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相关试卷

1、在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 3$ ， $B C = 4$ ， $C C_{1} = 2$ ， $M$ 在 $A B$ 上．以 $D$ 为原点， $D A$ ， $D C$ ， $D D_{1}$ 所在直线分别为 $x$ 轴、 $y$ 轴、 $z$ 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．若平面 $M C A_{1}$ 的一个法向量为 $\vec{n} = (1, 2, 1)$ ，则 $\frac{A M}{M B} =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、1

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2、在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ， $\vec{A A_{1}} = \vec{c}$ ， $O$ 是 $B D_{1}$ 与 $B_{1} D$ 的交点，以 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ 为空间的一个基底，则直线 $O A_{1}$ 的一个方向向量为（）

A、 $\frac{1}{2} (- \vec{a} - \vec{b} + \vec{c})$ B、 $\frac{1}{2} (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$ C、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ D、 $- \frac{1}{2} \vec{a} - \vec{b} + \vec{c}$

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3、袋子中有 $5$ 个大小质地完全相同的球，其中 $2$ 个红球、 $3$ 个黄球，从中有放回地依次随机摸出 $2$ 个球，那么这 $2$ 个球同色的概率为（）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{9}{25}$ D、 $\frac{13}{25}$

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4、已知 $A (- 1, 0)$ ， $B (2, 2)$ ， $C (5, - 2)$ 三点，则 $△ A B C$ 的 $A B$ 边上的高线所在直线的斜率是（）

A、 $- \frac{2}{3}$ B、 $- \frac{3}{2}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、3

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5、已知向量 $\vec{a} = (2, - 3, 1)$ ， $\vec{b} = (2, 0, 3)$ ， $\vec{c} = (0, 0, 2)$ ，则 $\vec{a} \cdot (2 \vec{b} - \vec{c}) =$ （）

A、12 B、-12 C、9 D、-9

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6、经过点 $A (2, 5)$ 和 $B (- 1, m)$ 的直线的倾斜角为 $\frac{π}{4}$ ，则 $m =$ （）

A、3.5 B、8 C、-2 D、2

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7、如图，直线 $l$ 的倾斜角为（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{3 π}{4}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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8、在空间直角坐标系 $O x y z$ 中，定义：过点 $A (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ ，且方向向量为 $\vec{m} = (a, b, c) (a b c \neq 0)$ 的直线的点方向式方程为 $\frac{x - x_{0}}{a} = \frac{y - y_{0}}{b} = \frac{z - z_{0}}{c}$ ；过点 $A (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ ，且法向量为 $\vec{m} = (a, b, c) (a^{2} + b^{2} + c^{2} \neq 0)$ 的平面的点法向式方程为 $a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) + c (z - z_{0}) = 0$ ，将其整理为一般式方程为 $a x + b y + c z - d = 0$ ，其中 $d = a x_{0} + b y_{0} + c z_{0}$ ．

(1)、求经过 $A (- 1, 2, 4), B (2, 0, 1)$ 的直线的点方向式方程；

(2)、已知平面 $α_{1} : 2 x - 3 y + z - 1 = 0$ ，平面 $β_{1} : x + y - 2 z + 4 = 0$ ，平面 $γ_{1} : (m + 1) x - (2 m + 3) y + (m + 2) z - 5 = 0$ ，若 $α_{1} \cap β_{1} = l, l ⊄ γ_{1}$ ，证明： $l ∥ γ_{1}$ ；

(3)、已知斜三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $A B B_{1} A_{1}$ 所在平面 $α_{2}$ 经过三点 $P (- 4, 0, 0)$ ， $Q (- 3, - 1, 1), H (1, - 5, - 2)$ ，侧面 $B C C_{1} B_{1}$ 所在平面 $β_{2}$ 的一般式方程为 $y + z + 4 = 0$ ，侧面 $A C C_{1} A_{1}$ 所在平面 $γ_{2}$ 的一般式方程为 $2 x - m y + (2 m + 1) z + 1 = 0$ ，求平面 $A B B_{1} A_{1}$ 与平面 $A C C_{1} A_{1}$ 的夹角大小．

