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相关试卷

1、定义：函数 $M (x) = max {f (x) ， g (x)}$ ，即 $M (x)$ 表示函数 $f (x)$ ， $g (x)$ 中的较大者．已知函数 $f (x) = x^{2} - 2$ ， $g (x) = x + 4$ ，则 $M (x)$ 的最小值为（）

A、0 B、7 C、4 D、2

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2、已知命题 $p$ ：关于 $x$ 的不等式 $(a - 1) x^{2} - a x + a + 1 \geq 0$ 的解集为 $R$ ．那么，其成立的一个必要不充分条件是（）

A、 $a > 1$ B、 $a \geq \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、 $- \frac{2 \sqrt{3}}{3} \leq a \leq \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $a < - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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3、命题“实数不都是有理数”的否定是（）

A、 $\exists x \in R$ ， $x \notin Q$ B、 $\exists x \in R$ ， $x \in Q$ C、 $\forall x \in R$ ， $x \in Q$ D、 $\forall x \in R$ ， $x \notin Q$

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4、已知集合 $A = \{x ∣ y = \sqrt{x - 1}\}$ ， $B = \{y ∣ y = \sqrt{x + 1}\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $[1, + \infty)$ B、 $[0, + \infty)$ C、 $\emptyset$ D、 $[- 1, + \infty)$

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5、若幂函数 $f (x) = (m^{2} + m - 1) x^{m - \frac{1}{3}}$ 为偶函数，则 $m$ 的值为（）

A、-2或1 B、-2 C、1 D、多个取值

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6、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ．左顶点为 $A$ ，下顶点为 $B ， C$ 是线段 $O B$ 的中点（O为原点）， $△ A B C$ 的面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ．

(1)、求椭圆的方程．

(2)、过点C的动直线与椭圆相交于 $P ， Q$ 两点．在 $y$ 轴上是否存在点 $T$ ，使得 $\vec{T P} \cdot \vec{T Q} \leq 0$ 恒成立．若存在，求出点 $T$ 纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．

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7、若函数 $f (x)$ 在定义域 $[a, b]$ 上的值域为 $[f (a), f (b)]$ ，则称 $f (x)$ 为“ $Ω$ 函数”．已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} 5 x, 0 \leq x \leq 2 \\ x^{2} - 4 x + m, 2 < x \leq 4 \end{cases}$ 是“ $Ω$ 函数”，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $[4, 10]$ B、 $[4, 14]$ C、 $[10, 14]$ D、 $[10, + \infty)$

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8、如图（1），已知菱形 $A B C D$ 中 $A B = 2$ ， $∠ D A B = 60 °$ ，沿对角线 $B D$ 将其翻折，使 $∠ A B C = 90 °$ ，设此时 $A C$ 的中点为 $O$ ，如图（2）.

(1)、求证：点 $O$ 是点 $D$ 在平面 $A B C$ 上的射影；

(2)、求直线 $A D$ 与平面 $B C D$ 所成角的正弦值.

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9、如图，在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对边长分别为 $a ， b ， c ， ∠ B = \frac{π}{4}$ ，满足 $(a + b) (sin A - sin B) = c (sin B + sin C)$ .

(1)、求 $∠ A$ ；

(2)、点 $D$ 在 $B C$ 上， $A D ⊥ A C ， A D = \sqrt{6}$ ，求 $A B$ .

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10、如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△PAB是边长为2的正三角形，BC＝AB＝2AD，AD $/ /$ BC，AB⊥BC，设平面PAB∩平面PCD＝l.

(1)、作出l（写出作法，并保留作图痕迹）；

(2)、线段PB上是否存在一点E，使l $/ /$ 平面ADE？请说明理由.

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11、已知复数 $z_{1} = 1 + 2 i ， z_{2} = 3 - 4 i$ 对应的向量分别为 $\vec{O A}$ 和 $\vec{O B}$ ，其中 $O$ 为复平面的原点.

(1)、若复数 $z_{1} + λ z_{2}$ 在复平面内对应的点在第二象限，求实数 $λ$ 的取值范围；

(2)、求 $\vec{O A}$ 在 $\vec{O B}$ 上的投影向量.

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12、如图，圆柱形开口容器 $（$ 下表面密封 $）$ ，其轴截面 $A B C D$ 是边长为 $2$ 的正方形.现有一只蚂蚁从外壁 $A$ 处出发，沿外壁先爬到上口边沿再沿内壁爬到 $B C$ 中点 $P$ 处，则它所需经过的最短路程为.

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13、在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边.已知a＝2，2sinB+2sinC＝3sinA.则cosA的最小值为.

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14、复数 $z = a + b i ， a ， b \in R$ ，且 $b \neq 0$ ，若 $z^{2} - 4 b z$ 是实数，则有序实数对 $(a ， b)$ 可以是．（写出一个有序实数对即可）

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15、在棱长为 $2$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ 为底面 $A B C D$ 的中心， $\vec{D_{1} Q} = λ \vec{D_{1} A_{1}}, λ \in [0 ， 1], N$ 为线段 $A Q$ 的中点，则（）

A、 $C N$ 与 $Q M$ 共面 B、三棱锥 $A - D M N$ 的体积的最大值为 $1$ C、存在两个不同的 $λ \in [0 ， 1]$ ，使得 $A M ⊥ Q M$ D、 $λ = \frac{1}{2}$ 时，过 $A ， Q ， M$ 三点的平面截正方体所得截面的周长为 $2 \sqrt{5} + 3 \sqrt{2}$

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16、折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子如图 $1$ ，其平面图如图 $2$ 的扇形 $A O B$ ，其中 $∠ A O B = 120 ^{\circ} ， O A = 3 O C = 3$ ，点 $E$ 在弧 $C D$ 上.则下列选项正确的是（）

A、 $\vec{O A} \cdot \vec{C D} = - 2$ B、若 $\vec{O E} = x \vec{O C} + y \vec{O D}$ ，则存在点 $E$ ，使得 $x + y = \frac{3}{2}$ C、 $\vec{E A} \cdot \vec{E B}$ 的最小值为 $- \frac{13}{2}$ D、若该扇面为某圆台的侧面展开图，则该圆台的体积为 $\frac{52 \sqrt{2}}{81} π$

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17、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $a = 3$ ， $A = \frac{π}{3}$ ，则 $△ A B C$ 的面积可能为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $\frac{9 \sqrt{3}}{4}$ D、 $\frac{5 \sqrt{3}}{2}$

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18、请你在桌面上放置四个半径都是2cm的玻璃小球，并用一个半球形的容器罩住这四个小球，则这个容器的内壁半径的最小值为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{6}}{3} + 4 c m$ B、 $\frac{4 \sqrt{6}}{3} + 4 c m$ C、 $2 \sqrt{2} + 2 c m$ D、 $2 \sqrt{3} + 2 c m$

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19、已知向量 $\vec{a} 、 \vec{b} 、 \vec{c}$ 满足： $|\vec{a} |= 2| \vec{b}| = 2 \vec{a} \cdot \vec{b} = 2$ ，若 $\vec{c} = \frac{u + 2}{6} \vec{a} + \frac{4 - u}{3} \vec{b} （ u \in R ）$ ，则 $|\vec{c}|$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $2 \sqrt{3}$

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20、如图，某同学为测量鹳雀楼的高度MN，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物AB，高约为37m，在地面上点C处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A，鹳雀楼顶部M的仰角分别为30°和45°，在A处测得楼顶部M的仰角为15°，则鹳雀楼的高度约为（　　）

A、91m B、74m C、64m D、52m

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