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相关试卷

1、若 $2^{x} = 3$ ，则 $x =$ .

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2、已知全集 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}, A = \{2, 3, 6, 7\}$ ，则 $\bar{A} =$ .

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3、定义三阶行列式运算： $|\begin{array}{l} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}| = a_{11} a_{22} a_{33} + a_{12} a_{23} a_{31} + a_{13} a_{21} a_{32} - a_{13} a_{22} a_{31} - a_{12} a_{21} a_{33} - a_{11} a_{23} a_{32}$ ，其中 $a_{i j} \in R (i, j \in \{1, 2, 3\})$ .已知 $a > - 1$ ，关于 $x$ 的不等式 $|\begin{matrix} x - a & 1 & 0 \\ a & x - 1 & 0 \\ - a & 1 & x \end{matrix}| > 0$ 的解集为 $M$ .

(1)、求 $M$ ；

(2)、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} - (4 a + 1) x, x \in M, \\ e^{x} - 2 a - 2, x \in ∁_{R} M \end{array}$ 不存在最小值，求 $a$ 的取值范围.

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4、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右顶点距离为 $2 \sqrt{6}$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、设过点 $(0, 1)$ ，斜率存在且不为0的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，求弦 $A B$ 垂直平分线的纵截距的取值范围.

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5、如图，已知直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的底面是直角三角形， $∠ A C B = 90 ° ， A A_{1} = A B = 2 B C = 2 ， \overset{⇀}{D C_{1}} = 3 \overset{⇀}{C D}$ ．
$（$ Ⅰ $）$ 求证： $A B_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} B D$ ；
$（$ Ⅱ $）$ 求二面角 $A - B D - A_{1}$ 的余弦值；
$（$ Ⅲ $）$ 求点 $B_{1}$ 到平面 $A_{1} B D$ 的距离．

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6、圆M经过三点：A（2， $- 2$ ），B（0，4），C（ $- 2$ ， 0）.

(1)、求圆M的方程；

(2)、过点P（2，3）的直线l被圆M截得的弦长为6，求直线l的方程.

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7、印章是我国传统文化之一，根据遗物和历史记载，至少在春秋战国时期就已出现，其形状多为长方体､圆柱体等，陕西历史博物馆收藏的“独孤信多面体煤精组印”是一枚形状奇特的印章（如图1），该形状称为“半正多面体”（由两种或两种以上的正多边形所围成的多面体），每个正方形面上均刻有不同的印章（图中为多面体的面上的部分印章）.图2是一个由18个正方形和8个正三角形围成的“半正多面体”（其各顶点均在一个正方体的面上），若该多面体的棱长均为1，且各个顶点均在同一球面上，则该球的表面积为.

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8、如图所示四面体 $O A B C$ 中， $O B = O C = 4$ ， $O A = 3$ ， $O B ⊥ O C$ ，且 $∠ A O B = ∠ A O C = 60 °$ ， $\vec{C D} = \frac{2}{3} \vec{C B}$ ， $G$ 为 $A D$ 的中点，点 $H$ 是线段 $O A$ 上动点，则下列说法正确的是（）

A、 $\vec{O G} = \frac{1}{3} (\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C})$ ； B、当 $H$ 是靠近 $A$ 的三等分点时， $\vec{D H}$ ， $\vec{O C}$ ， $\vec{A B}$ 共面； C、当 $\vec{O H} = \frac{5}{6} \vec{O A}$ 时， $\vec{G H} ⊥ \vec{O A}$ ； D、 $\vec{D H} \cdot \vec{O H}$ 的最小值为 $- 1$ ．

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9、圆 $Q_{1} : x^{2} + y^{2} - 2 x = 0$ 和圆 $Q_{2} : x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y = 0$ 的交点为 $A$ ， $B$ ，则（）

A、公共弦 $A B$ 所在直线的方程为 $x - y = 0$ B、线段 $A B$ 中垂线方程为 $x + y - 1 = 0$ C、公共弦 $A B$ 的长为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $P$ 为圆 $Q_{1}$ 上一动点，则 $P$ 到直线 $A B$ 距离的最大值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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10、已知直线 $l$ 的倾斜角等于 $120^{\circ}$ ，且 $l$ 经过点 $(- \sqrt{3}, 1)$ ，则下列结论中正确的有（）

A、 $l$ 的一个方向向量为 $\overset{⃑}{u} = (- \frac{\sqrt{3}}{6}, \frac{1}{2})$ B、直线 $l$ 与两坐标轴围成三角形的面积为 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ C、 $l$ 与直线 $\sqrt{3} x - 3 y + 2 = 0$ 垂直 D、 $l$ 与直线 $\sqrt{3} x + y + 2 = 0$ 平行

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11、若 $A (2, 2, 1)$ ， $B (0, 0, 1)$ ， $C (2, 0, 0)$ ，则点A到直线 $B C$ 的距离为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{30}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{30}}{5}$ C、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$

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12、我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征.我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（）

A、 $f (x) = \frac{1}{||x| - 1|}$ B、 $f (x) = \frac{1}{|x - 1|}$ C、 $f (x) = \frac{1}{x^{2} - 1}$ D、 $f (x) = \frac{1}{x^{2} + 1}$

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13、已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + y^{2} = 1 (a > 0)$ ，则“ $a = \sqrt{2}$ ”是“椭圆 $C$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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14、设函数 $f (x) = \sin ω x (ω > 0)$ .已知 $f (x_{1}) = - 1$ ， $f (x_{2}) = 1$ ，且 $|x_{1} - x_{2}|$ 的最小值为 $\frac{π}{2}$ ，则 $ω =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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15、已知向量 $\vec{a} = (4, - 2, 3)$ ， $\vec{b} = (1, 5, x)$ ，满足 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $x$ 的值为（）

A、2 B、-2 C、 $\frac{14}{3}$ D、 $- \frac{14}{3}$

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16、若集合 $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 9\}$ ， $B = \{x |x + 1 \in A\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{1, 3, 4\}$ B、 $\{2, 3, 4\}$ C、 $\{1, 2, 3, 4\}$ D、 $\{0, 1, 2, 3, 4, 9\}$

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17、两条异面直线所成角的范围是．

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18、已知函数 $f (x)$ ，对于任意的 $x, y \in R$ ，都有 $f (x + y) = f (x) + f (y)$ ，当 $x > 0$ 时， $f (x) < 0$ ，且 $f (1) = - \frac{1}{2}$ .

(1)、求 $f (0), f (3)$ 的值；

(2)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[- 6, 8]$ 上的值域；

(3)、设函数 $g (x) = f (x^{2} - m) - 2 f (| x |)$ ，若方程 $g (x) = 0$ 有4个不同的解，求 $m$ 的取值范围.

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19、已知二次函数 $f (x) = x^{2} - 2 a x + 5$ ，

(1)、若 $f (x) < 0$ 的解集为 $(1, b)$ ，求 $a + b$ 的值；

(2)、若函数 $f (x)$ 的定义域和值域均为 $[1, a] (a > 1)$ ，求实数 $a$ 的值；

(3)、若函数 $f (x)$ 在区间 $(- \infty, 2]$ 上单调递减，且对任意的 $x_{1}, x_{2} \in [1, a + 1]$ ，总有 $|f (x_{1}) - f (x_{2})| \leq 3$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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20、已知函数 $f (x) = x - \frac{4}{x}$ ，

(1)、判断 $f (x)$ 的奇偶性并加以证明；

(2)、根据函数单调性的定义证明： $f (x)$ 在区间 $(0, + \infty)$ 上单调递增；

(3)、解不等式： $f (x - 5) < 3$ .

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