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相关试卷

1、两条平行直线 $x + y + 4 = 0$ 与 $2 x + 2 y + 3 = 0$ 间的距离为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{8}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{3 \sqrt{2}}{4}$ D、 $\frac{5 \sqrt{2}}{4}$

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2、若 $a \in R$ ，则“ $a > 3$ ”是“ $a^{2} > 9$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3、如图所示，若直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ， $l_{3}$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ， $k_{3}$ ，则（）

A、 $k_{2} < k_{1} < k_{3}$ B、 $k_{1} < k_{2} < k_{3}$ C、 $k_{3} < k_{2} < k_{1}$ D、 $k_{3} < k_{1} < k_{2}$

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4、已知 $i$ 为虚数单位，复数 $z = \frac{2 + i}{1 - 3 i}$ ，则 $|z| =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{5}$

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5、已知集合 $M = \{- 1, 1, 2, 3\}$ ， $N = \{- 1, 1\}$ ，则 $M \cup N =$ （）

A、 $\{- 1, 1, 2, 3\}$ B、 $\{- 1, 1\}$ C、 $\{2, 3\}$ D、 $\{1, 2, 3\}$

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6、已知函数 $f (x) = (x - a) e^{x} + x + a$ （ $a \in R$ ）．

(1)、若 $a = 4$ ，求 $f (x)$ 的图象在 $x = 0$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x) \geq 0$ 对于任意的 $x \in [0, + \infty)$ 恒成立，求a的取值范围；

(3)、若数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1$ 且 $a_{n + 1} = \frac{2 a_{n}}{a_{n} + 2}$ （ $n \in N^{*}$ ），记数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，求证： $S_{n} + \frac{1}{3} < \ln [(n + 1) (n + 2)]$ ．

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7、已知集合 $A = \{x ∣ x^{2} < 9\}, B = \{- 2, - 1, 0, 1, 2, 3, 4\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 1, 0, 1\}$ B、 $\{- 2, - 1, 0, 1, 2\}$ C、 $\{- 2, - 1, 0, 1, 2, 3\}$ D、 $\{- 2, - 1, 0, 1, 2, 3, 4\}$

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8、近年来，中美贸易摩擦不断，特别是美国对我国华为的限制．尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为 $5 G$ ，但这并没有让华为怯步.2023年8月30日，据华为官网披露，上半年华为营收3082.90亿元，上年同期为2986.80亿元，净利润为465.23亿元，上年同期为146.29亿元．为了进一步提升市场竞争力，再创新高，华为旗下某一子公司计划在2024年利用新技术生产某款新手机．通过市场分析，2024年生产此款手机 $x$ （单位：千部）需要投入两项成本，其中固定成本为200万元，其它成本为 $R (x)$ （单位：万元），且 $R (x) = \{\begin{array}{l} 10 x^{2} + 50 x, 0 < x < 50, \\ 651 x + \frac{10000}{x} - 9480, x \geq 50. \end{array}$ 假设每部手机售价0.65万元，全年生产的手机当年能全部售完．

(1)、写出此款手机的年利润 $W (x)$ （单位：万元）关于年产量 $x$ （单位：千部）的函数解析式；（利润=销售额-成本）

(2)、根据（1）中模型预测2024年此款手机产量为多少（单位：千部）时，所获利润最大？最大利润是多少？

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9、已知函数 $f (x)$ 是偶函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = x^{2} - 2 x$ ．

(1)、求 $f (- 1)$ 的值，并作出函数 $f (x)$ 在区间 $[- 3, 3]$ 上的大致图象；

(2)、根据定义证明 $f (x)$ 在区间 $[1, 3]$ 上单调递增．

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10、（1）计算： $e^{ln 2} + lg \sqrt{10} - {0.125}^{\frac{1}{3}} - π^{0}$
（2）已知 $sin θ = \frac{3}{5}, θ$ 是第二象限角，求 $\frac{sin (2 π + θ)}{cos (\frac{π}{2} + θ) cos (π - θ)}$ 的值．

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11、已知集合 $A = {x| 2 a < x < a + 1}, B = {x| - 4 < x < 2}$ ．

(1)、若 $a = - 3$ ，求 $∁_{R} (A \cap B)$ ；

(2)、若 $A \subseteq B$ ，求 $a$ 的取值范围．

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12、函数 $f (x) = a^{x - 1} + 2 (a > 0, a \neq 1)$ 的图象恒过定点.

