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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = \ln x + a x^{2} + (2 a + 1) x$ .
（1）讨论 $f (x)$ 的单调性；
（2）当 $a < 0$ 时，证明 $f (x) \leq - \frac{3}{4 a} - 2$ .

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2、在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A₁ ， A₂ ， A₃ ， A₄ ， A₅ ， A₆和4名女志愿者B₁ ， B₂ ， B₃ ， B₄ ，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示.
（I）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A₁但不包含 $B_{1}$ 的概率．
（II）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望EX.

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3、已知函数 $f (x) = x^{3} + 2 x^{2} + x + 2$ ， $x \in [- \frac{3}{2}, 1]$ ．

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、求 $f (x)$ 的最大值和最小值．

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4、设 $f (x)$ 是定义域为 $R$ 的奇函数，且 $f (1 + x) = f (- x)$ .若 $f (- \frac{1}{3}) = \frac{1}{3}$ ，则 $f (\frac{5}{3}) =$

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5、已知 $\cos θ = \frac{3}{5}$ ， $0 < θ < \frac{π}{2}$ ，则 $\sin (π + θ)$ ．

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6、若正实数 $x$ ， $y$ 满足 $x e^{x - 1} = y (1 + \ln y)$ ，则下列不等式中可能成立的是（）

A、 $1 < x < y$ B、 $1 < y < x$ C、 $x < y < 1$ D、 $y < x < 1$

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7、已知函数 $f (x) = x \ln (x + 1)$ ，则（）

A、 $f (x)$ 只有1个零点 B、 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 单调递增 C、曲线 $y = f (x)$ 在点 $(- \frac{1}{2}, f (- \frac{1}{2}))$ 处切线的斜率为 $- 1 - \ln 2$ D、 $f (x)$ 是偶函数

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8、已知函数 $f (x) = 2^{x + 2} - 3 \times 4^{x}$ ，若 $x^{2} + x \leq 0$ ，则 $f (x)$ 的最大值和最小值分别是（）

A、 $\frac{2}{3}, 0$ B、 $\frac{4}{3}, 1$ C、 $\frac{4}{3}, \frac{5}{4}$ D、 $\frac{5}{4}, 1$

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9、设 $a = \frac{3}{7}$ ， $b = \ln 2$ ， $c = \sin \frac{3}{7}$ ，则（）

A、 $b > c > a$ B、 $a > c > b$ C、 $a > b > c$ D、 $b > a > c$

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10、已知函数 $f (x) = \frac{x^{2}}{x + 1}$ ，则函数 $f (x)$ 的图象的对称中心的坐标为（）

A、 $(- 1, - 3)$ B、 $(- 1, 3)$ C、 $(- 1, - 2)$ D、 $(- 1, 2)$

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11、下列函数为奇函数的是（）

A、 $y = \sqrt{x}$ B、 $y = \cos x$ C、 $y = \ln x$ D、 $y = e^{x} - e^{- x}$

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12、已知集合 $A = \{y ∣ y = x^{2}\}, B = \{x ∣ y = ln (2 - x)\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $[0, + \infty)$ B、 $(0, 2)$ C、 $[0, 2)$ D、 $(- \infty, 2)$

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13、已知函数 $f (x) = a e^{x} cos x$ ，其中 $a > 0, x \in [0, + \infty)$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程；

(2)、当 $0 < a \leq 1$ 时，令 $m (x) = f (x) - x$ ，求函数 $m (x)$ 在区间 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的最大值；

(3)、记 $x_{n}$ 为 $f (x)$ 的从小到大的第 $n (n \in N^{*})$ 个极值点，若对一切 $n \in N^{*}, x_{n} \leq |f (x_{n})|$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

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14、已知函数 $f (x) = \frac{x - a + ln x}{x}, a \in R$ .

(1)、讨论函数 $f (x)$ 在区间 $(0, e^{2}]$ 上的最大值；

(2)、当 $a = 2$ 时，不等式 $f (x) < t e^{x - 3}$ 恒成立，求实数 $t$ 的取值范围.

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15、设函数 $f (x) = sin ω x cos φ + cos ω x sin φ (ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ .

(1)、若 $f (0) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求 $tan φ$ 的值.

(2)、若 $φ = 0$ ，且 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{3 π}{2}, \frac{π}{2}]$ 上为增函数，求 $ω$ 的最大值.

(3)、已知 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{3}, \frac{2 π}{3}]$ 上单调递增， $f (\frac{2 π}{3}) = 1$ ，再从条件①､条件②这两个条件中选择一个作为已知，求 $ω, φ$ 的值.条件①： $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{2}, - \frac{π}{3}]$ 上单调递减；条件②： $f (- \frac{π}{3}) = - 1$ .
注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.

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16、已知某公司生产某品牌服装的年固定成本为10万元，每生产一千件需另投入2.7万元，设该公司年内共生产该品牌服装 $x$ 千件并全部销售完，销售收入为 $R (x)$ 万元，且 $R (x) = \{\begin{cases} (10.8 - \frac{1}{30} x^{2}) x, 0 < x \leq 10 \\ 108 - \frac{1000}{3 x}, x > 10 \end{cases}$ .
（注：年利润=年销售收入 $-$ 年总成本）

(1)、写出年利润W（万元）关于年产量 $x$ （千件）的函数解析式；

(2)、年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大？

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17、已知 $α, β$ 为锐角， $tan α = \frac{4}{3}, cos (α + β) = - \frac{\sqrt{5}}{5}$ .

(1)、求 $cos 2 α$ 与 $tan 2 α$ 的值；

(2)、求 $tan (α - β)$ 的值.

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18、设 $A (0, 0), B (4, 0), C (t + 4, 4), D (t, 4) (t \in R)$ ，记 $N (t)$ 为平行四边形 $A B C D$ 内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横､纵坐标都是整数的点，则函数 $N (t)$ 的值域为.

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19、若函数 $f (x) = cos 2 x - 2 a cos x - 2 < 0$ 对 $x \in R$ 恒成立，则 $a$ 的取值范围是.

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20、定义：实数 $x, y, m$ 满足 $|x - m| > |y - m|$ ，则称 $x$ 比 $y$ 远离 $m$ .已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $D = \{x ∣ x \neq \frac{k π}{3}, k \in Z\}$ ，任取 $x \in D, f (x)$ 等于 $3 cos x$ 和 $1 - cos 2 x$ 中远离0的那个值，则（）

A、 $f (x)$ 是偶函数 B、 $f (x)$ 的值域为 $[- 1, 3]$ C、 $f (x)$ 在 $(\frac{π}{3}, \frac{2π}{3})$ 上单调递增 D、 $f (x)$ 在 $(- \frac{4 π}{3}, - π)$ 上单调递减

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