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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = \frac{x^{2} + x - 1}{e^{x}}$ .
（1）求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线的方程；
（2）求函数 $y = f (x)$ 的极值.

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2、丝瓜的主要用途是作为蔬菜被人们食用，除此之外，丝瓜成熟后里面的网状纤维（丝瓜络）可代替海绵用于洗刷灶具及家具，其肉、籽、花、藤、叶等也具有一定的药用作用．已知一种白玉香丝瓜成熟后的长度近似服从正态分布 $N (20, 9)$ ，某蔬菜种植基地新摘下一批成熟白玉香丝瓜，整理后发现长度在23cm以上（含23 cm）的白玉香丝瓜有320根，则此次摘下的白玉香丝瓜约有根．（结果保留整数，若 $X \sim N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < X < μ + σ) \approx 0.6827$ ， $P (μ - 2 σ < X < μ + 2 σ) \approx 0.9545$ ， $P (μ - 3 σ < X < μ + 3 σ) \approx 0.9973$ ）

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3、在 $(x + 1) {(a x + 1)}^{5}$ 的展开式中， $x^{2}$ 的系数为15，则 $a =$ .

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4、下列说法正确的是（）

A、已知随机变量X，Y，满足 $X + 2 Y = 4$ ，且X服从正态分布 $N (3, 1)$ ，则 $E (Y) = \frac{1}{2}$ B、已知随机变量X服从二项分布 $B (5, \frac{1}{3})$ ，则 $P (X = 3) = \frac{80}{243}$ C、已知随机变量X服从正态分布 $N (4, 1)$ ，且 $P (X \geq 5) = 0.1587$ ，则 $P (3 < X < 5) = 0.6826$ D、已知随机变量X服从两点分布，且 $P (X = 0) = 0.6, P (X = 1) = 0.4$ ，令 $Y = 3 X - 2$ ，则 $P (Y = - 2) = 0.6$

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5、下列各式中，不等于 $n!$ 的是（）

A、 $n \cdot A_{n - 1}^{n - 1}$ B、 $A_{n}^{m} \cdot C_{n}^{m}$ C、 $A_{n + 1}^{n + 1}_{}$ D、 $A_{n}^{m} \cdot A_{n - m}^{n - m}$

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6、下列说法中不正确的有（）

A、 ${(sin \frac{π}{4})}^{'} = cos \frac{π}{4}$ B、函数 $y = f (x)$ 的切线与函数可以有两个公共点 C、若 $f^{'} (x_{0}) = 0$ ，则 $x_{0}$ 是函数 $f (x)$ 的极值点 D、函数 $f (x) = x - ln 2 x$ 的减区间为 $(- \infty, 1)$

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7、若 $e^{x + 2 t} \geq \ln x - 2 t$ 对一切正实数 $x$ 恒成立，则实数 $t$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, \frac{1}{e}]$ B、 $(- \infty, \frac{1}{2}]$ C、 $[- \frac{1}{2} ， + \infty)$ D、 $(- \infty, e]$

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8、设函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 是定义在同一区间 $[a, b]$ 上的两个函数，若对任意的 $x \in [a, b]$ ，都有 $|f (x) - g (x)| \leq 1$ ，则称 $f (x)$ 与 $g (x)$ 在 $[a, b]$ 上是“密切函数”，区间 $[a, b]$ 称为“密切区间”，设函数 $f (x) = ln x$ 与 $g (x) = \frac{m x - 1}{x}$ 在 $[\frac{1}{e}, e]$ 上是“密切函数”，则实数m的取值范围是（）

A、 $[e - 2, 2]$ B、 $[\frac{1}{e}, 2]$ C、 $[\frac{1}{e} - e, 1 + e]$ D、 $[1 - e, 1 + e]$

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9、已知某地市场上供应的灯泡中，甲厂产品占 $60 %$ ，乙厂产品占 $40 %$ ，甲厂产品的合格率是 $90 %$ ，乙厂产品的合格率是 $80 %$ ，则从该地市场上买到一个合格灯泡的概率是（）

A、 $0.54$ B、 $0.32$ C、 $0.84$ D、 $0.86$

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10、函数 $y = (x + 1) e^{x + 1}, x \in [- 3, 4]$ 的最小值为（）

A、 $2 e^{- 2}$ B、 $5 e^{5}$ C、 $4 e^{5}$ D、 $- e^{- 1}$

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11、2023年杭州亚运会吉祥物组合为“江南忆”，出自白居易的“江南忆，最忆是杭州”，名为“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”的三个吉祥物，是一组承载深厚文化底蕴的机器人为了宣传杭州亚运会，某校决定派4名志愿者将这三个吉祥物安装在学校科技广场，每名志愿者只安装一个吉祥物，且每个吉祥物至少有一名志愿者安装，若志愿者甲只能安装吉祥物“宸宸”，志愿者乙不能安装吉祥物“宸宸”则不同的安装方案种数为（）

