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相关试卷

1、德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名的函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} 1, x \in Q \\ 0, x \in ∁_{R} Q \end{array}$ ，被称为狄利克雷函数，其中 $R$ 为实数集， $Q$ 为有理数集，则以下关于狄利克雷函数 $f (x)$ 的结论中，正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 满足： $f (- x) = f (x)$ B、函数 $f (x)$ 的值域是 $[0, 1]$ C、对于任意的 $x \in R$ ，都有 $f (f (x)) = 1$ D、在 $f (x)$ 图象上不存在不同的三个点 $A 、 B 、 C$ ，使得 $△ A B C$ 为等边三角形

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2、已知 $a > 0, b > 0, a + 2 b = 2$ ，则下列结论正确的有（）

A、 $a b$ 的最大值 $\frac{1}{2}$ B、 $a^{2} + b^{2}$ 的最小值为1 C、 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b}$ 的最小值 $\frac{9}{2}$ D、 $\frac{1}{2 a + b}$ + $\frac{4}{a + 5 b}$ 的最小值为 $\frac{3}{2}$

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3、设函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} + x, x < 0 \\ - x^{2}, x \geq 0 \end{array}$ ， $g (x) = \{\begin{array}{l} - x^{2} - x + 4, x > 0 \\ 0, x = 0 \\ x^{2} - x - 4, x < 0 \end{array}$ ，若 $f (g (a)) \leq 2$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - 1]\cup[0, 2 \sqrt{2} - 1]$ B、 $[- 1, 2 \sqrt{2} - 1]$ C、 $(- \infty, - 1]\cup[0, 2]$ D、 $[- 1 - 2 \sqrt{2}, 2 \sqrt{2} - 1]$

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4、函数 $f (x) = \frac{|x^{2} - 1|}{x}$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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5、幂函数 $f (x) = (m^{2} + 5 m - 5) x^{m^{2} - 3 m} (m \in Z)$ 是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，则m的值为（）

A、﹣6 B、1 C、6 D、1或﹣6

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6、设函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} f (x - 1), x \geq 0, \\ x^{3} - 1, x < 0, \end{array}$ 则 $f (f (1)) =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- 9$ C、 $- 10$ D、 $- 11$

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7、已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (a + b) = f (a) + f (b) + 2$ ， $f (1) = 1$ ， $f (x)$ 在 $R$ 上单调递增．

(1)、求 $f (5)$ 的值．

(2)、证明： $g (x) = f (x) + 2$ 是奇函数．

(3)、若关于 $x$ 的不等式 $f (a x^{2}) - f (x) < f (3 a x) - f (3)$ 的解集中恰有2个整数，求 $a$ 的取值范围．

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8、已知 $f (x) = \frac{b x + c}{9 + x^{2}}$ 是定义在 $[- 3, 3]$ 上的函数， $f (2) = - \frac{2}{13}$ ，且 $\forall x \in [- 3, 3]$ ，都有 $f (x) + f (- x) = 0$ ．

(1)、求 $b$ ， $c$ 的值；

(2)、判断 $f (x)$ 在 $[- 3, 3]$ 上的单调性，并用定义证明；

(3)、若对任意 $x \in [- 3, 3]$ ，都存在 $a \in [1, 2]$ ，使得 $f (x) \leq a t^{2} - t + a - \frac{17}{6}$ 成立，求 $t$ 的取值范围．

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9、2024年巴黎奥运会上，中国健儿用汗水和努力诠释了“更快、更高、更强——更团结”的奥林匹克精神．他们以坚韧不拔的精神和卓越的表现，赢得了世界的瞩目与赞誉，也点燃了全国体育迷的运动热情．体育赛事如火如荼，全民健身热潮澎湃，体育消费热情高涨．某商场对9月份某品牌乒乓球套装的日销售量进行调查，发现日销售量 $F (x)$ （单位：百套）与时间 $x$ （一个月内的第 $x$ 天）的部分数据如下表所示：
第 $x$ 天
3
8
15
24
$F (x) /$ 百套
5
6
7
8

(1)、请你依据上表中的数据，从以下两种函数模型中选择你认为更合适的一种函数模型来表示该品牌乒乓球套装日销售量 $F (x)$ （单位：百套）与时间 $x$ 的关系，说明你的理由．函数模型：① $F (x) = k x + b$ ；② $F (x) = m \sqrt{x + 1} + n$ ．

(2)、经调查发现，日销售价格 $M (x)$ （单位：元/套）与时间 $x$ （一个月内的第 $x$ 天）的函数关系近似表示为 $M (x) = 40 + \frac{t}{\sqrt{x + 1}}$ （常数 $t > 0$ ）．第15日的日销售额为49000元，记该品牌乒乓球套装的日销售收入为 $f (x)$ （单位：百元）．根据第（1）问选择的模型，预估该商场9月份该品牌乒乓球套装的日销售收入在一个月内的第几天最低．

