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相关试卷

1、等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，公差为 $d$ ，若 $a_{13} + a_{17} > 0, S_{31} < 0$ ，则（）

A、 $d > 0$ B、 $d < 0$ C、当 $n = 15$ 时， $S_{n}$ 取得最大值 D、当 $n = 16$ 时， $S_{n}$ 取得最大值

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2、已知函数 $f (x) = \frac{- 3^{x} + 1}{3^{x + 1} + 3}$ .

(1)、判断 $f (x)$ 的奇偶性；

(2)、判断函数 $f (x)$ 的单调性，利用函数单调性的定义进行证明；

(3)、若不等式 $f (3^{x} - 1) + f (k \cdot 3^{x + 1} + 3 k) > 0$ 在区间 $[0, + \infty)$ 上有解，求实数k的取值范围.

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3、已知关于 $x$ 的不等式 $x^{2} - a x - b < 0$ .

(1)、若该不等式的解集为 ${x ∣ - 4 < x < 2}$ ，求 $a, b$ 的值；

(2)、当 $b = 2 a$ 时，若不等式在 $0 \leq x \leq 2$ 上恒成立，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、当 $b = a + 1$ 时，求此不等式的解集.

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4、

(1)、化简： $\frac{{(\sqrt[3]{a^{2} b})}^{2} \cdot \sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b} \cdot \sqrt[3]{a^{2} b^{4}}} (a > 0, b > 0)$

(2)、已知 $x - x^{- 1} = 2 \sqrt{3} (x > 0)$ ，求 $\frac{x^{2} - x^{- 2}}{x^{2} + x^{- 2}}$

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5、已知条件 $p : x > m$ ，条件 $q : \frac{2 - x}{x + 1} \geq 0$ ．若 $p$ 是 $q$ 的必要不充分条件，则实数 $m$ 的取值范围是．

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6、函数 $f (x) = \sqrt{2 x - 1} - {(4 x - 3)}^{0}$ 的定义域是.

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7、函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} 2^{x}, x < 0 \\ | x - 1 |, x \geq 0 \end{array}$ ，若 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，且 $f (x_{1}) = f (x_{2}) = f (x_{3})$ ，则（）

A、 $x_{2} + x_{3} = 2$ B、 $x_{1} < 0 < x_{2} < 1 < x_{3}$ C、 $|x_{3}| > |x_{1}| > |x_{2}|$ D、 $0 < x_{2} f (x_{1}) \leq \frac{1}{4}$

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8、若函数 $y = x^{2} + (2 a - 1) x + 1$ 在区间 $(2, + \infty)$ 上是增函数，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[- \frac{3}{2}, + \infty)$ B、 $(- \infty, - \frac{3}{2}]$ C、 $[\frac{3}{2}, + \infty)$ D、 $(- \infty, \frac{3}{2}]$

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9、已知 $a = {(\frac{4}{5})}^{\frac{2}{3}}$ ， $b = {(\frac{2}{3})}^{\frac{4}{3}}$ ， $c = 1$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系是（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > a > c$ C、 $c > b > a$ D、 $c > a > b$

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10、若正数 $x$ ， $y$ 满足 $3 x + y = 2$ ，则 $\frac{3}{x} + \frac{1}{y}$ 的最小值是（）

A、 $4$ B、 $6$ C、 $8$ D、 $10$

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11、已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} x^{2} - 2 x, x \geq - 2 \\ x + 3, x < - 2 \end{matrix}$ ，则 $f (f (- 4)) =$ （）

A、 $- 1$ B、 $3$ C、 $- 3$ D、 $24$

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12、已知直线 $x - y + 1 = 0$ 与圆 $x^{2} + y^{2} - 4 x - 2 y + m = 0$ 交于A，B两点，且 $|A B| = 2 \sqrt{2}$ ，则实数 $m =$ （）

A、4 B、3 C、2 D、1

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13、已知 $f (x) = \frac{x + a}{x^{2} + b x + 1}$ 是定义在 $[- 1, 1]$ 上的奇函数．
$(1)$ 求 $f (x)$ 的解析式；
$(2)$ 判断并证明 $f (x)$ 的单调性；
$(3)$ 解不等式： $f (x) - f (1 - x) < 0$

