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相关试卷

1、已知函数 $f (x)$ 的定义域为D，若对任意 $x \in [a, b]$ （ $a < b$ ， $[a, b] \subseteq D$ ），都有 $f (x) \in [n a, n b] (n > 0)$ ，则称 $[a, b]$ 为 $f (x)$ 的一个“n倍区间”．

(1)、判断 $[1, 4]$ 是否是函数 $y = x - 1$ 的一个“ $\frac{1}{2}$ 倍区间”，并说明理由；

(2)、若 $[0, 2]$ 是函数 $f (x) = x^{2} - 2 x + m$ 的“2倍区间”，求m的取值范围；

(3)、已知函数 $g (x)$ 满足对任意 $x_{1}, x_{2} \in R$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $0 < \frac{g (x_{1}) - g (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < 3$ ，且 $g (0) = 0$ ，证明： $[p, q]$ （ $p < 0 < q$ ）是 $g (x)$ 的一个“3倍区间”．

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2、新能源汽车是低碳生活的必然选择和汽车产业的发展趋势.某汽车企业为了响应国家号召， $2024$ 年积极引进新能源汽车生产设备，通过分析，全年需要投入固定成本 $2000$ 万元.每生产 $x$ （百辆）新能源汽车，需另投入成本 $C (x)$ 万元，且 $C (x) = \{\begin{cases} 10 x^{2} + 100 x, 0 < x < 50 \\ 501 x + \frac{8100}{x} - 5000, x \geq 50 \end{cases}$ ，由市场调研知，每百辆车售价 $500$ 万元，且生产的车辆当年能全部销售完．

(1)、求出 $2024$ 年的利润 $L (x)$ （万元）关于年产量 $x$ （百辆）的函数关系式；（利润 $=$ 销售量 $\times$ 售价 $-$ 成本）

(2)、 $2024$ 年产量为多少百辆时，企业所获利润最大?并求出最大利润．

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3、已知函数 $f (x) = m x + 1 (m \neq 0), g (x) = x^{2} + 2 x + k$ .

(1)、若 $\exists x \in R$ ，使得 $g (x) \leq 0$ ，求 $k$ 的取值范围；

(2)、若 $\forall x \in [- 1, 2]$ ，都有 $f (x) > 0$ 恒成立，求 $m$ 的取值范围；

(3)、当 $k = 3$ 时， $\forall x_{1} \in [1, 2], \exists x_{2} \in [- 1, 2]$ ，满足 $f (x_{1}) \leq g (x_{2})$ ，求 $m$ 的取值范围.

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4、函数 $f (x)$ 是 $R$ 上的奇函数，且当 $x > 0$ 时，函数的解析式为 $f (x) = \frac{2 x + 3}{x + 1}$ .

(1)、求 $f (- 2)$ 的值；

(2)、用定义证明 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上是减函数；

(3)、当 $x < 0$ 时，求函数的解析式.

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5、已知命题 $p : \exists x \in R$ ，使 $m x^{2} - 4 x + 2 = 0$ 为假命题．

(1)、求实数 $m$ 的取值集合B；

(2)、设 $A = \{x| 3 a < x < a + 2\}$ 为非空集合，若 $x \in A$ 是 $x \in B$ 的充分不必要条件，求实数 $a$ 的取值范围．

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6、设函数 $f (x)$ 的定义域为 $D$ ，如果存在正实数 $k$ ，使对任意的 $x \in D$ ，都有 $x + k \in D$ ，且 $f (x + k) > f (x)$ 恒成立，则称函数 $f (x)$ 为 $D$ 上的“ $k$ 型增函数”．已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且当 $x > 0$ 时， $f (x) = |x - a| - 2 a$ ，若 $f (x)$ 为 $R$ 上的“ $2024$ 型增函数”，则实数 $a$ 的取值范围是．

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7、已知幂函数 $f (x) = (m^{2} - 5 m + 7) x^{m}$ 的图象关于 $y$ 轴对称，则实数 $m$ 的值是．

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8、函数 $f (x) = \frac{1}{x^{2} - 4} + \sqrt{1 - x}$ 的定义域是.