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9、如图，在棱长为 $2$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ ， $F$ ， $G$ ， $H$ 分别是 $D D_{1}$ ， $A_{1} B_{1}$ ， $C D$ ， $B C$ 的中点，则下列说法正确的有（）

A、 $E$ ， $F$ ， $G$ ， $H$ 四点共面 B、 $B D$ 与 $E F$ 所成角的大小为 $\frac{π}{3}$ C、在线段 $B D$ 上存在点 $M$ ，使得 $M C_{1} ⊥$ 平面 $E F G$ D、在线段 $A_{1} B$ 上任取一点 $N$ ，三棱锥 $N - E F G$ 的体积为定值

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10、已知直线l的一个方向向量为 $(1, \sqrt{3})$ ，则直线l的倾斜角为（）

A、0 B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{3}$

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11、已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}| = 2$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ .

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12、已知增函数 $f (x)$ 的定义域为正整数集， $f (x)$ 的取值也为正整数，且满足 $f (f (n)) = 2 n + 1, n \in N^{*}$ .下列说法正确的是（）

A、 $f (1) = 2$ B、 $f (4) = 6$ C、 $f (2025) = 2536$ D、对任意正整数 $n$ ，都有 $f (2^{n}) = 3 \cdot 2^{n - 1}$

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13、已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ， $lg 2^{x} + lg 4^{y} = lg 2$ ，则 $\frac{1}{x} + \frac{1}{2 y}$ 的最小值为（）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、4

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14、正方形 $A B C D$ 的边长是2， $E$ 是 $A B$ 的中点，则 $\vec{E C} \cdot \vec{E D} =$ （）

A、 $\sqrt{5}$ B、3 C、 $2 \sqrt{5}$ D、5

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15、已知直线l的方向向量为 $\vec{m} = (1, - 3, 4)$ ，平面α的一个法向量为 $\vec{n} = (a, 2, 1)$ ，若直线 $l / /$ 平面α，则 $a =$ （）

A、 $- 7$ B、 $- 3$ C、 $- 1$ D、2

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16、在空间直角坐标系中，已知向量 $\vec{a} = (- 3, 2, 2 - m), \vec{b} = (m, 9, 3),$ 若 $\vec{a} ⊥ \vec{b},$ 则 $m =$ （）

A、 $- 4$ B、 $- 2$ C、 $2$ D、 $4$

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17、如图，在直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = A D = A A_{1} = 2$ ， $∠ B A D = \frac{π}{3}$ ， $M$ 为 $A_{1} C_{1}$ 与 $B_{1} D_{1}$ 的交点.若 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ， $\vec{A A_{1}} = \vec{c}$ ，则下列说法正确的有（）

A、 $\vec{B M} = - \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ B、 $A C_{1} = 2 \sqrt{6}$ C、设 $\vec{B N} = \frac{1}{4} \vec{B B_{1}}$ ，则 $A N ⊥ B M$ D、以 $D$ 为球心， $\sqrt{7}$ 为半径的球与四边形 $B C C_{1} B_{1}$ 的交线长为 $\frac{2}{3} π$

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18、已知圆 $C$ ： $x^{2} + {(y - 3)}^{2} = 4$ ，过点 $(0, 4)$ 的直线 $l$ 与 $x$ 轴交于点 $P$ ，与圆 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，则 $\vec{C P} \cdot (\vec{C A} + \vec{C B})$ 的取值范围是（）

A、 $[0, 1]$ B、 $[0, 1)$ C、 $[0, 2]$ D、 $[0, 2)$

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19、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} {(a + \frac{1}{2})}^{x}, x \leq 1 \\ \frac{1}{2 x}, x > 1 \end{array}$ 在 $R$ 上单调递减，则实数a的取值范围为（）

A、 $a < 0$ B、 $a > - \frac{1}{2}$ C、 $- \frac{1}{2} < a < 0$ D、 $0 \leq a < \frac{1}{2}$

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20、已知幂函数 $f (x) = (3 m^{2} - 7 m - 5) x^{m - 1}$ 是定义域上的奇函数，则 $m =$ （）

A、 $- \frac{2}{3}$ 或3 B、3 C、 $\frac{2}{3}$ D、 $- \frac{2}{3}$

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