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相关试卷

1、刍甍是中国古代算数中的一种几何体，是底面为矩形的屋脊状的楔体.现有一个刍甍如图所示，底面 BCDE为矩形， $A F / /$ 平面BCDE， $△ A B E$ 和 $△ C D F$ 是全等的正三角形， $B C = 3$ ， $B E = 2$ ， $∠ A B C = \frac{π}{3}$ ，则异面直线AE与BD所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{13}}{26}$ B、 $\frac{\sqrt{13}}{13}$ C、 $\frac{2 \sqrt{13}}{13}$ D、 $\frac{3 \sqrt{13}}{52}$

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2、已知抛物线 $C : y^{2} = 16 x$ 的焦点为 $F .$ 点 $A (2 ， 1)$ ， P是C上一个动点，则 $|P F| + |P A|$ 的最小值为（）

A、4 B、5 C、6 D、8

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3、设函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} a x - 2 ， x \leq 1 \\ ln x ， x > 1 \end{array}$ ，若 $f (x)$ 在 $R$ 上单调递增，则a的取值范围为( ).

A、 $(0, + \infty)$ B、 $(0, 2]$ C、 $(- \infty, 2]$ D、 $(0, 3]$

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4、阿基米德在其著作《关于圆锥体和球体》中给出了一个计算椭圆面积的方法：椭圆长半轴的长度、短半轴的长度和圆周率 $π$ 三者的乘积为该椭圆的面积.已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的面积为 $2 π$ ， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 为椭圆C的两个焦点，P为椭圆C上任意一点.若 $|P F_{1} |+| P F_{2}| = 4$ ，则椭圆C的焦距为( ).

A、 $\sqrt{3}$ B、2 C、 $2 \sqrt{5}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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5、已知角 $α$ 的终边不在坐标轴上，且 $2 sin 2 α = sin α$ ，则 $cos 2 α =$ （）

A、 $- \frac{7}{8}$ B、 $\frac{7}{8}$ C、 $- \frac{7}{8}$ 或1 D、 $- \frac{15}{16}$

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6、双曲线 $\frac{y^{2}}{100} - x^{2} = 1$ 的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \frac{1}{10} x$ B、 $y = \pm \frac{1}{100} x$ C、 $y = \pm 10 x$ D、 $y = \pm 100 x$

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7、已知集合 $A = {x | x < 3}$ ， $B = {x \in N | - 3 < 2 - x < 3}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 1, 0, 1, 2\}$ B、 $\{1, 2\}$ C、 $\{0, 1, 2\}$ D、 $\{0, 1, 2, 3\}$

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8、对于直线 $l : x + y - 1 = 0$ ，下列说法正确的有（）

A、直线l过点 $(0, 1)$ B、直线l与直线 $y = x$ 垂直 C、直线l的一个方向向量为 $(1, 1)$ D、原点到直线 $l : x + y - 1 = 0$ 的距离为1

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9、为普及抗疫知识、弘扬抗疫精神，某学校组织防疫知识挑战赛．每位选手挑战时，主持人用电脑出题的方式，从题库中随机出 $3$ 道题，编号为 $T_{1}$ ， $T_{2}$ ， $T_{3}$ ，电脑依次出题，选手按规则作答，挑战规则如下：
①选手每答对一道题目得 $5$ 分，每答错一道题目扣 $3$ 分；
②选手若答对第 $T_{i}$ 题，则继续作答第 $T_{i + 1}$ 题；选手若答错第 $T_{i}$ 题，则失去第 $T_{i + 1}$ 题的答题机会，从第 $T_{i + 2}$ 题开始继续答题；直到 $3$ 道题目出完，挑战结束；
③选手初始分为 $0$ 分，若挑战结束后，累计得分不低于 $7$ 分，则选手挑战成功，否则挑战失败．选手甲即将参与挑战，已知选手甲答对题库中任何一题的概率均为 $\frac{3}{4}$ ，各次作答结果相互独立，且他不会主动放弃任何一次作答机会，求：
（1）挑战结束时，选手甲共答对 $2$ 道题的概率 $P_{1}$ ；
（2）挑战结束时，选手甲恰好作答了 $2$ 道题的概率 $P_{2}$ ；
（3）选手甲闯关成功的概率 $P_{3}$ ．

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10、正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2， $M$ 为棱 $A_{1} D_{1}$ 上一点．

(1)、求证： $A B_{1} ⊥ B M$ ；

(2)、若 $M$ 为 $A_{1} D_{1}$ 中点，求点 $A_{1}$ 到平面 $B D M$ 的距离；

(3)、在棱 $A_{1} D_{1}$ 上是否存在点 $M$ ，使得 $A_{1} C ⊥$ 平面 $B D M$ ，若存在，指出点 $M$ 的位置，若不存在，说明理由．

