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相关试卷

1、已知在锐角 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，下列结论正确的是（）

A、若 $A > B$ ，则 $a > b$ B、 $a^{2} + b^{2} < c^{2}$ C、若 $\sin A < \sin C$ ，则 $\cos A < \cos C$ D、 $\sin A + \sin B + \sin C > \cos A + \cos B + \cos C$

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2、点 $O$ 在 $△ A B C$ 所在的平面内，以下说法正确的有（）

A、若 $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = \vec{0}$ ，则点 $O$ 为 $△ A B C$ 的重心 B、若 $|\vec{O A}| = |\vec{O B}| = |\vec{O C}|$ ，则点 $O$ 为 $△ A B C$ 的外心 C、若 $(\vec{O A} + \vec{O B}) \cdot \vec{A B} = (\vec{O B} + \vec{O C}) \cdot \vec{B C} = (\vec{O C} + \vec{O A}) \cdot \vec{C A} = 0$ ，则点 $O$ 为 $△ A B C$ 的内心 D、若 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = \vec{O B} \cdot \vec{O C} = \vec{O C} \cdot \vec{O A}$ ，则点 $O$ 为 $△ A B C$ 的垂心

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3、平面向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $60 °$ ， $\vec{a} = (4, 0)$ ， $|\vec{b}| = 2$ ，则 $|\vec{a} + 2 \vec{b}|$ 等于（）

A、 $3 \sqrt{3}$ B、 $4 \sqrt{3}$ C、 $5 \sqrt{3}$ D、 $6 \sqrt{3}$

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4、已知向量 $\overset{⃑}{a} = (- 3, 1)$ ， $\overset{⃑}{b} = (1, - 2)$ ，则向量 $\overset{⃑}{a}$ 与 $\overset{⃑}{b}$ 夹角的大小为（）

A、 $30 °$ B、 $45 °$ C、 $60 °$ D、 $135 °$

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5、已知向量 $\vec{a} = (1, m)$ ， $\vec{b} = (- 1, 2)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则实数m等于（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、-2 D、2

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6、 $\tan 150 ° =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $- \sqrt{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$

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7、函数 $f (x) = A sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, - \frac{π}{2} < φ < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图，则（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、 $f (x)$ 的图象关于点 $(- \frac{π}{12}, 0)$ 对称 C、 $f (x)$ 在 $[- \frac{5 π}{6}, - \frac{π}{3}]$ 上单调递增 D、 $f (x)$ 在 $[0, π]$ 上有2个零点

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8、已知函数 $f (x) = x + \frac{1}{x}$ ， $x \in (1, + \infty)$ ，则下列不等式恒成立的是（）

A、 $f (8) > f (k^{2} + 2 k + 4)$ B、 $f (6) > f (k^{2} + 2 k + 4)$ C、 $f (4) < f (k^{2} + 2 k + 4)$ D、 $f (2) < f (k^{2} + 2 k + 4)$

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9、函数 $f (x) = \frac{2 x}{1 + x^{2}}$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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10、设集合 $A = {1, 3, 5, 7}, B = {x ∣ 3 \leq x < 6}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{1, 3\}$ B、 $\{3, 5\}$ C、 $\{5, 7\}$ D、 $\{1, 7\}$

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11、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{23} > 0$ ， $S_{24} < 0$ ，则下列结论正确的是（）

A、数列 $\{a_{n}\}$ 是递增数列 B、 $a_{13} > 0$ C、当 $S_{n}$ 取得最大值时， $n = 12$ D、 $|a_{13}| > |a_{12}|$

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12、已知空间中三点 $A (2, 0, - 2)$ ， $B (1, - 1, - 2)$ ， $C (3, 0, - 4)$ ，设 $\vec{a} = \vec{A B}$ ， $\vec{b} = \vec{A C}$ .

(1)、已知 $(\vec{a} + k \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，求 $k$ 的值；

(2)、若 $|\vec{c}| = 6$ ，且 $\vec{c}$ ∥ $\vec{B C}$ ，求 $\vec{c}$ 的坐标.

