里的守望者》的人数为550.现采用按比例分层随机抽样的方法，从高一学生中抽取20名学生进行阅读分享，则被抽到的这20名学生中选择了《平凡的世界》的人数为（）

A、9 B、10 C、11 D、12

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16、命题“ $\forall x \in [1, 2], x^{2} - a \leq 0$ ”为真命题的一个充分不必要条件是（）

A、 $a \leq 4$ B、 $a \geq 4$ C、 $a \leq 5$ D、 $a \geq 5$

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17、给出下列命题：
①“ $a = 2$ ”是“ $\{1, a\} \subseteq \{1, 2, 3\}$ ”的充分非必要条件；
②“函数 $y = {cos}^{2} a x - {sin}^{2} a x$ 的最小正周期为 $π$ ”是“ $a = 1$ ”的充要条件；
③“平面向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角是锐角”的充要条件是“ $\vec{a} \cdot \vec{b} > 0$ ”.
其中正确命题的序号是（把所有正确命题的序号都写上）

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18、焦点在 $x$ 轴上，焦距为 $2 \sqrt{15}$ ，且经过点 $(- 4, 0)$ 的椭圆的标准方程为.

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19、刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制．例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为 $\frac{π}{3}$ ，故其各个顶点的曲率均为 $2 π - 3 \times \frac{π}{3} = π$ ．如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C 1$ 中，点A的曲率为 $\frac{2 π}{3}$ ， N，M分别为AB， $C C_{1}$ 的中点，且 $A B = A C$ ．

(1)、证明： $C N ⊥$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ．

(2)、证明：平面 $A M B_{1} ⊥$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ．

(3)、若 $A A_{1} = 2 A B$ ，求二面角 $A - M B_{1} - C_{1}$ 的正切值．

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20、中国古代数学的瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池， $A A_{1}$ 垂直于底面， $A A_{1} = 5$ ，底面扇环所对的圆心角为 $\frac{π}{2}$ ，弧 $A D$ 的长度是弧 $B C$ 长度的3倍， $C D = 2$ ，则下列说法正确的是（）

A、弧 $A D$ 长度为 $\frac{3}{2} π$ B、曲池的体积为 $\frac{10 π}{3}$ C、曲池的表面积为 $20 + 14 π$ D、三棱锥 $A - C C_{1} D$ 的体积为5

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