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相关试卷

1、如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，Q为线段 $B_{1} C_{1}$ 的中点，P为线段 $C C_{1}$ 上的动点（含端点），则下列结论正确的有（）

A、P为中点时，过D，P，Q三点的平面截正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 所得的截面的面积为 $\frac{9}{2}$ B、存在点P，使得平面 $D P Q //$ 平面 $A B_{1} C$ C、 $D P + P Q$ 的最小值为 $\sqrt{5} + \sqrt{2}$ D、三棱锥 $P - C_{1} D_{1} Q$ 外接球表面积最大值为 $9 π$

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2、已知点P是圆 $C : {(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = r^{2}$ 上一点， $A (- 1, 0)$ ， $B (1, 0)$ ，则以下说法正确的是（）

A、若直线AB与圆C相切，则 $r = 4$ B、若以A，B为直径的圆与圆C相切，则 $r = 4$ C、若 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} = 0$ ，则 $4 \leq r \leq 6$ D、当 $r = 1$ 时， ${|P A|}^{2} + {|P B|}^{2}$ 的最小值为34

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3、已知 $a > b > 0, c < d < 0$ ，则下列不等式中错误的是（）

A、 $- \frac{1}{a} < - \frac{1}{b}$ B、 $c^{2} < c d$ C、 $a - c < b - d$ D、 $\frac{a}{d} < \frac{b}{c}$

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4、已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} - x^{2} + 2 x, x \geq 0 \\ x^{2} - 2 x, x < 0 \end{matrix}$ ，若关于x的不等式 ${[f (x)]}^{2} + a f (x) < 0$ 恰有1个整数解，则实数a的最大值是（）

A、2 B、3 C、5 D、8

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5、如图， $S$ 是 $△ A B C$ 所在平面外一点， $A B = B C = 2$ ， $∠ A B C = 120^{\circ}$ ，且 $S A ⊥$ 面 $A B C$ ， $S A = 3$ ，则 $S A$ 与平面 $S B C$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{6}$ D、 $\frac{5π}{6}$

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6、点 $A (2, - 4)$ 到直线 $l : m x - y - 4 m - 8 = 0$ （ $m$ 为任意实数）的距离的最大值是（）

A、5 B、 $2 \sqrt{5}$ C、4 D、 $\sqrt{5}$

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7、在 $△ A B C$ 中， $M$ 是 $A C$ 边上一点，且 $\vec{A M} = 2 \vec{M C}$ ，若 $\vec{B M} = x \vec{B A} + y \vec{B C}$ ，则 $y$ 的值为（）

A、 $- \frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $- \frac{2}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

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8、椭圆 $x^{2} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的两个焦点为 $F_{1}, F_{2}$ ，且 $P$ 是椭圆上的一点，则三角形 $P F_{1} F_{2}$ 的周长是（）

A、1 B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $1 + 2 \sqrt{3}$ D、 $4 + 2 \sqrt{3}$

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9、已知集合 $A = \{x |x^{2} < 2 x\}$ ， $B = \{x |- 2 < x < 1\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $(- 2, 1)$ B、 $(- 2, 2)$ C、 $(0, 1)$ D、 $(0, 2)$

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10、已知数列 $A : a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots, a_{t}$ （正整数 $t \geq 3$ ）的各项均为正整数，设集合 $M = \{x | x = a_{j} - a_{i}, 1 \leq i < j \leq t\}$ ，记 $M$ 中的元素个数为 $n (M)$ .

(1)、若数列 $A : 2, 5, 7, 10$ ，求集合 $M$ 及 $n (M)$ 的值；

(2)、若数列 $A$ 为等差数列，求 $n (M)$ 的值；

(3)、若数列 $A : 2, 2^{2}, \dots, 2^{t}$ ，求证： $n (M) = \frac{t (t - 1)}{2}$ .

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11、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，平面 $A A_{1} C_{1} C ⊥$ 平面 $A B C, A B = A C = B C = A A_{1} = 1$ ， $A_{1} B = \frac{\sqrt{6}}{2}, D$ 为 $A C$ 的中点.

(1)、证明： $A C ⊥$ 平面 $A_{1} D B$ ；

(2)、求平面 $A_{1} A B$ 与平面 $A C C_{1} A_{1}$ 夹角的余弦值.

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12、若 $P (2, 2)$ 为抛物线 $Γ : y^{2} = m x$ 上一点，过 $P$ 作两条关于 $x = 2$ 对称的直线分别另交 $Γ$ 于 $A (x_{1}, y_{1}), B (x_{2}, y_{2})$ 两点.

(1)、求抛物线 $Γ$ 的方程与焦点坐标；

(2)、判断直线 $A B$ 的斜率是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.

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13、已知 $△ A B C$ 三个内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $\frac{cos C}{c} = \frac{cos A}{3 b - a}$ .

(1)、求 $sin C$ 的值；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积 $S = 10 \sqrt{2}$ ，且 $c = \sqrt{6} (a - b)$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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14、双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{4} = 1 (a > 0)$ 的左､右顶点分别为 $A, B$ ，过点 $M (2, 0)$ 的直线 $l$ 交该双曲线 $C$ 于点 $P, Q$ ，设直线 $P A$ 的斜率为 $k_{1}$ ，直线 $Q B$ 的斜率为 $k_{2}$ ，已知 $l ⊥ x$ 轴时， $\frac{k_{2}}{k_{1}} = - 3$ ，若点 $P$ 在双曲线右支上，则 $k_{2}$ 的取值范围是.

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15、设 $C_{20}^{1} \cdot 2 + C_{20}^{2} \cdot 2^{2} + \dots + C_{20}^{20} \cdot 2^{20}$ 被9除所得的余数为 $m =$ ；则 ${(\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{m}$ 的展开式中的常数项为.

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16、若事件 $A, B$ 发生的概率分别为 $P (A) = \frac{1}{2}, P (B) = \frac{1}{3}$ ，且 $A$ 与 $B$ 相互独立，则 $P (A \cup B) =$ .

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17、已知函数 $f (x) = ln x - \frac{x + 1}{x - 1}$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的定义域为 $(0, + \infty)$ B、 $f (x)$ 的图象在点 $(2, f (2))$ 处的切线斜率为2 C、 $f (\frac{1}{x}) + f (x) = 0$ D、 $f (x)$ 有两个零点 $x_{1}, x_{2}$ ，且 $x_{1} x_{2} = 1$

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18、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{12} = 1$ 的两个焦点分别为 $F_{1}, F_{2}, P$ 是 $C$ 上任意一点，则（）

A、 $C$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $△ P F_{1} F_{2}$ 的周长为12 C、 $|P F_{1}|$ 的最小值为2 D、 $|P F_{1}| \cdot |P F_{2}|$ 的最大值为16

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19、将函数 $f (x) = 2 sin 2 x$ 的图象向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位后得到函数 $g (x)$ 的图象，则下列结论正确的（）

A、 $g (x) = - 2 cos 2 x$ B、 $g (x)$ 的最大值为 $2$ ，图象关于直线 $x = - \frac{3 π}{2}$ 对称 C、 $g (x)$ 在 $(- \frac{3 π}{8}, \frac{π}{8})$ 上单调递增，为奇函数 D、 $g (x)$ 的最小正周期为 $π$ ，图象关于点 $(\frac{3 π}{4}, 0)$ 对称

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20、我国国旗的图案由一大四小五颗五角星组成，如图，已知该五角星的五个顶点构成正五边形的五个顶点，则 $cos α cos (π - β) =$ （）

A、 $cos 18^{\circ}$ B、 ${cos}^{2} 36^{\circ}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{4}$

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