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相关试卷

1、点 $M (x, y)$ 为圆 $x^{2} + y^{2} - 4 x + 3 = 0$ 上的动点，则 $\frac{y}{x}$ 的取值范围为.

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2、如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = A D = 1$ ， $A A_{1} = \sqrt{3}$ ，底面ABCD为菱形， $∠ B A D = 60^{\circ}$ ， $A A_{1}$ 与AB，AD所成的角均为 $60^{\circ}$ （）

A、 $\vec{B D_{1}} = \vec{A D} - \vec{A B} + \vec{A A_{1}}$ B、四边形 $B_{1} B D D_{1}$ 为矩形 C、 $∠ C_{1} A C = 30^{\circ}$ D、如果 $\vec{A M} = \frac{1}{3} \vec{A B} - \frac{2}{3} \vec{A D} + \frac{4}{3} \vec{A A_{1}}$ ，那么点M在平面 $A_{1} B D$ 内

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3、直线 $l$ 过抛物线 $C : x^{2} = 4 y$ 的焦点 $F$ ，且与 $C$ 交于 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ 两点，则下列说法正确的是（）

A、抛物线 $C$ 的焦点坐标为 $(1, 0)$ B、 $|A B|$ 的最小值为4 C、对任意的直线 $l$ ， $x_{1} \cdot x_{2} = 1$ D、以 $A B$ 为直径的圆与抛物线 $C$ 的准线相切

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4、古典吉他的示意图如图所示． $A_{0}, B$ 分别是上弦枕、下弦枕， $A_{i} (i = 1, 2, \dots, 19)$ 是第 $i$ 品丝．记 $a_{i}$ 为 $A_{i}$ 与 $A_{i - 1}$ 的距离， $L_{i}$ 为 $A_{i}$ 与 $A_{0}$ 的距离，且满足 $a_{i} = \frac{X_{L} - L_{i - 1}}{M}, i = 1, 2, \dots, 19$ ，其中 $X_{L}$ 为弦长（ $A_{0}$ 与 $B$ 的距离）， $M$ 为大于1的常数，并规定 $L_{0} = 0$ ．则（）

A、数列 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{19}$ 是等差数列，且公差为 $- \frac{X_{L}}{M^{2}}$ B、数列 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{19}$ 是等比数列，且公比为 $\frac{M - 1}{M}$ C、数列 $L_{1}, L_{2}, \dots, L_{19}$ 是等比数列，且公比为 $\frac{2 M - 1}{M}$ D、数列 $L_{1}, L_{2}, \dots, L_{19}$ 是等差数列，且公差为 $\frac{(M - 1) X_{L}}{M^{2}}$

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5、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的两个焦点为 $F_{1}, F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 的直线与 $C$ 交于 $A, B$ 两点.若 $|A F_{2}| = 3 |F_{2} B|$ ， $|A B| = 2 |A F_{1}|$ ，且 $△ A B F_{1}$ 的面积为 $4 \sqrt{15}$ ，则椭圆 $C$ 的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{15} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{10} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{10} + \frac{y^{2}}{6} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{10} + \frac{y^{2}}{4} = 1$

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6、关于方程 $x^{2} + x y + 2 y^{2} = 4$ 所表示的曲线，下列说法正确的是（）

A、关于 $x$ 轴对称 B、关于 $y$ 轴对称 C、关于 $y = x$ 对称 D、关于原点中心对称

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7、方程 $\frac{x^{2}}{2 + k} + \frac{y^{2}}{8 - k} = 1$ 表示焦点在 $y$ 轴上的椭圆，则实数 $k$ 的取值范围为（）

A、 $k > - 2$ B、 $k < 8$ C、 $- 2 < k < 8$ D、 $- 2 < k < 3$

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8、圆 $M$ ： ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 4$ 与圆 $N : x^{2} + y^{2} + 4 x + 2 y = 0$ 的位置关系为（）

A、相交 B、内切 C、外切 D、相离

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9、过点 $P (- \sqrt{3}, 1)$ ，倾斜角为 $60^{\circ}$ 的直线方程是（）

A、 $\sqrt{3} x + y + 4 = 0$ B、 $x - \sqrt{3} y + 2 \sqrt{3} = 0$ C、 $\sqrt{3} x - y + 4 = 0$ D、 $x + \sqrt{3} y + 2 \sqrt{3} = 0$

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10、有5本不同的书，全部借给3人，每人至少1本，共有种不同的借法.

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11、设正实数x，y满足2x＋y＝1，则（）

A、xy的最大值是 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{2}{x} + \frac{1}{y}$ 的最小值为9 C、4x²＋y²最小值为 $\frac{1}{2}$ D、 $\sqrt{2 x} + \sqrt{y}$ 最大值为2

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12、已知直线 $l : x - m y + 1 = 0$ 与 $⊙ C : {(x - 1)}^{2} + y^{2} = 4$ 交于A，B两点，写出满足“ $△ A B C$ 面积为 $\frac{8}{5}$ ”的m的一个值．

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13、记 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ .已知向量 $\vec{m} = (\cos A, 1 + \sin A)$ ， $\vec{n} = (1 + \cos 2 B, - \sin 2 B)$ .

