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相关试卷

1、设F为抛物线 $H :$ $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点，点P在H上，点 $M (\frac{7 p}{2}, 0)$ ，若 $|P F| = |P M| = 5$ ．

(1)、求 $H$ 的方程；

(2)、过点F作直线l交H于A、B两点，过点B作x轴的平行线与H的准线交于点C，过点A作直线CF的垂线与H的另一交点为D，直线CB与AD交于点G，求 $\frac{| G B |}{| G C |}$ 的取值范围．

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2、如图，将圆 $O$ 沿直径 $A B$ 折成直二面角，已知三棱锥 $P - C O D$ 的顶点 $C$ 在半圆周上， $P ， D$ 在另外的半圆周上， $O C ⊥ A B$ .

(1)、若 $O D ⊥ O P$ ，求证： $O P ⊥ C D$ ；

(2)、若 $O A = 2$ ， $∠ A O D = 30^{\circ}$ ，直线 $C D$ 与平面 $P O C$ 所成的角为 $45^{\circ}$ ，求点 $P$ 到直线 $C D$ 的距离.

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3、斐波那契数列 $(Fibonacci sequence)$ ，又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多·斐波那契 $(Leonardo Fibonacci)$ 以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、…，在数学上，斐波那契数列以如下递推的方式定义： $a_{0} = 1, a_{1} = 1, a_{n} = a_{n - 1} + a_{n - 2} (n \geq 2, n \in N^{*}), A = \{a_{1}, a_{2}, \dots, a_{2024}\}, B \subseteq A$ 且 $B \neq \emptyset$ 中，则B中所有元素之和为奇数的概率为．

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4、若 ${(\sqrt{x} + \frac{a}{x})}^{5}$ 的展开式中 $x$ 的系数为15，则 $a =$ ．

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5、已知直线 $l_{1}$ 是曲线 $f (x) = ln x$ 上任一点 $A (x_{1}, y_{1})$ 处的切线，直线 $l_{2}$ 是曲线 $g (x) = e^{x}$ 上点 $B (y_{1}, x_{1})$ 处的切线，则下列结论中正确的是（）

A、当 $x_{1} + y_{1} = 1$ 时， $l_{1}$ $∥$ $l_{2}$ B、存在 $x_{1}$ ，使得 $l_{1} ⊥ l_{2}$ C、若 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 交于点 $C$ 时，且三角形 $A B C$ 为等边三角形，则 $x_{1} = 2 + \sqrt{3}$ D、若 $l_{1}$ 与曲线 $g (x)$ 相切，切点为 $C (x_{2}, y_{2})$ ，则 $x_{1} y_{2} = 1$

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6、已知 $a$ ， $b$ ， $c \in R$ ，则下列结论正确的是（）

A、若 $a > b > 0$ ，则 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ B、若 $a > b$ ，则 $a c^{2} > b c^{2}$ C、若 $2^{a} > {(\frac{1}{2})}^{b}$ ，则 $a + b > 0$ D、若 $a > b > 0$ ，则 $a + \frac{1}{b} < b + \frac{1}{a}$

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7、若 $a = \ln \frac{4}{3}, b = \frac{1}{4}, c = \sqrt[3]{e} - 1$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系为（）

A、 $a > b > c$ B、 $c > b > a$ C、 $c > a > b$ D、 $b > a > c$

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8、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 的直线交椭圆于 $A, B$ 两点，且 $|A F_{2}| : |B F_{2}| : |B F_{1}| = 3 : 2 : 6$ ，则椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$

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9、由未来科学大奖联合中国科技馆共同主办的“同上一堂科学课”——科学点燃青春：未来科学大奖获奖者对话青少年活动于2023年9月8日在全国各地以线上线下结合的方式举行．现有某市组织5名获奖者到当地三个不同的会场与学生进行对话活动，要求每个会场至少派一名获奖者，每名获奖者只去一个会场，则不同的派出方法有（）

A、60种 B、120种 C、150种 D、240种

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10、过坐标原点O作两条互相垂直的直线OA，OB，点A，B（异于点O）均在圆 $C : x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y = 0$ 上，则 $△ O A B$ 面积的最大值为（）

