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相关试卷

1、已知点P在椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上，过点P作直线l与椭圆C交于点Q，过点P作关于坐标原点O的对称点 $P^{'}$ ， $|P P^{'}|$ 的最小值为 $2 \sqrt{2}$ ，当直线l的斜率为0时，存在第一象限内的一点P使得 $|P P^{'}| = 4, |P Q| = 2 \sqrt{3}$ ．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、设直线l的斜率为k（k≠0），直线 $Q P^{'}$ 的斜率为 $k^{'}$ ，求 $k \cdot k^{'}$ 的值．

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2、如图，在四棱锥P﹣ABCD中， $∠ A D C = ∠ B C D = 90 °$ ， M，N分别是PC，AD的中点， $P N ⊥$ 平面ABCD，且 $P N = B C = C D = \frac{1}{2} A D = 2$ ．

(1)、求证： $P A / /$ 平面BMN；

(2)、求二面角C﹣BM﹣N的正弦值．

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3、已知函数 $f (x) = \sin^{4} x + 2 \sqrt{3} \sin x \cos x - \cos^{4} x + a$ 在区间 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的最大值为 $3$ ．

(1)、求常数a的值；

(2)、求函数 $f (x)$ 的单调递增区间.

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4、如图是某城区的街道平面网格，它由24个全等的小正方形构成，每个小正方形的边界都是能通行的街道道路，而小正方形的内部都有楼房建筑（不能跨越通行）．小张家居住在街道网格的M处，她的工作单位在街道网格的N处，每天早上她从家出发，沿着街道道路去单位上班，若她要选择最短路径前往，则小张上班一共有种走法；若小张某天早上从家出发前往单位上班，途中要先到达街道P处吃早餐，吃完早餐再前往单位，则她一共有种最短路径的走法．

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5、若 $\sin 2 α + \cos^{2} α = - \frac{1}{2}, α \in (\frac{π}{2}, \frac{3 π}{4})$ ，则 $\tan α =$ ．

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6、若数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n} = \frac{{(- 1)}^{n}}{\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}}$ ，则 $S_{8} =$ ．

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7、已知函数 $y = f (x)$ 的导函数为 $y = g (x)$ ，且 $g (x) = x^{3} - 3 x + 2$ ，则（）

A、点 $(0, 2)$ 是曲线 $y = g (x)$ 的对称中心 B、函数 $g (x)$ 有三个零点 C、函数 $f (x)$ 只有一个极值点 D、当 $x + 1 > 0$ 时， $f (e^{x}) \geq f (x + 1)$

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8、已知点M是抛物线 $C : x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 上的动点，当M运动到达点 $M_{0} (x_{0}, 2)$ 时， $M_{0}$ 到焦点F的距离等于5，过动点M作抛物线C的准线的垂线，垂足为N，过定点 $P (2, - 1)$ 作与C有且仅有一个公共点的直线l，直线PF与C交于点A，B，则（）

A、抛物线C的方程为 $x^{2} = 12 y$ B、直线l的方程为 $x - y - 3 = 0$ 或 $x + 3 y + 1 = 0$ C、 $|A B| = 60$ D、满足 $|M N| = |M P|$ 的点M有且仅有2个

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9、已知正实数a，b，满足 $e^{a} + e^{b - 1} \geq \frac{1}{e^{a}} + \frac{1}{e^{b - 1}}$ ，则 $a^{2} + b^{2}$ 的最小值为（）

A、1 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{8}$

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10、如图，平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的所有棱长为2，四边形ABCD是正方形， $∠ A_{1} A D = ∠ A_{1} A B = \frac{π}{3}$ ，点 $O$ 是 $B_{1} C$ 与 $B C_{1}$ 的交点，则直线 $A O$ 与 $C D$ 所成角的余弦值为（）

A、1 B、 $\frac{5}{6}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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11、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} \tan x + a, - \frac{π}{2} < x < 0 \\ e^{x} + \ln (x + 1) - \frac{1}{x + 1}, x \geq 0 \end{array}$ 的值域为R ，则实数a的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 0]$ B、 $(- \infty, - 1]$ C、 $[0, + \infty)$ D、 $[- 1, + \infty)$

