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相关试卷

1、已知 $f (x) = (3 x + 1) (x - a) (3 x - 1) + {log}_{3} (\sqrt{x^{2} + 1} - x)$ 是奇函数，则常数 $a =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、 $0$ D、 $1$

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2、设集合 $A = \{y| y = \log_{2} x, x > \frac{1}{2}\}$ ， $B = \{y| y = \frac{1}{2^{x}}, x > 0\}$ ，则（）

A、 $A \cap B = (- 1, 1)$ B、 $A \cup B = B$ C、 $A \cap (∁_{R} B) = [1, + \infty)$ D、 $A \cap B = B$

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3、已知复数 $z$ 满足 $(1 + 2 i) z = 4 + 3 i$ ，则 $z$ 的虚部是（）

A、-1 B、1 C、 $- i$ D、 $i$

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4、已知双曲线 $Γ : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 过点 $P (\sqrt{3} ， \sqrt{6})$ ，且 $Γ$ 的渐近线方程为 $y = \pm \sqrt{3} x$ ．

(1)、求 $Γ$ 的方程；

(2)、如图，过原点 $O$ 作互相垂直的直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 分别交双曲线于 $A$ ， $B$ 两点和 $C$ ， $D$ 两点， $A$ ， $D$ 在 $x$ 轴同侧．
①求四边形 $A C B D$ 面积的取值范围；
②设直线 $A D$ 与两渐近线分别交于 $M$ ， $N$ 两点，是否存在直线 $A D$ 使 $M$ ， $N$ 为线段 $A D$ 的三等分点，若存在，求出直线 $A D$ 的方程；若不存在，请说明理由．

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5、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $\frac{S_{n} - n}{3 a_{n} - 4} = \frac{1}{2}$ .

(1)、证明：数列 $\{a_{n} - 1\}$ 是等比数列，并求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = a_{n} + {(- 1)}^{n} {log}_{3} (a_{n} - 1)$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求使得 $T_{2 n} > 2024$ 的最小正整数 $n$ .

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6、如图，在四棱锥S−ABCD中，底面ABCD为矩形， $A D = 4$ ， AB=2， $A C \cap B D = O$ ， $S O ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $S O = \sqrt{3}$ ， $\overset{⃑}{B F} = \frac{1}{3} \overset{⃑}{F C}$ ， E是SA的中点．

(1)、求直线EF与平面SCD所成角的正弦值；

(2)、在直线SC上是否存在点M，使得平面MEF $⊥$ 平面SCD？若存在，求出点M的位置；若不存在，请说明理由．

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7、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 经过点 $M (1, \frac{\sqrt{2}}{2})$ ， $N (\sqrt{2}, 0)$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、已知直线 $l$ 的倾斜角为锐角， $l$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = \frac{1}{2}$ 相切，与椭圆 $C$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点，且 $△ A O B$ 的面积为 $\frac{2}{3}$ ，求直线 $l$ 的方程．

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8、如图，直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = A C = A A_{1} = 1$ ， $A B ⊥ A C$ ， $D$ 是棱 $B C$ 的中点，

(1)、求异面直线 $A B_{1}, D C_{1}$ 所成角的余弦值；

(2)、求二面角 $B_{1} - A D - C_{1}$ 的余弦值．

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9、已知数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 1$ ，且 $a_{n + 1} = 2 a_{n} + 2^{n} (n \in N *)$

(1)、求证：数列 $\{\frac{a_{n}}{2^{n}}\}$ 是等差数列，并求出 $a_{n}$ ；

(2)、数列 $\{a_{n}\}$ 前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，求 $S_{n}$ ．

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10、已知在平面直角坐标系xOy中， $A (- 3, 0), B (3, 0)$ ，动点P满足 $\frac{|P A|}{|P B|} = 2$ $，$ 则P点的轨迹Γ为圆，过点A的直线交圆Γ于两点C，D，且 $\vec{A C} = \vec{C D}$ ，则 $|C D| =$ .