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9、已知定义在R上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x + y) = f (x) + f (y)$ ，当 $x > 0$ 时， $f (x) > 0$ ， $f (2) = 4$ ，则（）

A、 $f (5) = 10$ B、 $f (x)$ 为奇函数 C、 $f (x)$ 在R上单调递减 D、当 $x < - 1$ 时， $f (x) - 2 > f (2 x)$

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10、已知关于 $x$ 的不等式. $a x^{2} + b x + c > 0$ 的解集为 $(- \infty, 2) \cup (3, + \infty)$ .则（）

A、 $a > 0$ B、不等式 $b x + c > 0$ 的解集是 $\{x | x < - 6\}$ C、 $a + b + c > 0$ D、不等式 $b x + a < 0$ 的解集为 $\{x | x < - \frac{1}{3}$ 或 $x > \frac{1}{2}\}$

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11、已知集合 $A = \{0, 1, - a\}, B = \{1, b + 2, b\}$ ，若 $A = B$ ，则 $a + b$ 的值可能是（）

A、-4 B、-2 C、0 D、2

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12、若函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ 都是奇函数，且 $F (x)$ $= f (x) + g (x) + 2$ 在区间 $(0, + \infty)$ 上有最大值5，则 $F (x)$ 在区间 $(- \infty, 0)$ （）

A、有最小值 $- 5$ B、有最大值 $- 5$ C、有最小值 $- 1$ D、有最大值 $- 3$

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13、已知命题p：“ $\exists x \in R$ ， $x^{2} - a x + 1 < 0$ ”为假命题，则实数a的取值范围为（）.

A、 $(- \infty, 2]$ B、 $(- 2, 2)$ C、 $(- \infty, - 2) \cup (2, + \infty)$ D、 $[- 2, 2]$

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14、函数 $y = x + \frac{| x |}{x}$ 的图象是（）．

A、 B、 C、 D、

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15、若 $m > 0, n > 0$ ，且 $3 m + 2 n - 1 = 0$ ，则 $\frac{3}{m} + \frac{2}{n}$ 的最小值为（）

A、20 B、12 C、16 D、25

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16、“ $0 < x < 2$ ”是“ $- 1 < x < 3$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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17、已知集合 $A = {x ∣ 0 < x < 2}, B = {x ∣ 1 < x < 3}$ ，则 $A \cap (∁_{R} B) =$ （）

A、 $(0, 1]$ B、 $(0, 1)$ C、 $(2, 3)$ D、 $(2, 3]$

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18、定义： $\frac{f (n) - f (m)}{n - m}$ 为函数 $f (x)$ 在 $[m, n]$ 上的平均变化率．

(1)、若函数 $f (x) = x^{3}$ 在 $[x_{1}, x_{2}]$ 上的平均变化率为3，证明： $x_{1} x_{2} < 1$ ．

(2)、设 $f (x) = x^{2} + \frac{2}{x}$ ， a， $b \in (0, 1)$ ，且 $f (b) = a^{2} - 2 a + 4$ ．
①证明： $a < b$ ．
②求 $f (\frac{f (b)}{4})$ 的取值范围．
参考公式： $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ ．

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19、已知幂函数 $f (x) = (m^{2} - m - 5) x^{m + 3}$ 是奇函数，函数 $g (x) = f (x^{2}) - a f (x)$ .

(1)、求 $m$ ；

(2)、若 $g (x)$ 在 $[- 1, 5]$ 上单调，求 $a$ 的取值范围；

(3)、求 $g (x)$ 在 $[1, 3]$ 上的最小值为 $- \frac{5}{4} a$ ，求 $a$ .

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20、梅州金柚､德庆贡柑､信宜三华李､紫金春甜桔､连平鹰嘴蜜桃､阳春马水桔､云安沙糖桔､高州储良龙眼､从化荔枝､徐闻香蕉并称为“岭南十大佳果”.眼下正值梅州金柚热销之时，某水果网店为促销梅州金柚，提供了阶梯式购买方案，购买方案如下表：
购买的金柚重量 $/ kg$
金柚单价 $/ ($ 元 $/ kg)$
不超过 $5 kg$ 的部分
10
超过 $5 kg$ 但不超过 $10 kg$ 的部分
9
超过 $10 kg$ 的部分
8
记顾客购买的金柚重量为 $x kg$ ，消费额为 $f (x)$ 元.

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式.

(2)、已知甲､乙两人商量在这家网店购买金柚，甲､乙计划购买的金柚重量分别为 $4 kg ､ 8 kg$ .请你为他们设计一种购买方案，使得甲､乙两人的消费总额最少，并求出此时的消费总额.

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购买的金柚重量 $/ kg$	金柚单价 $/ ($ 元 $/ kg)$
不超过 $5 kg$ 的部分	10
超过 $5 kg$ 但不超过 $10 kg$ 的部分	9
超过 $10 kg$ 的部分	8