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相关试卷

1、已知正数 $a, b$ 满足 $a + b = 6, a b = 9 k$ .

(1)、求 $k$ 的最大值；

(2)、求 $\frac{1}{a} + \frac{4}{b}$ 的最小值.

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2、已知全集 $U = \{x \in Z ∣ x^{2} < 7\}$ ，集合 $A = \{- 1, 0, 1\}, B = \{- 1, 2\}$ .

(1)、求 $(∁_{U} A) \cup B$ ；

(2)、若 $(A \cap B) \cap \{a, a^{2} - 2\} \neq \emptyset$ ，求 $a$ .

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3、已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，且 $f (x)$ 在 $[0, + \infty)$ 上单调递减，则不等式 $f (3 x - 1) - f (2 x - 1) < 0$ 的解集为.

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4、若命题 $p : \exists x \in (0, + \infty), x + \frac{9}{x} = 5$ ，则 $p$ 的否定为， $p$ 为（填“真”或“假”）命题.

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5、函数 $f (x) = \sqrt{x - 3} + \sqrt{5 - x}$ 的定义域为.

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6、已知函数 $f (x)$ 满足对任意 $x \in R$ ，均有 $f (x) = - 2 f (x - 2)$ ，且当 $x \in [0, 2]$ 时， $f (x) = x (x - m)$ ，则（）

A、 $m = 2$ B、 $f (5) = 4$ C、当 $x \in [4, 6]$ 时， $f (x) = 4 (x - 4) (x - 6)$ D、存在 $0 < a < b < c < d < 6$ ，使得 $f (a) = f (b) = f (c) = f (d)$ ，且 $a + b + c + d = 12$

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7、已知集合 $A = \{x ∣ 2 a \leq x \leq 3 a - 1\}, B = \{x ∣ x^{2} - 12 x + 32 < 0\}$ ，且 $A$ 是 $B$ 的真子集，则 $a$ 的值可以是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、2 D、 $\frac{5}{2}$

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8、下列各组函数中，两个函数为同一函数的是（）

A、 $f (x) = \frac{3}{5} x - 3, g (t) = \frac{3}{5} t - 3$ B、 $f (x) = \frac{x^{3}}{x}, g (x) = x^{2}$ C、 $f (x) = \sqrt{x^{2}} + \frac{1}{2}, g (x) = |x| + \frac{1}{2}$ D、 $f (x) = x^{2} + 1, g (x) = x^{4} + 1$

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9、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} a x, x \leq - 3 \\ - x^{2} + 2 a x - 3, x > - 3 \end{array}$ ，若对任意 $x_{1} \neq x_{2}$ ， $\frac{f (x_{2}) - f (x_{1})}{x_{2} - x_{1}} < 0$ 恒成立，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[- 3, 0)$ B、 $(0, 3]$ C、 $[- 4, - 3]$ D、 $(- 4, - 3]$

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10、若函数 $f (x)$ 的部分图象如图所示，则 $f (x)$ 的解析式可能为（）

A、 $f (x) = \frac{x}{|x| + 1}$ B、 $f (x) = \frac{x^{2} + 1}{|x| + 1}$ C、 $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{|x| + 1}$ D、 $f (x) = \frac{x^{2} - 3}{|x| + 1}$

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11、若关于 $x$ 的不等式 $- \frac{1}{2} x^{2} + a x - 7 \leq 0$ 恒成立，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- \sqrt{14}, \sqrt{14})$ B、 $[- \sqrt{14}, \sqrt{14}]$ C、 $(- \infty, - \sqrt{14}) \cup (\sqrt{14}, + \infty)$ D、 $(- \infty, - \sqrt{14}] \cup [\sqrt{14}, + \infty)$

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12、已知函数 $f (x - 1) = 2 x - 14$ ，则 $f (x) =$ （）

A、 $2 x - 12$ B、 $2 x - 16$ C、 $2 x - 13$ D、 $2 x - 15$

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13、若 $a = x^{2} + 3 x + 5, b = 3 x + 4$ ，则（）

A、 $a < b$ B、 $a > b$ C、 $a = b$ D、 $a, b$ 的大小关系无法确定

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14、若幂函数 $f (x)$ 的图象经过点 $(2, 8)$ ，则 $f (- 4) =$ （）

A、16 B、 $- 16$ C、64 D、 $- 64$

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15、已知集合 $A = \{x ∣ 9 - x > 2\}, B = \{x ∣ x ⩾ 3\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $[3, 7)$ B、 $(3, 7)$ C、 $[3, + \infty)$ D、 $(7, + \infty)$

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16、“ $x = 5$ ”是“ $\sqrt{x} = \sqrt{5}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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17、已知四个点 $P_{1} (1, 1), P_{2} (0, \sqrt{3}), P_{3} (- 1, \frac{3}{2}), P_{4} (1, \frac{3}{2})$ 中恰有三个点在椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上.

(1)、判断哪个点不在椭圆 $C$ 上，并求出椭圆 $C$ 的方程；

(2)、设椭圆 $C$ 的左右顶点分别是 $A$ 、 $B$ ，点 $P$ 是直线 $x = 4$ 上一点，直线 $P A$ 、 $P B$ 与椭圆 $C$ 的另一个交点分别为 $M$ 、 $N$ ，求证：直线 $M N$ 过定点.

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18、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C D, A B ⊥ A D, A D / /$ $B C$ ， $P A = B C = 3, A B = A D = 2$ ， $P B = \sqrt{13} . E$ 为 $P D$ 中点，点 $F$ 在 $P C$ 上，且 $P C = 3 F C$ .

(1)、求证： $A B ⊥$ 平面 $P A D$ ；

(2)、求二面角 $F - A E - D$ 的余弦值；

(3)、线段 $A C$ 上是否存在点 $Q$ ，使得 $D Q / /$ 平面 $F A E$ ？说明理由.

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19、公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆，后世把这种圆称之为阿波罗尼斯圆.已知平面直角坐标系中 $A (- 2, 0), B (1, 0)$ 且 $|P A| = 2 |P B|$ .

(1)、求点P的轨迹方程；

(2)、若点P在（1）的轨迹上运动，点M为AP的中点，求点M的轨迹方程；

(3)、若点 $P (x, y)$ 在（1）的轨迹上运动，求 $t = \frac{y + 4}{x - 6}$ 的取值范围.

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20、为普及消防安全知识，某学校组织相关知识竞赛.比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为 $\frac{4}{5}$ ， $\frac{3}{5}$ ；在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为 $\frac{2}{3}$ ， $\frac{3}{4}$ ，甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响.

(1)、甲在比赛中恰好赢一轮的概率；

(2)、若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率.

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