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相关试卷

1、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ， $B = \frac{π}{3}$ ， $c = 2$ ，以下判断正确的是（）

A、若 $a = 4$ ，则 $△ A B C$ 的面积为 $2 \sqrt{3}$ B、若 $C = \frac{π}{4}$ ，则 $b = \sqrt{3}$ C、若 $b = \sqrt{7}$ ，则 $a = 3$ D、若 $△ A B C$ 有两解，则 $b \in (\sqrt{3}, 2)$

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2、已知向量 $\vec{a} = (- 2, 1)$ ， $\vec{b} = (1, 2)$ ， $\vec{c} = (3, - 1)$ ，则（）

A、 $\vec{a} ∥ \vec{c}$ B、 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ C、 $|\vec{a} + \vec{b}| = 10$ D、向量 $\vec{b}$ 在向量 $\vec{c}$ 上的投影向量为 $(\frac{3}{10}, - \frac{1}{10})$

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3、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ， $f (x)$ 的图象关于 $(1, 0)$ 中心对称， $f (2 x + 2)$ 是偶函数，则（）

A、 $f (0) = 0$ B、 $f (\frac{1}{2}) = 0$ C、 $f (2) = 0$ D、 $f (3) = 0$

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4、一个袋子中有标号分别为1，2，3，4的4个球，除标号外没有其他差异.采用不放回方式从中任意摸球两次，设事件 $A =$ “第一次摸出球的标号小于3”，事件 $B =$ “第二次摸出球的标号小于3”，事件 $C =$ “第一次摸出球的标号为奇数”，则（）

A、 $A$ 与 $B$ 互斥 B、 $A$ 与 $B$ 相互独立 C、 $A$ 与 $C$ 互斥 D、 $A$ 与 $C$ 相互独立

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5、若样本 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $\dots$ ， $x_{n}$ 的平均数为10，方差为20，则样本 $2 (x_{1} - 2)$ ， $2 (x_{2} - 2)$ ， $2 (x_{3} - 2)$ ， $\dots$ ， $2 (x_{n} - 2)$ 的平均数和方差分别为（　　）

A、16，40 B、16，80 C、20，40 D、20，80

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6、已知直线 $a, b$ 和平面 $α$ ，则下列判断中正确的是（）

A、若 $a / / α, b / / α$ ，则 $a / / b$ B、若 $a / / b, b / / α$ ，则 $a / / α$ C、若 $a / / α, b ⊥ α$ ，则 $a ⊥ b$ D、若 $a ⊥ b, b / / α$ ，则 $a ⊥ α$

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7、已知复数 $z = \frac{1 + i}{1 - i}$ ，其中 $i$ 为虚数单位，则 $|z| =$ （）

A、0 B、1 C、2 D、 $\sqrt{2}$

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8、已知集合 $M = \{0, 1, 2, 3, 4\}$ ， $N = \{x| 1 < x \leq 4\}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 $\{2\}$ B、 $\{2, 3\}$ C、 $\{2, 3, 4\}$ D、 $\{1, 2, 3, 4\}$

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9、已知 $z$ 为复数， $z + 2 i$ 为实数，且 $z (1 - 2 i)$ 为纯虚数，其中 $i$ 是虚数单位.

(1)、求 $| z |$ ；

(2)、若复数 ${(\bar{z} + m i)}^{2}$ 在复平面上对应的点在第一象限，求实数 $m$ 的取值范围.

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10、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c,$ 若满足 $2 a \cos B = c$ ，则该三角形为（）

A、直角三角形 B、等腰三角形 C、等边三角形 D、不能确定

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11、已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 短轴长为2，左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过点 $F_{2}$ 的直线l与椭圆C交于M，N两点，其中M，N分别在x轴上方和下方， $\vec{M P} = \vec{P F_{1}}$ ， $\vec{N Q} = \vec{Q F_{1}}$ ，直线 $P F_{2}$ 与直线MO交于点 $G_{1}$ ，直线 $Q F_{2}$ 与直线NO交于点 $G_{2}$ ．

(1)、若 $G_{1}$ 的坐标为 $(\frac{1}{3}, \frac{1}{6})$ ，求椭圆C的方程；

(2)、在（1）的条件下，过点 $F_{2}$ 并垂直于x轴的直线交C于点B，椭圆上不同的两点A，D满足 $|F_{2} A|$ ， $|F_{2} B|$ ， $|F_{2} D|$ 成等差数列．求弦AD的中垂线的纵截距的取值范围；

(3)、若 $4 S_{△ M N G_{2}} \leq 3 S_{△ N F_{1} G_{1}} \leq 5 S_{△ M N G_{2}}$ ，求实数a的取值范围．

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12、四月的武汉被百万株蔷薇花覆盖，形成了全城的花海景观。蔷薇花一般扦插繁殖，园林局为了更好的了解扦插枝条的长度对繁殖状况的影响，选择甲乙两区按比例分层抽样来抽取样本．已知甲区的样本容量 $m = 12$ ，样本平均数 $\bar{x} = 18$ ，样本方差 $s_{1}^{2} = 19$ ；乙区的样本容量 $n = 18$ ，样本平均数 $\bar{y} = 36$ ，样本方差 $s_{2}^{2} = 70$ ．