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13、边长为 $2$ 的正三角形的直观图的面积是（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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14、已知事件A，B满足 $0 < P (A) < 1, P (B) > 0$ 且 $P (B| A) = P (B) = 0.5$ ，则一定有（）

A、 $P (\bar{B}) = 0.5$ B、 $P (A B) = 0.5$ C、 $A, B$ 相互独立 D、 $P (A| B) = P (A)$

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15、若 ${(\ln x - m x - n - 1)}_{\max} = 0 (m > 0)$ ，则 $m n$ 的最大值为（）

A、 $e^{3}$ B、 $e$ C、 $e^{- 1}$ D、 $e^{- 3}$

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16、已知命题 $p$ ： $\forall a \in N$ ， $\exists b \in N$ ，使得 $a > b$ ，则 $\neg p$ 为（　　）

A、 $\exists a \in N$ ， $\forall b \notin N$ ，使得 $a \leq b$ B、 $\exists a \notin N$ ， $\forall b \notin N$ ，使得 $a \leq b$ C、 $\exists a \in N$ ， $\forall b \in N$ ，使得 $a \leq b$ D、 $\forall a \in N$ ， $\forall b \in N$ ，使得 $a \leq b$

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17、已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ，且 $x + 2 y = 4$ ，则（）

A、 $x y$ 的最大值为 $4$ B、 $2^{x} + 4^{y}$ 的最小值为 $8$ C、 $\frac{4}{x} + \frac{8}{y}$ 的最小值为 $9$ D、 $\frac{x^{2} + y}{x y}$ 的最小值为 $\sqrt{2} + \frac{1}{4}$

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18、已知函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ ，定义集合 $M_{f (x) g (x)} = {x ∣ f (x) < g (x)}$ .

(1)、设 $f (x) = x^{2} + 2 x + 3, g (x) = - x + 2$ ，求 $M_{f (x) g (x)}$ ；

(2)、设 $f (x) = a x^{2} + 2 a x - 4, g (x) = 2 x (x + 2)$ ，当 $M_{f (x) g (x)} = R$ 时，求 $a$ 的取值范围；

(3)、设 $f (x) = |2 x - b|, g (x) = \frac{x + 4 b}{x - 1}, h (x) = 2$ ，若 $M_{f (x) h (x)} \cap M_{g (x) h (x)} \neq \emptyset$ ，求 $b$ 的取值范围.

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19、人工智能（AI）是一门极富挑战性的科学，自诞生以来，理论和技术日益成熟.某校成立了 $A$ ， $B$ 两个研究性小组，分别设计和开发不同的AI软件用于识别音乐.记两个研究性小组的AI软件每次能正确识别音乐的概率分别为 $P_{1}$ ， $P_{2}$ .为测试AI软件的识别能力，计划采用以下两种测试方案.
方案一：将100首音乐随机分配给 $A$ ， $B$ 两个小组识别，每首音乐只被一个AI软件识别一次，并记录结果；
方案二：对同一首歌， $A$ ， $B$ 两组分别识别2次，如果识别的正确次数之和不小于3，那么称该次测试通过.

(1)、若方案一的测试结果如下：正确识别的音乐首数之和占总数的 $\frac{3}{5}$ ；在正确识别的音乐中 $A$ 组占 $\frac{2}{3}$ ；在错误识别的音乐中 $B$ 组占 $\frac{1}{2}$ .
（ⅰ）请根据以上数据填写下面的 $2 \times 2$ 列联表，并依据小概率值 $α = 0.05$ 的独立性检验，分析识别音乐是否正确与软件类型是否有关联？
单位：首
软件类型
识别音乐是否正确
合计
正确
错误
$A$ 组的AI软件

$B$ 组的AI软件

合计

100
（ⅱ）利用（ⅰ）中的数据，将频率视为概率，求方案二在一次测试中通过的概率.

(2)、研究性小组为了验证AI软件的有效性，需多次执行方案二，假设 $P_{1} + P_{2} = \frac{4}{3}$ ，问该测试至少要进行多少次，才能使通过次数的均值为16？并求此时 $P_{1}$ ， $P_{2}$ 的值.
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．
$α$
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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20、已知函数 $f (x) = \frac{a x + b}{x^{2} + 4}$ 是定义在 $(- 2, 2)$ 上的函数， $f (- x) = - f (x)$ 恒成立，且 $f (1) = \frac{2}{5}$

(1)、确定函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、判断 $f (x)$ 在定义域 $(- 2, 2)$ 上的单调性（不用证明），并解不等式 $f (x - x^{2}) + f (x) < 0$ .

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软件类型	识别音乐是否正确		合计
软件类型	正确	错误	合计
$A$ 组的AI软件
$B$ 组的AI软件
合计			100

$α$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828