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相关试卷

1、对称美在日常生活中随处可见，在数学中也非常常见．高一某同学通过自主探究发现：①当 $x_{1} + x_{2} = 2 t$ 时：若恒有 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ，则函数 $f (x)$ 关于直线 $x = t$ 对称；若恒有 $f (x_{1}) + f (x_{2}) = 2 s$ ，则函数 $f (x)$ 关于点 $(t, s)$ 对称；②函数 $f (x)$ 关于直线 $x = t$ 对称， $f (t + x)$ 必为偶函数；若函数 $f (x)$ 关于点 $(t, s)$ 对称，则 $f (x + t) - s$ 必为奇函数；③三次函数 $y = a x^{3} + b x^{2} + c x + d (a \neq 0)$ 一定有对称中心；四次函数 $y = a x^{4} + b x^{3} + c x^{2} + d x + e (a \neq 0)$ 不一定有与 $x$ 轴垂直的对称轴.请您对上诉结论作进一步探究，结合自己的实际，解答以下问题：

(1)、求三次函数 $y = x^{3} - 3 x^{2} + 4 x + 1$ 的对称中心；

(2)、若四次函数 $f (x) = x^{4} + 4 x^{3} + c x^{2} + 4 x + 1$ 有垂直于 $x$ 轴的对称轴，求 $c$ 的值；

(3)、若 ${(x + 2 y + 3 z)}^{3} + {(3 x + 2 y + z)}^{3} - 3 [{(x + 2 y + 3 z)}^{2} + {(3 x + 2 y + z)}^{2}] + 16 (x + y + z) - 4 = 0$ ，求 $x + y + z$ 的值.

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2、已知函数 $f (x) = x^{2} + \frac{2 a}{x}$ （ $x \neq 0$ ，常数 $a \in R$ ）．

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的奇偶性，并说明理由；

(2)、若函数 $f (x)$ 在 $[1, + \infty)$ 上为增函数，求实数 $a$ 的取值范围

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3、根据市场调查知，某数码产品公司生产某款运动手环的年固定成本为50万元，每生产1万只还需另投入20万元．若该公司一年内共生产该款运动手环x万只并能全部销售完，平均每万只的销售收入为 $R (x)$ 万元，且 $R (x) = \{\begin{matrix} 100 - k x, 0 < x \leq 20, \\ \frac{2100}{x} - \frac{9000 k}{x^{2}}, x > 20 . \end{matrix}$ 当该公司一年内共生产该款运动手环5万只并全部销售完时，年利润为300万元．

(1)、求出k的值，并写出年利润 $W (x)$ （万元）关于年产量x（万部）的函数解析式；

(2)、当年产量为多少万只时，公司在该款运动手环的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．

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4、已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x < 0$ 时， $f (x) = \frac{2}{x} - x^{2}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、用定义证明 $f (x)$ 在 $(- \infty, - 1)$ 上为增函数；

(3)、判断 $f (x)$ 的单调性.（不用证明）

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5、已知对任意两个实数 $m, n$ ，定义 $min \{m, n\} = \{\begin{matrix} m, m \leq n \\ n, m > n \end{matrix}$ ，对任意的实数 $x$ ，记 $f (x) = min \{2 - x^{2}, x\}$ ， $f (x)$ 的最大值是.

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6、计算： ${(2 \frac{1}{4})}^{0.5} - {0.75}^{2} + 6^{- 2} \times {(\frac{8}{27})}^{- \frac{1}{3}} =$ ．

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7、已知关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + b x + c \leq 0$ 的解集为 $\{x | x \leq - 2$ 或 $x \geq 3\}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $a < 0$ B、 $a x + c > 0$ 的解集为 $\{x | x < 6\}$ C、 $8 a + 4 b + 3 c < 0$ D、 $c x^{2} + b x + a < 0$ 的解集为 $\{x | - \frac{1}{2} < x < \frac{1}{3}\}$

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8、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且 $f (x + y) - 2 f (x - y) + f (x) - 2 f (y) = y - 2$ ，则 $f (2024) =$ （）

A、0 B、1 C、2024 D、2025

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9、函数 $f (x) = \{\begin{matrix} (a - 5) x - 2, x \geq 2 \\ x^{2} - 2 (a + 1) x + 3 a, x < 2 \end{matrix}$ ，若对任意 $x_{1}, x_{2} \in R (x_{1} \neq x_{2})$ ，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < 0$ 成立，则实数a的取值范围为（）

A、(－∞，1] B、(1，5) C、[1，5) D、[1，4]

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10、设 $x, y \in R$ ，下列说法中错误的是（）

A、“ $x > 1$ ”是“ $x^{2} > 1$ ”的充分不必要条件 B、“ $x > 1$ ， $y > 1$ ”是“ $x + y > 2$ ， $x y > 1$ ”的充要条件 C、“ $x y = 0$ ”是“ $x^{2} + y^{2} = 0$ ”的必要不充分条件 D、“ $x^{2} \neq 4$ ”是“ $x \neq 2$ ”的充分不必要条件

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11、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $[2, 8]$ ，则函数 $y = \frac{f (x - 2)}{x - 5}$ 的定义域为（）

A、 $[4, 10]$ B、 $[0, 6]$ C、 $[4, 5) \cup (5, 10]$ D、 $[0, 5) \cup (5, 6]$

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12、命题“ $\exists x \in (1, 2)$ ， $2 x^{2} - 3 \geq 0$ ”的否定是（）