A、26 B、 $13 \sqrt{2}$ C、13 D、 $\frac{13}{2}$

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11、函数 $f (x) = sin 3 x$ 在 $[0, x_{0})$ 上没有最小值，则 $x_{0}$ 的取值范围是（）

A、 $(0, \frac{π}{2})$ B、 $(0, \frac{π}{3})$ C、 $(\frac{π}{3}, \frac{π}{2}]$ D、 $(\frac{π}{3}, \frac{π}{2})$

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12、在 $△ A B C$ 中， $D$ 是 $A B$ 的中点， $E$ 是 $C D$ 的中点，若 $\vec{A E} = λ \vec{C A} + μ \vec{C B}$ ，则 $λ + μ =$ （）

A、 $- \frac{3}{4}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、1

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13、已知复数 $z$ 满足 $z - 2 i = z i + 4$ ，则 $z$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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14、将函数 $f (x) = \cos (2 x - \frac{π}{6})$ 图象上的所有点向左平移 $\frac{5 π}{6}$ 个单位长度，得到函数 $g (x)$ 的图象，则（）

A、 $g (x) = \cos (2 x - \frac{2 π}{3})$ B、 $g (x)$ 在 $[- \frac{π}{3}, \frac{π}{3}]$ 上单调递增 C、 $g (x)$ 在 $[0, \frac{π}{3}]$ 上的最小值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、直线 $x = \frac{π}{4}$ 是 $g (x)$ 图象的一条对称轴

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15、设圆 $C_{1}$ ： $x^{2} + y^{2} - 10 x + 4 y + 25 = 0$ 与圆 $C_{2}$ ： $x^{2} + y^{2} - 6 x + 8 = 0$ ，点 $A$ ， $B$ 分别是 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 上的动点， $M$ 为直线 $y = x + 1$ 上的动点，则 $|M A| + |M B|$ 的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{2} + 3$ B、 $3 - 2 \sqrt{2}$ C、 $6 \sqrt{2} - 3$ D、 $6 \sqrt{2} + 3$

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16、下列命题中正确的是（）

A、点 $M (3, 2, 1)$ 关于平面 $y O z$ 对称的点的坐标是 $(- 3, 2, - 1)$ B、若直线l的方向向量为 $\vec{e} = (1, - 1, 2)$ ，平面 $α$ 的法向量为 $\vec{m} = (6, 4, - 1)$ ，则 $l ⊥ α$ C、若直线l的方向向量与平面 $α$ 的法向量的夹角为 $120^{\circ}$ ，则直线l与平面 $α$ 所成的角为 $30^{\circ}$ D、已知O为空间任意一点，A，B，C，P四点共面，且任意三点不共线，若 $\vec{O P} = m \vec{O A} - \frac{1}{2} \vec{O B} + \vec{O C}$ ，则 $m = - \frac{1}{2}$

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17、已知向量 $\vec{a} = (1, - 3, - 2), \vec{b} = (3, 2, - 5)$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $\vec{a} // \vec{b}$ B、 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ C、 $\vec{a} - \vec{b} = (- 2, - 5, - 3)$ D、 $|\vec{a}| = \sqrt{14}$

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18、如图，已知矩形U表示全集，A、B是U的两个子集，则阴影部分可表示为（）

A、 $∁_{U} (A \cup B)$ B、 $∁_{U} (A \cap B)$ C、 $(∁_{U} B) \cap A$ D、 $(∁_{U} A) \cap B$

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19、已知全集 $U = \{- 3, - 2, 2, 5, 7\}$ ，集合 $A = \{- 2, 2\}$ ， $B = \{- 2, 7\}$ ，则 $A \cap (∁_{U} B) =$ （）

A、 $\{- 2\}$ B、 $\{2\}$ C、 $\{- 3, 5, 7\}$ D、 $\{- 3, 2, 5\}$

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20、已知函数 $f (x) = \ln (1 + x) + \cos x - x, x \in (- 1, π)$ ．

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程；

(2)、求 $f (x)$ 零点的个数．

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