(1)、求由两区样本组成的总样本的平均数 $\bar{z}$ 及其方差 $S^{2}$ ；（结果保留一位小数）

(2)、为了营造“花在风中笑，人在画中游”的美景，甲乙两区决定在各自最大的蔷薇花海公园进行一次书画比赛，两区各派一支代表队参加，经抽签确定第一场在甲区举行．比赛规则如下：每场比赛分出胜负，没有平局，胜方得1分，负方得0分，下一场在负方举行，先得2分的代表队获胜，比赛结束．当比赛在甲区举行时，甲区代表队获胜的概率为 $\frac{3}{5}$ ，当比赛在乙区举行时，甲区代表队获胜的概率为 $\frac{1}{2}$ ．假设每场比赛结果相互独立.甲区代表队的最终得分记为X，求X的分布列及 $E (X)$ 的值．
参考数据： $12 \times 18^{2} = 3888 ， 18 \times 36^{2} = 23328 ， {28.8}^{2} = 829.44 ， 12 \times {10.8}^{2} = 1399.68 ， 18 \times {7.2}^{2} = 933.12$ ．

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13、已知函数 $f (x) = e^{2 x}$ ， $g (x) = m (2 x + 1) (m \in R)$ ， $h (x) = f (x) - g (x)$ .

(1)、当 $m = 1$ 时，求函数 $h (x)$ 的最小值；

(2)、若直线 $y = g (x)$ 是曲线 $y = f (x)$ 的切线，求证：对任意的 $a > b$ ，都有 $\frac{h (a) - h (b)}{a - b} < 2 e^{2 a} - 2$ .

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14、记 $S_{n} (x) = x + x^{2} + x^{3} + \dots + x^{n} - 2 (x \in R, n \in N^{*})$ .

(1)、当 $x = 2$ 时， $S_{n} (2)$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、记 ${S^{'}}_{2024} (x)$ 是 $S_{2024} (x)$ 的导函数，求 ${S^{'}}_{2024} (2)$ .

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15、若 $f (x) = \frac{x^{x - 1}}{\ln x} + x^{x - 2} - e^{x}$ ，设 $f (x)$ 的零点分别为 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ ，则 $\sum_{i = 1}^{n} [x_{i}] =$ .（其中 $[a]$ 表示a的整数部分，例如： $[2.1] = 2, [π] = 3$ ）

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16、某校数学建模社团对校外一座山的高度h(单位： $m$ )进行测量，方案如下：如图，社团同学朝山沿直线行进，在前后相距a米两处分别观测山顶的仰角 $α$ 和 $β$ ( $β > α$ )，多次测量相关数据取平均值后代入数学模型求解山高，这个社团利用到的数学模型 $h =$ ；多次测量取平均值是中学物理测量中常用的减小误差的方法之一，对物理量进行n次测量，其误差 $ε_{n}$ 近似满足 $ε_{n} \sim N (0, \frac{2}{n})$ ，为使误差 $ε_{n}$ 在 $(- 0.5, 0.5)$ 的概率不小于0.9973，至少要测量次.参考数据：若占 $ξ \sim N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - 3 σ < ξ, μ + 3 σ) = 0.9973$ .

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17、爆竹声声辞旧岁，银花朵朵贺新春．除夕夜里小光用3D投影为家人进行虚拟现实表演，表演分为“燃爆竹、放烟花、辞旧岁、迎新春”4个环节．小光按照以上4个环节的先后顺序进行表演，每个环节表演一次．假设各环节是否表演成功互不影响，若每个环节表演成功的概率均为 $\frac{3}{4}$ ，则（）

A、事件“成功表演燃爆竹环节”与事件“成功表演辞旧岁环节”互斥 B、“放烟花”、“迎新春”环节均表演成功的概率为 $\frac{9}{16}$ C、表演成功的环节个数的期望为3 D、在表演成功的环节恰为3个的条件下“迎新春”环节表演成功的概率为 $\frac{3}{4}$

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18、甲、乙两人进行一场游戏比赛，其规则如下：每一轮两人分别投掷一枚质地均匀的骰子，比较两者的点数大小，其中点数大的得3分，点数小的得0分，点数相同时各得1分．经过三轮比赛，在甲至少有一轮比赛得3分的条件下，乙也至少有一轮比赛得3分的概率为（）

A、 $\frac{209}{277}$ B、 $\frac{210}{277}$ C、 $\frac{211}{277}$ D、 $\frac{212}{277}$

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19、对于函数 $f (x)$ ，当 $x > 0$ 时， $f (x) > f^{'} (x)$ .锐角 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $b cos C + c cos B > a cos C + c cos A$ ，设 $x_{1} = \frac{a}{b}$ ， $x_{2} = \frac{sin A}{sin B}$ ， $x_{3} = \frac{A}{B}$ ，则（）

A、 $\frac{f (x_{1})}{e^{x_{1}}} > \frac{f (x_{2})}{e^{x_{2}}} > \frac{f (x_{3})}{e^{x_{3}}}$ B、 $\frac{f (x_{1})}{e^{x_{1}}} < \frac{f (x_{2})}{e^{x_{2}}} < \frac{f (x_{3})}{e^{x_{3}}}$ C、 $\frac{f (x_{1})}{e^{x_{1}}} = \frac{f (x_{2})}{e^{x_{2}}} > \frac{f (x_{3})}{e^{x_{3}}}$ D、 $\frac{f (x_{1})}{e^{x_{1}}} = \frac{f (x_{2})}{e^{x_{2}}} < \frac{f (x_{3})}{e^{x_{3}}}$

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20、在 ${|x - \frac{1}{\sqrt{x}}|}^{n}$ 的展开式中含 $x^{3}$ 项的系数为15，则展开式中二项式系数最大项是（）

A、第4项 B、第5项 C、第6项 D、第3项

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