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13、达-芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名，画中女子神秘的微笑，数百年来引无数观赏者对其进行研究．某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一段圆弧，并测得圆弧 $A C$ 所对的圆心角 $α$ 为 $60^{\circ}$ ，弦 $A C$ 的长为 $10 cm$ ，根据测量得到的数据计算：《蒙娜丽莎》缩小影像作品中圆弧 $A C$ 的长为（）（单位： $cm$ ）

A、 $600 π$ B、 $\frac{100}{3} π$ C、 $\frac{10}{3} π$ D、 $\frac{5}{3} π$

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14、已知抛物线 $C$ ： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，过点 $F$ 的直线与 $C$ 相交于点 $A$ ， $B$ ， $△ A O B$ 面积的最小值为 $\frac{1}{2}$ （ $O$ 为坐标原点）.按照如下方式依次构造点 $F_{n} (n \in N^{*})$ ： $F_{1}$ 的坐标为 $(p, 0)$ ，直线 $A F_{n}$ ， $B F_{n}$ 与 $C$ 的另一个交点分别为 $A_{n}$ ， $B_{n}$ ，直线 $A_{n} B_{n}$ 与 $x$ 轴的交点为 $F_{n + 1}$ ，设点 $F_{n}$ 的横坐标为 $x_{n}$ .

(1)、求 $p$ 的值；

(2)、求数列 $\{x_{n}\}$ 的通项公式；

(3)、数列 $\{x_{n}\}$ 中，是否存在连续三项（按原顺序）构成等差数列？若存在，指出所有这样的连续三项；若不存在，请说明理由.

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15、甲、乙两名同学进行定点投篮训练，据以往训练数据，甲每次投篮命中的概率为 $\frac{2}{3}$ ，乙每次投篮命中的概率为 $\frac{1}{2}$ ，各次投篮互不影响、现甲、乙两人开展多轮次的定点投篮活动，每轮次各投 $2$ 个球，每投进一个球记 $1$ 分，未投进记 $- 1$ 分.

(1)、求甲在一轮投篮结束后的得分不大于 $0$ 的概率；

(2)、记甲、乙每轮投篮得分之和为 $X$ .
①求 $X$ 的分布列和数学期望；
②若 $X > 0$ ，则称该轮次为一个“成功轮次”.在连续 $n (n \geq 8)$ 轮次的投篮活动中，记“成功轮次”为 $Y$ ，当 $n$ 为何值时， $P (Y = 8) \geq P (Y = k) (0 \leq k \leq n, k \in N)$ 恒成立？

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16、已知函数 $f (x) = x ln x - a x^{2} + 1$ .

(1)、若 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递减，求 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $a < 0$ ，证明： $f (x) > 0$ .

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17、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A C ⊥ B C$ .

(1)、求证；平面 $P A C ⊥$ 平面 $P B C$ ；

(2)、若 $A C = 5$ ， $B C = 12$ ，三棱锥 $P - A B C$ 的体积为100，求二面角 $A - P B - C$ 的余弦值.

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18、已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 ${sin}^{2} A = {sin}^{2} B + {sin}^{2} C + sin B sin C$ .

(1)、求角 $A$ ；

(2)、若 $∠ B A C$ 的平分线交边 $B C$ 于点 $D$ ，且 $A D = 4$ ， $b = 5$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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19、条件概率与条件期望是现代概率体系中的重要概念，近年来，条件概率和条件期望已被广泛的应用到日常生产生活中.定义：设 $X$ ， $Y$ 是离散型随机变量，则 $X$ 在给定事件 $Y = y$ 条件下的期望为 $E (X |Y = y) =$ $\sum_{i = 1}^{n} x_{i} \cdot P (X = x_{i} |Y = y)$ $= \sum_{i = 1}^{n} x_{i} \cdot \frac{P (X = x_{i} ， Y = y)}{P (T = y)}$ ，其中 $\{x_{1}, x_{2}, \cdot \cdot \cdot, x_{n}\}$ 为 $X$ 的所有可能取值集合， $P (X = x, Y = y)$ 表示事件“ $X = x$ ”与事件“ $Y = y$ ”都发生的概率.某商场进行促销活动，凡在该商场每消费500元，可有2次抽奖机会，每次获奖的概率均为 $p (0 < p < 1)$ ，某人在该商场消费了1000元，共获得4次抽奖机会.设 $ξ$ 表示第一次抽中奖品时的抽取次数， $η$ 表示第二次抽中奖品时的抽取次数.则 $E (ξ |η = 4) =$ .

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20、已知角 $α$ 的顶点与原点重合，始边与 $x$ 轴的非负半轴重合，终边经过点 $P (1, 2)$ ，则 $cos 2 α =$ .

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