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相关试卷

1、已知各项均为正数的数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $a_{n} a_{n + 1} = 2 S_{n} (n \in N^{*})$ ，则 $a_{2024} =$ .

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2、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，上顶点为 $A$ ，若 $A F_{1} ⊥ A F_{2}$ ，则 $C$ 的短轴长为.

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3、曲线 $Γ : y^{2} - 2 y = x^{3} + m x - 3$ ，下列结论正确的是（）

A、曲线 $Γ$ 关于原点对称 B、曲线 $Γ$ 关于直线 $y = 1$ 对称 C、当 $m = 0$ 时，曲线 $Γ$ 上点的横坐标的取值范围为 $[\sqrt[3]{2}, + \infty)$ D、若曲线 $Γ$ 在第一象限内存在位于直线 $x = 1$ 左侧的点，则 $m > 1$

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4、已知抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上三点 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (1, 2)$ ， $C (x_{2}, y_{2})$ ， F为抛物线的焦点，则下列说法正确的是（）

A、抛物线的准线方程为 $x = - 1$ B、若 $\vec{F A} + \vec{F B} + \vec{F C} = \vec{0}$ ，则 $2 |\vec{F B}| = |\vec{F A}| + |\vec{F C}|$ C、若 $A, F, C$ 三点共线，则 $y_{1} y_{2} = - 1$ D、若 $|A C| = 6$ ，则 $A C$ 的中点到 $y$ 轴距离的最小值为2

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5、数列0，1，0， $- 1$ ， 0，1，0， $- 1$ ， …的一个通项公式是（）

A、 $\sin \frac{(n - 1) π}{2}$ B、 $\cos \frac{n π}{2}$ C、 $\cos \frac{(n + 1) π}{2}$ D、 $\cos \frac{(n + 2) π}{2}$

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6、设 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左，右焦点， $O$ 是坐标原点，过点 $F_{2}$ 作 $C$ 的一条渐近线的垂线，垂足为 $P$ ．若 $|P F_{1}| = \sqrt{6} |O P|$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $2$ D、 $3$

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7、设直线 $x + a y + 2 = 0$ 与圆 $C : x^{2} + {(y - 2)}^{2} = 16$ 相交于 $A, B$ 两点，且 $△ A B C$ 的面积为8，则 $a =$ （）

A、 $- \sqrt{2}$ B、 $- 1$ C、1 D、 $\sqrt{2}$

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8、已知两圆C₁：（x-4）²+y²=169，C₂：（x+4）²+y²=9.动圆M在圆C₁内部且和圆C₁相内切，和圆C₂相外切，则动圆圆心M的轨迹方程是（）

A、 $\frac{x^{2}}{64} - \frac{y^{2}}{48} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{48} + \frac{y^{2}}{64} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{48} - \frac{y^{2}}{64} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{64} + \frac{y^{2}}{48} = 1$

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9、已知直线 $l : x - y + 1 = 0$ ，从点 $A (- 2, 3)$ 射出的光线经直线 $l$ 反射后经过点 $B (2, 4)$ ，则光线从 $A$ 到 $B$ 的路程为（）

A、2 B、3 C、5 D、6

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10、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的通项 $a_{n} = \{\begin{cases} (6 - t) n + 8, n \leq 4 \\ t^{n - 3}, n \geq 5 \end{cases}, n \in N^{*}$ ，若 $\{a_{n}\}$ 是递增数列，则实数 $t$ 的取值范围是（）

A、 $(1, 6)$ B、 $(4, 6)$ C、 $(6, \frac{32}{5})$ D、 $[4, 6)$

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11、已知双曲线 $C : \frac{y^{2}}{4} - \frac{x^{2}}{m} = 1$ 的一条渐近线方程为 $y = 2 x$ ，则 $m =$ （）

A、1 B、2 C、8 D、16

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12、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $A (6, - 1)$ ， $B (3, 6)$ ，直线 $l : y = k x$ ．

