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相关试卷

1、如果函数 $y = (x)$ 在 $x = 2$ 处的导数为1，那么 $\lim_{Δ x \to 0} \frac{f (Δ x + 2) - f (2)}{Δ x} =$ （）

A、1 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{4}$

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2、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{3} + a_{10} = 9$ ，则 $S_{12} =$ （）

A、24 B、36 C、48 D、54

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3、直线： $x - 2 y + 3 = 0$ 与直线： $2 x + a y - 2 = 0$ 互相平行，则 $a =$ （）

A、1 B、4 C、 $- 4$ D、 $- 1$

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4、如图， $△ A B E$ 是边长为2的等边三角形，且 $B D = \sqrt{3}, ∠ D B A = 30 °$ .

(1)、若点 $A$ 到平面 $B D E$ 的距离为1，求 $D E$ ；

(2)、若 $B E ⊥ A D, A D$ $//$ $B C$ 且 $A D = \frac{1}{2} B C$ ，求直线 $A D$ 与平面 $D C E$ 所成角的正弦值.

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5、如图，已知等腰三角形 $A B C$ 中， $A B = A C, D$ 是 $A C$ 的中点，且 $B (0, 0), D (3, 0)$ .

(1)、求点 $A$ 的轨迹 $T$ 的方程；

(2)、设 $A C$ 所在直线与轨迹 $T$ 的另一个交点为 $E$ ，当 $△ A B D$ 面积最大且 $A$ 在第一象限时，求 $|A E|$ .

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6、如图，已知棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，点 $P$ 是棱 $A B$ 的中点，过点 $P$ 作正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的截面，关于下列判断正确的是（）

A、截面的形状可能是正三角形 B、截面的形状可能是直角梯形 C、此截面可以将正方体体积分成1：3 D、若截面的形状是六边形，则其周长为定值

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7、如图，已知四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为正方形， $P A = A B, Q$ 为线段 $B C$ 上一点（含端点），则直线 $P Q$ 与平面 $P C D$ 所成角不可能是（）

A、0 B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{3}$

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8、已知 $m ､ n \in R$ ，则方程 $m^{2} x^{2} + n y^{2} = 1$ 表示的曲线可能是（）

A、两条直线 B、圆 C、焦点在 $x$ 轴的椭圆 D、焦点在 $y$ 轴的双曲线

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9、圆锥曲线具有丰富的光学性质，在人教版A版选择性必修第一册的阅读与思考中提到了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点上，（如图（1））.如图（2），已知 $F_{1}$ 为椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点， $O$ 为坐标原点，直线 $l$ 为椭圆 $C$ 的任一条切线， $H$ 为 $F_{1}$ 在 $l$ 上的射影，则点 $H$ 的轨迹是（）

A、圆 B、椭圆 C、双曲性 D、抛物线

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10、已知数列 $\{a_{n}\}$ 是各项为正的等比数列，前 $n$ 项和为 $S_{n} (n \in N^{*})$ ，且 $S_{2} = \frac{3}{2}, S_{3} = \frac{7}{4}$ ，则 $a_{1} =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、 $\frac{9}{4}$

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11、如图，三棱锥 $A - B C D$ 中， $D A = D B = D C$ ， $B D ⊥ C D$ ， $∠ A D B = ∠ A D C = 60^{\circ}$ ， E为BC的中点．

(1)、证明： $B C ⊥ D A$ ；

(2)、点F满足 $\vec{E F} = \vec{D A}$ ，求二面角 $D - A B - F$ 的正弦值．

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12、某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（）．

A、 $C_{400}^{45} \cdot C_{200}^{15}$ 种 B、 $C_{400}^{20} \cdot C_{200}^{40}$ 种 C、 $C_{400}^{30} \cdot C_{200}^{30}$ 种 D、 $C_{400}^{40} \cdot C_{200}^{20}$ 种

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13、英国数学家泰勒发现了如下公式： $e^{x} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + \dots + \frac{x^{n}}{n!} + \dots$ 其中 $n! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times \dots \times n, e$ 为自然对数的底数， $e = 2.71828 \dots \dots$ .以上公式称为泰勒公式.设 $f (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}, g (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$ ，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题.

(1)、证明： $e^{x} \geq 1 + x$ ；

(2)、设 $x \in (0, + \infty)$ ，证明： $\frac{f (x)}{x} < g (x)$ ；

(3)、设 $F (x) = g (x) - a (1 + \frac{x^{2}}{2})$ ，若 $x = 0$ 是 $F (x)$ 的极小值点，求实数 $a$ 的取值范围.

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14、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 是矩形， $P A = A D = 2 A B = 2$ .

(1)、证明：平面 $P C D ⊥$ 平面 $P A D$ ；

(2)、求平面 $P B C$ 与平面 $P C D$ 的夹角的余弦值.

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15、设 $F_{1}, F_{2}$ 分别为椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左､右焦点， $B$ 为椭圆 $C$ 的上顶点，直线 $B F_{1}$ 与椭圆 $C$ 的另一个交点为 $A$ .若 $\vec{A F_{2}} \cdot \vec{B F_{2}} = 0$ ，则椭圆 $C$ 的离心率为.

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16、已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，且 $f^{'} (x) + e^{x}$ 也是偶函数，若 $f (a) > f (2 a - 1)$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 1)$ B、 $(1, + \infty)$ C、 $(\frac{1}{3}, 1)$ D、 $(- \infty, \frac{1}{3}) \cup (1, + \infty)$

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17、将函数 $f (x) = sin x$ 的图像先向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度，再把所得函数图象上的每个点的纵坐标不变，横坐标都变为原来的 $\frac{1}{ω} (ω > 0)$ 倍，得到函数 $g (x)$ 的图像.若函数 $g (x)$ 在 $(- \frac{π}{2}, 0)$ 上单调递增，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $(0, \frac{1}{6}]$ B、 $(0, \frac{1}{3}]$ C、 $(0, \frac{1}{2}]$ D、 $(0, 1]$

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18、已知双曲线 $Γ : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ， A，B为左右顶点，双曲线 $Γ$ 的右焦点F到其渐近线的距离为1，点P为双曲线上异于A，B一点，且 $k_{A P} \times k_{B P} = \frac{1}{4}$ .

(1)、求双曲线 $Γ$ 的标准方程；

(2)、设直线l与 $Γ$ 相切，与其渐近线分别相交于M、N两点，求证： $△ O M N$ 的面积为定值.

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19、某学校为了提升学生学习数学的兴趣，举行了“趣味数学”闯关比赛，每轮比赛从10道题中任意抽取3道回答，每答对一道题积1分.已知小明同学能答对10道题中的6道题.

(1)、求小明同学在一轮比赛中所得积分 $X$ 的分布列和期望；

(2)、规定参赛者在一轮比赛中至少积2分才视为闯关成功，若参赛者每轮闯关成功的概率稳定且每轮是否闯关成功相互独立，问：小明同学在5轮闯关比赛中，需几次闯关成功才能使得对应概率取值最大？

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20、记 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和，已知 $a_{1} = 1$ ，且 $\forall n \in N^{*}$ ， $a_{n} S_{n + 1} - a_{n + 1} S_{n} = \frac{a_{n} a_{n + 1}}{2}$ .

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{n^{2} + n + 1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ， $\{b_{n}\}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，求 $T_{n}$ 的最小值.

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