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12、若直线 $l : 2 x - y = 0$ 是双曲线 $C : \frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的一条渐近线，则该双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$

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13、从某小型加工厂生产的产品中抽取100件作为样本，将该样本进行某项质量指标值测量，下图是测量结果x的频率分布直方图．若同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，则在下列选项中，关于该样本统计量的叙述不正确的选项是（）

A、指标值在区间 $[195, 205)$ 的产品约有33件 B、指标值的极差介于50与70之间 C、指标值的第60百分位数大于205 D、指标值的方差的估计值是150

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14、已知命题p： $\exists x \in (0, + \infty), x + \frac{1}{x} - a < 0$ ．若p是假命题，则实数a的取值范围是（）

A、 $a > 2$ B、 $a < 2$ C、 $a \geq 2$ D、 $a \leq 2$

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15、设复数 $z$ 满足 $(1 - i) z = {(1 + i)}^{2}$ ，则 $z$ 在复平面内所对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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16、德国心理学家艾·宾浩斯研究发现，人类大脑对事物的遗忘是有规律的，他依据实验数据绘制出“遗忘曲线”．“遗忘曲线”中记忆率 $y$ 随时间 $t$ （小时）变化的趋势可由函数 $y = 1 - 0.6 t^{0.27}$ 近似描述，则记忆率为 $50 %$ 时经过的时间约为（）（参考数据： $lg 2 \approx 0.30, lg 3 \approx 0.48$ ）

A、2小时 B、0.8小时 C、0.5小时 D、0.2小时

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17、已知集合 $A = \{x| \frac{1}{4} \leq 2^{x} \leq 32\}$ ， $B = \{x| x^{2} - 4 x + 4 - m^{2} \leq 0, m \in R\}$ .

(1)、若 $m = 3$ ，求 $A \cap B$ ；

(2)、若存在正实数m，使得“ $x \in A$ ”是“ $x \in B$ ”成立的充分不必要条件，求正实数m的取值范围.

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18、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} + 1 ， x > 0 \\ \cos x, x \leq 0 \end{array}$ 则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 是偶函数 B、 $f (x)$ 是增函数 C、 $f (x)$ 是周期函数 D、 $f (x)$ 的值域为 $[- 1, + \infty)$

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19、如图，在四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A A_{1} ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为平行四边形， $B D ⊥ A_{1} C$ ，且 $E, F, H$ 分别为线段 $B B_{1}, A_{1} B, A D$ 的中点.

(1)、证明： $|A_{1} B| = |A_{1} D|$ .

(2)、证明：平面 $E F H$ $∥$ 平面 $A_{1} C D$ .

(3)、若 $A B = 2 A_{1} B_{1}, A A_{1} = 1, ∠ A B C = \frac{π}{3}$ ，当 $A_{1} B$ 与平面 $A_{1} C D$ 所成的角最大时，求四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的体积 $V$ .

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20、已知某工厂一区生产车间与二区生产车间均生产某种型号的零件，这两个生产车间生产的该种型号的零件尺寸的频率分布直方图如图所示（每组区间均为左开右闭）.
尺寸大于 $M$ 的零件用于大型机器中，尺寸小于或等于 $M$ 的零件用于小型机器中.

(1)、若 $M = 60$ ，试分别估计该工厂一区生产车间生产的500个该种型号的零件和二区生产车间生产的500个该种型号的零件用于大型机器中的零件个数.

(2)、若 $M \in (60, 70]$ ，现有足够多的来自一区生产车间与二区生产车间的零件，分别用于大型机器､小型机器各5000台的生产，每台机器仅使用一个该种型号的零件.
方案一：直接将一区生产车间生产的零件用于大型机器中，其中用了尺寸小于或等于 $M$ 的零件的大型机器每台会使得工厂损失200元；直接将二区生产车间生产的零件用于小型机器中，其中用了尺寸大于 $M$ 的零件的小型机器每台会使得工厂损失100元.
方案二：重新测量一区生产车间与二区生产车间生产的零件尺寸，并正确匹配型号，重新测量的总费用为35万元.
请写出采用方案一，工厂损失费用的估计值 $H (M)$ （单位：万元）的表达式，并从工厂损失的角度考虑，选择合理的方案.

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