(1)、当点A到直线l的距离最大时，求k的值：

(2)、在（1）的条件下，若过点 $B$ 的直线 $l^{'}$ 与直线 $l$ 和 $x$ 轴正半轴分别交于点M，N，其中M在第一象限，当 $△ O M N$ 的面积最小时，求直线 $l^{'}$ 的方程．

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13、已知圆 $C : x^{2} + y^{2} = 16$ 分别与 $x$ 、 $y$ 轴正半轴交于 $A$ 、 $B$ 两点， $P$ 为圆 $C$ 上的动点．

(1)、若线段 $A P$ 上有一点 $Q$ ，满足 $\vec{A Q} = 2 \vec{Q P}$ ，求点 $Q$ 的轨迹方程；

(2)、过点 $(3, 4)$ 的直线 $m$ 截圆 $C$ 所得弦长为 $2 \sqrt{7}$ ，求直线 $m$ 的方程；

(3)、若 $P$ 为圆 $C$ 上异于 $A, B$ 的动点，直线 $A P$ 与 $y$ 轴交于点 $M$ ，直线 $B P$ 与 $x$ 轴交于点 $N$ ，求证： $|A N| \cdot |B M|$ 为定值．

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14、如图四棱锥 $P - A B C D$ ，底面 $A B C D$ 是边长为1的正方形，平面 $P C D ⊥$ 平面 $P A D$ ， $P A = A D$ ， $P A ⊥ B C$ .

(1)、求证： $C D ⊥$ 平面 $P A D$ ；

(2)、求二面角 $B - P C - D$ 的余弦值.

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15、如图，在四棱锥 $S - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为正方形、 $S A ⊥$ 平面 $A B C D ， M ， N$ 分别为棱 $S B ， S C$ 的中点

(1)、证明： $M N / /$ 平面 $S A D$ ；

(2)、若 $S A = A D$ ，求直线 $S D$ 与平面 $A D N M$ 所成角的正弦值

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16、已知圆 $C$ 的圆心在直线 $x - y - 1 = 0$ 上，且过 $A (- 2, 2)$ ， $B (3, 3)$ 两点.

(1)、求圆 $C$ 的标准方程；

(2)、若过点 $Q (3, 4)$ 的直线 $l$ 被圆 $C$ 截得的弦长为 $6$ ，求直线 $l$ 的方程.

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17、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A D$ ⊥平面 $A B C D$ ， $P A ⊥ P D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $P A = P D$ ， $A B = 2$ ， $A D = 8$ ， $A C = C D = 5$ .

(1)、求证：平面 $P C D$ ⊥平面 $P A B$ ；

(2)、求点 $B$ 到平面 $P C D$ 的距离.

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18、如图所示，在四面体 $A B C D$ 中， $△ B C D$ 为等边三角形， $∠ A D B = \frac{π}{2}$ ，则平面 $A B D$ 与平面 $A C D$ 夹角的最大值是.

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19、设直线l的方向向量为 $\vec{m} = (2, - 1, z)$ ，平面 $α$ 的一个法向量为 $\vec{n} = (4, - 2, - 2)$ ，若直线 $l ⊥$ 平面 $α$ ，则实数z的值为．

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20、下列结论正确的是（）

A、若 $\overset{⃑}{v}$ 直线l方向向量， $l ⊥$ 平面 $α$ ，则 $λ v (λ \in R)$ 是平面 $α$ 的一个法向量 B、坐标平面内过点 $P (x_{0}, y_{0})$ 的直线可以写成 $A (x - x_{0}) + B (y - y_{0}) = 0 (A^{2} + B^{2} \neq 0)$ C、直线l过点 $(- 2, 3)$ ，且原点到l的距离是2，则l的方程是 $5 x + 12 y - 26 = 0$ D、设二次函数 $y = (x - 2020) (x + 2021)$ 的图象与坐标轴有三个交点，则过这三个点的圆与坐标轴的另一个交点的坐标为 $(0, 1)$

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