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11、2023年11月，首届全国学生（青年）运动会在广西举行.10月31日，学青会火炬传递在桂林举行，广西师范大学有5名教师参与了此次传递，其中男教师2名，女教师3名．现需要从这5名教师中任选2名教师去参加活动．

(1)、写出试验“从这5名教师中任选2名教师”的样本空间；

(2)、求选出的2名教师中至少有1名女教师的概率．

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12、如图，在正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 2$ ， $A A_{1} = 4$ ．点 $A_{2}$ ， $B_{2}$ ， $C_{2}$ ， $D_{2}$ 分别在棱 $A A_{1}$ ， $B B_{1}$ ， $C C_{1}$ ， $D D_{1}$ 上， $A A_{2} = 1$ ， $B B_{2} = D D_{2} = 2$ ， $C C_{2} = 3$ ．

(1)、证明： $B_{2} C_{2} ∥ A_{2} D_{2}$ ；

(2)、点 $P$ 在线段 $B_{1} B_{2}$ 上，当 $B_{2} P = 1$ 时，求平面 $P A_{2} C_{2}$ 与平面 $D_{2} A_{2} C_{2}$ 的夹角的余弦值．

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13、已知： $\vec{a} = (x, 4, 1)$ ， $\vec{b} = (- 2, y, - 1)$ ， $\vec{c} = (3, - 2, z)$ ， $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ， $\vec{b} ⊥ \vec{c}$ ，求：

(1)、 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ ；

(2)、 $cos ⟨\vec{a} + \vec{c}, \vec{b} + \vec{c}⟩$

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14、如图，两条异面直线 $a$ ， $b$ 所成的角为 $60^{\circ}$ ，在直线 $a$ ， $b$ 上分别取点 $A^{'}$ ， $E$ 和 $A$ ， $F$ ，使 $A A^{'} ⊥ a$ ，且 $A A^{'} ⊥ b$ ．已知 $A F = 2$ ， $A^{'} E = 1$ ， $E F = 3$ ，则公垂线段 $A A^{'}$ 的长为．

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15、设事件 $A$ 与 $B$ 相互独立， $P (A) = 0.4$ ， $P (B) = 0.9$ ，则 $P (A B) =$ ， $P (A \cup B) =$ ．

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16、已知直线 $l$ 经过点 $P (2, 4)$ 和 $Q (- 1, - 2)$ ，且方向向量 $\vec{v} = (1, k)$ ，则 $k$ 的值为．

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17、（多选）已知空间中三个点A(0，0，0)，B(2，1，0)，C(﹣1，2，1)，则下列说法正确的是（）

A、 $\vec{A B}$ 与 $\vec{A C}$ 是共线向量 B、与 $\vec{A B}$ 同向的单位向量是 $(\frac{2 \sqrt{5}}{5}, \frac{\sqrt{5}}{5}, 0)$ C、 $\vec{B C}$ 在 $\vec{A B}$ 方向上的投影向量是 $(- 2, - 1, 0)$ D、平面ABC的一个法向量是 $(1, - 2, 5)$

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18、设样本空间 $Ω = \{a, b, c, d\}$ 含有等可能的样本点，且 $A = \{a, b\}$ ， $B = \{a, c\}$ ， $C = \{a, d\}$ ．则下列结论正确的有（）

A、 $P (A B) = P (A) P (B)$ B、 $P (A C) = P (A) P (C)$ C、 $P (A B C) = P (A) P (B) P (C)$ D、 $P (B C) = P (B) P (C)$

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19、若 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ 是空间的一个基底，则下列说法正确的是（）

A、 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 不可能共面 B、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ， $\vec{b} ⊥ \vec{c}$ ，则 $\vec{a} ⊥ \vec{c}$ C、对空间任一向量 $\vec{p}$ ，总存在有序实数组 $(x, y, z)$ ，使 $\vec{p} = x \vec{a} + y \vec{b} + z \vec{c}$ D、 $\vec{a} + \vec{b}$ ， $\vec{b} + \vec{c}$ ， $\vec{c} + \vec{a}$ 一定能构成空间的一个基底

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20、将一颗骰子先后郑两次，甲表示事件“第一次向上点数为1”，乙表示事件“第二次向上点数为2”，丙表示事件“两次向上点数之和为8”，丁表示事件“两次向上点数之和为7”，则（）

A、甲与丙相互独立 B、甲与丁相互独立 C、乙与丙相互独立 D、丙与丁相互独立

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