(1)、设单位向量 $\vec{j} = (0, 1)$ ，若 $\vec{m} - 2 \vec{j}$ 与 $\vec{n}$ 共线，且 $B = \frac{π}{6}$ ，求 $A$ ；

(2)、当 $\vec{m} ⊥ \vec{n}$ 时：
（i）若 $C = \frac{2 π}{3}$ ，求 $B$ ；
（ii）求 $\frac{a^{2} + b^{2}}{c^{2}}$ 的最小值.

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14、定义：已知两个非零向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $θ$ .我们把数量 $|\vec{a}| |\vec{b}| \sin θ$ 叫做向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的叉乘 $\vec{a} \times \vec{b}$ 的模，记作 $|\vec{a} \times \vec{b}|$ ，即 $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin θ$ .

(1)、若向量 $\vec{a} = (2, 4)$ ， $\vec{b} = (- 3, 1)$ ，求 $|\vec{a} \times \vec{b}|$ ；

(2)、若平行四边形 $A B C D$ 的面积为4，求 $|\vec{A B} \times \vec{A D}|$ ；

(3)、若 $|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{3}$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$ ，求 $|\vec{a} + 2 \vec{b}|$ 的最小值.

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15、如图所示， $△ A B C$ 的顶点是我国在南海的三个战略岛屿，各岛屿之间建有资源补给站，在图中的 $D$ 、 $E$ 、 $F$ 点上.岛屿 $A$ 到补给站 $D$ 的距离为岛屿 $A$ 到 $B$ 的 $\frac{2}{5}$ ，岛屿 $A$ 和岛屿 $C$ 到补给站 $E$ 的距离相等，补给站 $F$ 在靠近岛屿 $C$ 的 $B C$ 的三等分点上.设 $\vec{C B} = \vec{a}$ ， $\vec{C A} = \vec{b}$ .

(1)、用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 表示 $\vec{E F}$ ， $\vec{C D}$ ；

(2)、如果 $∠ A C B = 60 °$ ， $A C = 20$ 海里，且 $C D ⊥ E F$ ，求岛屿 $C$ 到补给站 $D$ 的距离 $|\vec{C D}|$ 以及岛屿 $A$ 到 $B$ 的距离 $|\vec{A B}|$ .

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16、已知 $\vec{A B} = (- 1, 3)$ ， $\vec{B C} = (3, m)$ ， $\vec{C D} = (1, n)$ ，且 $\vec{A D} / / \vec{B C}$ .

(1)、求实数 $n$ 的值；

(2)、若 $\vec{A C} ⊥ \vec{B D}$ ，求实数 $m$ 的值；

(3)、在 $\vec{A C} ⊥ \vec{B D}$ 的条件下，取 $\vec{B C}$ 不垂直于 $\vec{C D}$ 的情形，求向量 $\vec{B C}$ 在 $\vec{A B}$ 的投影向量（结果用坐标表示）.

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17、在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，且 $b = 2 c - 2 a \cos B$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $a = 3 \sqrt{3}$ ， $c = 2 b$ ，求 $△ A B C$ 的面积 $S$ .

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18、四边形 $A B C D$ 中，点 $E, F$ 分别是 $A B, C D$ 的中点， $A B = 2$ ， $C D = 2 \sqrt{2}$ ， $E F = 1$ ，点 $P$ 满足 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} = 0$ ，则 $\vec{P C} \cdot \vec{P D}$ 的最大值为.

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19、正方形 $A B C D$ 的边长为 $a$ ， $E$ 是 $A B$ 的中点， $F$ 是 $B C$ 边上靠近点 $B$ 的三等分点， $A F$ 与 $D E$ 交于点 $M$ ，则 $∠ D M F$ 的余弦值为.

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20、下列说法中正确的是（）

A、在 $△ A B C$ 中， $\vec{A B} = \vec{c}$ ， $\vec{B C} = \vec{a}$ ， $\vec{C A} = \vec{b}$ ，若 $\vec{a} \cdot \vec{b} > 0$ ，则 $△ A B C$ 为锐角三角形 B、已知点 $O$ 是平面上的一个定点，并且 $A$ ， $B$ ， $C$ 是平面上不共线的三个点，动点 $P$ 满足 $\vec{O P} = \vec{O A} + λ (\frac{\vec{A B}}{|\vec{A B}|} + \frac{\vec{A C}}{|\vec{A C}|}) (λ \in (0, + \infty))$ ，则点 $P$ 的轨迹一定通过 $△ A B C$ 的内心 C、已知 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (1, 1)$ ， $\vec{a}$ 与 $\vec{a} + λ \vec{b}$ 的夹角为锐角，实数 $λ$ 的取值范围是 $(- \frac{5}{3}, + \infty)$ D、在 $△ A B C$ 中，若 $2 \vec{O A} + 3 \vec{O B} + 5 \vec{O C} = \vec{0}$ ，则 $△ A O C$ 与 $△ A O B$ 的面积之比为 $\frac{3}{5}$

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