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10、（1）已知 $0 < a + b < 2$ ， $- 2 < b - a < 1$ ，求 $3 a + b$ 的取值范围；
（2）已知 $a$ ， $b$ 都是正实数，比较 $\frac{a^{2}}{b} + \frac{b^{2}}{a}$ 与 $a + b$ 的大小．

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11、已知集合 $A = \{x ∣ a - 4 \leq x \leq 2 a + 1\}$ ， $B = \{x |\frac{x - 9}{x + 1} \leq 0\}$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $A \cap B$ ；

(2)、若 $A \cap B = A$ ，求 $a$ 的取值范围．

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12、已知 $f (x)$ 是定义在 $(- 2, 2)$ 上的奇函数，且当 $x \in (0, 2)$ 时， $f (x) = x^{2} + 2 x$ ，则当 $- 2 < x < 0$ 时， $f (x) =$ ，不等式 $f (x - 1) + f (x) < 0$ 的解集是．

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13、已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} x^{2} + 2 m x + 3, x \leq 1, \\ m x + 2, x > 1, \end{matrix}$ 对任意 $x_{1}$ ， $x_{2} \in R$ ， $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $(x_{1} - x_{2}) [f (x_{1}) - f (x_{2})] < 0$ ，则 $m$ 的取值范围为．

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14、若函数 $f (x) = 2 x + 1$ ，且 $f (2 m - 1) = 7$ ，则 $m =$ ．

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15、已知 $m > 0$ ， $n > 0$ ，关于 $x$ 的不等式 $(2 m + t) x^{2} - (n - t) x - 1 < 0$ 的解集为 $(- 1, \frac{1}{3})$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $2 m + n = 1$ B、 $m n$ 的最大值为 $\frac{1}{8}$ C、 $\frac{1}{m} + \frac{m}{n}$ 的最小值为4 D、 $\frac{1}{m + 1} + \frac{1}{n + 2}$ 的最小值为 $3 + 2 \sqrt{2}$

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16、享有“数学王子”称号的高斯是德国著名的数学家、物理学家、天文学家和大地测量学家．以他的名字命名的函数 $f (x) = [x]$ 为“高斯函数”，也叫做取整函数．它的函数值表示不超过 $x$ 的最大整数．例如， $[0.5] = 0$ ， $[2.3] = 2$ ．下列说法正确的是（）

A、 $f (- 1.3) = - 1$ B、若 $f (a) = f (b)$ ，则 $|a - b| < 1$ C、函数 $g (x) = x - [x]$ 的值域是 $[0, 1)$ D、不等式 ${[x]}^{2} - [x] - 2 < 0$ 的解集为 ${x ∣ 0 \leq x < 2}$

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17、下列说法错误的是( ).

A、函数 $f (x + 1)$ 的定义域为 $[- 2, 2)$ ，则函数 $f (x)$ 的定义域为 $[- 1, 3)$ B、函数 $y = \frac{x^{2} + 3 x + 3}{x + 1} (x > - 1)$ 的最小值为3 C、 $f (x) = \frac{x^{2}}{x}$ 和 $g (x) = x$ 表示同一个函数 D、函数 $f (x) = x + \frac{4}{x}$ 在 $(- 2, 0) \cup (0, 2)$ 上单调递减

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18、定义非空数集 $M$ 的“和睦数 $H$ ”如下：将 $M$ 中的元素按照递减的次序排列，然后将第一个元素交替地加上、减去后继的数所得的结果．例如，集合 $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ 的“和睦数”是 $5 + 4 - 3 + 2 - 1 = 7$ ， $\{2, 4\}$ 的“和睦数”是 $4 + 2 = 6$ ， $\{1\}$ 的“和睦数”是1．对于集合 $A = \{n |\frac{6 - n}{n} \in N, n \in N}$ ，其所有子集的“和睦数”的总和为（）

A、82 B、74 C、12 D、70

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19、数学来源于生活，又服务于生活．钦钦和莎莎均两次购买同一种文娱用品时，钦钦不考虑物品价格的升降，每次购买这种学习用品的数量一定；莎莎不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定．假设所购物品的价格发生波动，则（）

A、两位中省钱小能手是钦钦 B、两位中谁是省钱小能手与价格升降有关 C、两位中省钱小能手是莎莎 D、两位中谁是省钱小能手与购买数量有关

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20、已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (1 - x) = f (3 + x)$ ，且在 $(- \infty, 2]$ 上单调递增， $a = f (π)$ ， $b = f (\sqrt{3})$ ， $c = f (0)$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $c < b < a$ C、 $b < c < a$ D、 $c < a < b$

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第 $x$ 天	3	8	15	24
$F (x) /$ 百套	5	6	7	8