A、 $\forall x \notin (1, 2)$ ， $2 x^{2} - 3 < 0$ B、 $\exists x \notin (1, 2)$ ， $2 x^{2} - 3 \geq 0$ C、 $\forall x \in (1, 2)$ ， $2 x^{2} - 3 < 0$ D、 $\exists x \in (1, 2)$ ， $2 x^{2} - 3 < 0$

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13、双曲函数是工程数学中一类重要的函数，它也是一类最重要的基本初等函数，它的性质非常丰富，常见的两类双曲函数为正余弦双曲函数，解析式如下：
双曲正弦函数 $\sinh x = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$ ，双曲余弦函数： $\cosh x = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$

(1)、请选择下列2个结论中的一个结论进行证明：选择______（若两个均选择，则按照第一个计分）
① $\cosh^{2} x - \sinh^{2} x = 1$ ② $\cosh 2 x = \cosh^{2} x + \sinh^{2} x$

(2)、请证明双曲正弦函数sinh x在 $R$ 上是增函数；

(3)、求函数 $y = \cosh^{2} x + \sinh^{2} x + \cosh x$ 在R上的值域．

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14、学习机是一种电子教学类产品，也统指对学习有辅助作用的所有电子教育器材．学习机较其他移动终端更注重学习资源和教学策略的应用，课堂同步辅导､全科辅学功能､多国语言学习､标准专业词典以及内存自由扩充等功能成为学习机的主流竞争手段，越来越多的学习机产品全面兼容网络学习､情境学习､随身学习机外教､单词联想记忆､同步教材讲解､互动全真题库､权威词典､在线图书馆等多种模式，以及大内存和SD/MMC卡内存自由扩充功能根据市场调查．某学习机公司生产学习机的年固定成本为20万元，每生产1万部还需另投入16万元．设该公司一年内共生产该款学习机 $x$ 万部并全部销售完，每万部的销售收入为 $R (x)$ 万元，且 $R (x) = \{\begin{array}{l} a - 4 x, 0 < x \leq 10 \\ \frac{5300}{x} - \frac{b}{x^{2}}, x > 10 \end{array}$ ．当该公司一年内共生产该款学习机8万部并全部销售完时，年利润为1196万元；当该公司一年内共生产该款学习机20万部并全部销售完时，年利润为2960万元．

(1)、写出年利润 $W$ （万元）关于年产量 $x$ （万部）的函数解析式；

(2)、当年产量为多少万部时，公司在该款学习机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．

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15、定义区间(a，b)，[a，b)，(a，b]，[a，b]的长度均为 $d = b - a$ ，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如，(1，2) $\cup$ [3，5)的长度d=(2-1)+(5-3)=3. 用[x]表示不超过x的最大整数，记{x}=x-[x]，其中 $x \in R$ .设 $f (x) = [x] \cdot {x}$ ， $g (x) = x - 1$ ，当 $0 \leq x \leq k$ 时，不等式 $f (x) < g (x)$ 解集区间的长度为 $5$ ，则 $k$ 的值为．

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16、 ${0.064}^{- \frac{1}{3}} + \sqrt{{(- 2)}^{4}} - {(π + e)}^{0} - 9^{\frac{3}{2}} \times {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{4} =$ .

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17、定义在 $(0, + \infty)$ 上的函数 $f (x)$ 满足下列条件：（1） $f (\frac{x}{y}) = y f (x) - x f (y)$ ；（2）当 $x > 1$ 时， $f (x) > 0$ ，则（）

A、 $f (1) = 0$ B、当 $0 < x < 1$ 时， $f (x) < 0$ C、 $f (x^{2}) \geq 2 f (x)$ D、 $f (x)$ 在 $(1, + \infty)$ 上单调递增

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18、已知实数 $a$ 满足 $a + a^{- 1} = 4$ ，下列选项中正确的是（）

A、 $a - a^{- 1} = 2 \sqrt{3}$ B、 $a^{2} + a^{- 2} = 14$ C、 $a^{\frac{1}{2}} + a^{- \frac{1}{2}} = \sqrt{6}$ D、 $a^{\frac{3}{2}} + a^{- \frac{3}{2}} = 3 \sqrt{6}$

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19、若对于定义域内的每一个 $x$ ，都有 $f (k x) = k f (x)$ ，则称函数 $f (x)$ 为“双 $k$ 倍函数”.已知函数 $f (x)$ 是定义在 $[1, 4]$ 上的“双2倍函数”，且当 $x \in [1, 2)$ 时， $f (x) = - 4 x^{2} + 12 x - 7$ ，若函数 $y = f [f (x)] - a$ 恰有4个不同的零点，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(1, 2)$ B、 $[1, 4]$ C、 $(1, 2) \cup (2, 4]$ D、 $(1, 4]$

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20、已知 $g (x)$ 是定义域为R的函数， $g (x) = a x^{2} + 2$ ，若对任意的 $1 < x_{1} < x_{2} < 2$ ，都有 $\frac{g (x_{1}) - g (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > - 3$ 成立，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[0, + \infty)$ B、 $[- \frac{3}{4}, 0]$ C、 $(- \frac{3}{4}, + \infty)$ D、 $[- \frac{3}{4}, + \infty)$

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