A、6 B、12 C、10 D、14

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12、已知函数f(x)的图象如图所示，下列数值的排序正确的是（）

A、 $f^{'} (2) < f^{'} (3) < f (3) - f (2)$ B、 $f^{'} (3) < f (3) - f (2) < f^{'} (2)$ C、 $f^{'} (3) < f^{'} (2) < f (3) - f (2)$ D、 $f (3) - f (2) < f^{'} (2) < f^{'} (3)$

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13、若双曲线 $C : \frac{y^{2}}{4} - \frac{x^{2}}{m} = 1$ 的一条渐近线方程为 $y = 2 x$ ，则 $m =$ （）

A、1 B、2 C、8 D、16

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14、已知向量 $\vec{a} = (1, 2, 2), \vec{b} = (- 2, 1, 1)$ ，则向量 $\vec{b}$ 在向量 $\vec{a}$ 上的投影向量为（　　）

A、 $(- \frac{2}{9}, - \frac{4}{9}, - \frac{4}{9})$ B、 $(\frac{2}{9}, \frac{4}{9}, \frac{4}{9})$ C、 $(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ D、 $(\frac{2}{3}, - \frac{1}{3}, - \frac{1}{3})$

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15、设 $\vec{a} = (2, - 1)$ ， $\vec{b} = (- 3, 1)$ ， $\vec{c} = (1, - 2)$ ，则 $(\vec{a} + 2 \vec{b}) \cdot \vec{c} =$ （）

A、 $- 2$ B、1 C、 $- 6$ D、 $- 7$

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16、对于一个 $n$ 元正整数集 $S = \{1, 2, \dots, n\}$ ，如果它能划分成 $\frac{n}{2}$ 个不相交的二元子集 $\{a_{i}, b_{i}\} (i = 1, 2, \dots, \frac{n}{2})$ 的并集，即 $S = \{a_{1}, b_{1}\} \cup \{a_{2}, b_{2}\} \cup \dots \cup \{a_{n}, b_{n}\}$ ，且存在 $k \in N^{*}$ ，使得 $a_{i} + b_{i} = 3^{k}$ ，则称这个偶数 $n$ 为可分数.例如，由于二元子集 $\{1, 2\}$ 满足 $1 + 2 = 3$ ，则称2为可分数.

(1)、判断4和6是否为可分数，并说明理由；

(2)、求小于81的最大可分数；

(3)、记小于 $3^{n} (n \in N^{*})$ 的可分数的个数为 $a_{n}$ ，令 $b_{n} = \frac{a_{n}}{3^{n}}$ ，记 $S_{n}$ 为数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，证明： $S_{n} < \frac{3}{2}$ .

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17、已知函数 $f (x) = a x + x ln (1 + \frac{x}{2}) - (1 + x) ln (1 + x)$ .

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线与 $x$ 轴平行，求 $a$ 的值；

(2)、设函数 $g (x) = x f (\frac{1}{x})$ ，给出 $g (x)$ 的定义域，并证明：曲线 $y = g (x)$ 是轴对称图形；

(3)、证明： ${(1 + \frac{1}{n})}^{n} < e (1 - \frac{1}{2 n + 2}) (n \in N^{*})$ .

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18、设 $a, b \in R$ ，若 $a - |b| > 0$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $b - a > 0$ B、 $b + a > 0$ C、 $a^{2} - b^{2} > 0$ D、 $a^{3} + b^{3} < 0$

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19、已知 $M$ ， $N$ 是圆 $O : x^{2} + y^{2} = 8$ 上两点，且 $| M N | = 4$ ，若直线 $x - a y + 6 = 0$ 上存在点 $P$ 使得 $\vec{O M} + \vec{O N} = \vec{O P}$ ，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty, - \frac{\sqrt{5}}{2}] \cup [\frac{\sqrt{5}}{2}, + \infty)$ B、 $(- \infty, - \frac{\sqrt{5}}{2}) \cup (\frac{\sqrt{5}}{2}, + \infty)$ C、 $[- \frac{\sqrt{5}}{2}, \frac{\sqrt{5}}{2}]$ D、 $(- \frac{\sqrt{5}}{2}, \frac{\sqrt{5}}{2})$

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20、已知圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} = 1$ ，圆 $C_{2} : x^{2} + y^{2} + 2 x - 6 y + 5 = 0$ ， $O$ 为坐标原点，动点 $P$ 在 $x$ 轴上，动点 $Q (x_{0}, y_{0})$ 在圆 $C_{1}$ 上，线段 $O Q$ 的中点为 $M$ .则下列选项正确的是（）

A、 $M$ 的轨迹方程为 $x^{2} + y^{2} = \frac{1}{2}$ B、过点 $P$ 作圆 $C_{2}$ 的一条切线，则切线长最短为2 C、圆 $C_{1}$ 和圆 $C_{2}$ 有两条公切线 D、 $\frac{1 - y_{0}}{2 + x_{0}}$ 的最大值为 $\frac{4}{3}$

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