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14、下列函数中，在区间 $(0, + \infty)$ 上单调递增且是奇函数的是（）

A、 $y = \sqrt{x}$ B、 $y = x^{2}$ C、 $y = |x|$ D、 $y = x - \frac{1}{x}$

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15、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{12} > S_{10} > S_{11}$ ，则使得 $S_{n} < 0$ 成立的正整数n的最大值为（）

A、20 B、21 C、22 D、23

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16、已知平面向量 $\vec{m} ， \vec{n}$ 均为单位向量，且 $|2 \vec{m} - \vec{n}| = \sqrt{3} |\vec{m}|$ ，则（）

A、 $\vec{m} \cdot \vec{n} = - \frac{1}{2}$ B、 $|\vec{m} + 2 \vec{n}| = \sqrt{7}$ C、 $cos ⟨\vec{m} - \vec{n} ， \vec{m} + 2 \vec{n}⟩ = - \frac{\sqrt{7}}{14}$ D、 $\vec{m} + 2 \vec{n}$ 在 $\vec{m} - \vec{n}$ 上的投影向量为 $- \frac{1}{2} (\vec{m} - \vec{n})$

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17、已知椭圆 $C_{1} : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，直线 $l : y = x + 2 \sqrt{3}$ 与以原点为圆心、椭圆 $C_{1}$ 的短半轴长为半径的圆相切．

(1)、求椭圆 $C_{1}$ 的方程；

(2)、设椭圆 $C_{1}$ 的左焦点为 $F_{1}$ ，右焦点为 $F_{2}$ ，直线 $l_{1}$ 过点 $F_{1}$ ，且垂直于椭圆的长轴，动直线 $l_{2}$ 垂直于 $l_{1}$ ，垂足为点 $P$ ，线段 $P F_{2}$ 的垂直平分线交 $l_{2}$ 于点 $M$ ，求点 $M$ 的轨迹 $C_{2}$ 的方程；

(3)、设 $C_{2}$ 与 $x$ 轴交于点 $Q$ ，在曲线 $C_{2}$ 上是否存在一点 $S$ ，使得以 $Q S$ 为直径的圆与 $C_{2}$ 有除 $Q$ 、 $S$ 外的公共点，若存在求出 $|Q S|$ 的取值范围；若不存在，请说明理由．

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18、如图，矩形 $A B C D$ 中， $A D = 2$ ， $A B = 3$ ， $\vec{A E} = 2 \vec{E B}$ ，将 $△ A D E$ 沿直线DE翻折成 $△ A_{1} D E$ ，若M为线段 $A_{1} C$ 的点，满足 $\vec{C M} = 2 \vec{M A_{1}}$ ，设二面角 $A_{1} - D E - A$ 的平面角为 $θ$ ．

(1)、求证：直线 $B M //$ 平面 $A_{1} D E$ ；

(2)、当 $θ$ 为直角时，求点 $D$ 到平面 $A_{1} B E$ 的距离；

(3)、在 $△ A D E$ 翻折过程中（点 $A_{1}$ 不在平面 $B C D E$ 内），求线段 $B A_{1}$ 长的取值范围．

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19、已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的一个焦点为 $(2 \sqrt{5}, 0)$ ，一条渐近线方程为 $2 x - y = 0$ ， $O$ 为坐标原点.

(1)、求双曲线 $C$ 的标准方程；

(2)、已知倾斜角为 $\frac{3π}{4}$ 的直线 $l$ 与双曲线 $C$ 交于 $A, B$ 两点，且线段 $A B$ 的中点的纵坐标为4，求弦长 $|A B|$ .

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20、如图，直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = B C = \frac{\sqrt{3}}{2} A A_{1}$ ， $∠ A B C = 90 °$ ， $M$ 是 $B_{1} C_{1}$ 的中点，N是AC的中点．

(1)、证明：直线 $M N ⊥$ 直线BC；

(2)、求直线 $A_{1} B$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 所成的角的正弦值．

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