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11、九连环是我国古代流传至今的一种益智游戏，它由九个铁丝圆环相连成串，按一定规则移动圆环，移动圆环的次数决定解开圆环的个数.在某种玩法中，推广到m连环，用 $a_{n}$ 表示解下 $n (n \leq m)$ 个圆环所需的最少移动次数，若数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $a_{1} = 1$ ，且 $a_{n} = \{\begin{array}{l} 2 a_{n - 1} - 1, n 为偶数 \\ 2 a_{n - 1} + 2, n 为奇数 \end{array}$ ，则解下n（n为偶数）个圆环所需的最少移动次数 $a_{n} =$ .（用含n的式子表示）

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12、已知函数 $f (x) = \sin 2 x - x f^{'} (0)$ ，则 $f^{'} (\frac{π}{2}) =$ .

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13、已知抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ ，点 $M (- 2, 0)$ ， $P (2, 0)$ ，过点 $P$ 的直线 $l$ 交抛物线 $C$ 与 $A, B$ 两点，设 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ ，下列说法正确的有（）

A、 $y_{1} y_{2} = - 8$ B、 $|A B|$ 的最小值为 $4 \sqrt{2}$ C、 $\frac{1}{A P} + \frac{1}{B P} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $∠ A M P = ∠ B M P$

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14、如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2， $E, F, G$ 分别为 $B C, C C_{1}, B B_{1}$ 的中点．则下列结论正确的是（）

A、直线 $D B_{1}$ 与平面 $A E F$ 垂直 B、直线 $A_{1} G$ 与平面 $A E F$ 平行 C、三棱锥 $D - A E F$ 的体积为 $\frac{2}{3}$ D、点 $D$ 到平面 $A E F$ 的距离为 $\frac{4}{3}$

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15、等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} < 0$ ， $S_{6} = S_{13}$ ，则（）

A、数列 $\{a_{n}\}$ 是递减数列 B、 $a_{10} = 0$ C、 $S_{9}$ 是 $S_{n}$ 中最小项 D、 $S_{2} < S_{16}$

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16、已知点 $M$ 椭圆 $C : 4 x^{2} + 9 y^{2} = 36$ 上一点，椭圆 $C$ 的焦点是 $F_{1}, F_{2}$ ，则下列说法中正确的是（）

A、椭圆 $C$ 的长轴长是9 B、椭圆 $C$ 焦距是 $2 \sqrt{5}$ C、存在 $M$ 使得 $∠ F_{1} M F_{2} = 90^{\circ}$ D、三角形 $M F_{1} F_{2}$ 的面积的最大值是 $2 \sqrt{5}$

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17、在数列 $\{a_{n}\}$ 中， $\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = 1 + \frac{n}{a_{n}}$ ，若 $a_{n} = 46$ ， $a_{1} = 1$ ，则n的值为（）

A、9 B、10 C、11 D、12

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18、已知圆 $C$ ： $x^{2} + y^{2} = 2$ ，点 $A (m, m - 3)$ ，则点 $A$ 到圆 $C$ 上点的最小距离为（）

A、1 B、2 C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$

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19、攒（cuán）尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式，多见于亭阁或园林式建筑．下图是一顶圆形攒尖，其屋顶可近似看作一个圆锥，其轴截面（过圆锥轴的截面）是底边长为 $6$ ，顶角为 $\frac{2 π}{3}$ 的等腰三角形，则该屋顶的面积约为（）

A、 $3 \sqrt{3} π$ B、 $6 \sqrt{3} π$ C、 $12 \sqrt{3} π$ D、 $6 π$

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20、等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{3} = 3 a_{1}$ ，则 $\frac{a_{6}}{a_{3}} =$ （）

A、 $- 8$ B、8 C、1或 $- 8$ D、 $- 1$ 或 $8$

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