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相关试卷

1、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C, D$ 为 $A B$ 上一点，且平面 $P A B ⊥$ 平面 $P C D, A C = B C = P D = \sqrt{3}$ ，三棱锥 $P - A B C$ 的体积为 $\frac{2}{3}$ .

(1)、求证： $D$ 为 $A B$ 的中点；

(2)、求直线 $P B$ 与平面 $P C D$ 所成角的正弦值.

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2、一款便携式行李箱的密码是由数字1，2，3组成的一个五位数，这三个数字的每个数字在密码中至少出现一次，且它们出现的概率相等．

(1)、求该款行李箱密码的不同种数；

(2)、记X表示该款行李箱密码中数字1出现的次数，求X的分布列和数学期望．

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3、在△ $A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，已知 $cos 2 B - cos 2 A = 2 {sin}^{2} C - 2 sin B sin C$

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $b = 2 ， c = 3 ， P ， Q$ 分别为边 $a ， b$ 上的中点， $G$ 为 $△ A B C$ 的重心，求 $∠ P G Q$ 的余弦值.

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4、若 ${(x + 2)}^{5} = a_{5} x^{5} + a_{4} x^{4} + a_{3} x^{3} + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0}$ ，则 $\frac{a_{5} + a_{3} + a_{1}}{a_{4} + a_{2} + a_{0}} =$ .

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5、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的首项 $a_{1} = 2$ ，公差 $d = 3$ ，求第10项 $a_{10}$ 的值为.

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6、已知函数 $f (x) = \frac{a x + b}{x^{2} + 3}$ 是定义在R上的奇函数，且 $f (\frac{1}{2}) = \frac{4}{13}$ ，则 $f (3) =$ ．

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7、关于函数 $f (x) = (x + a) e^{x}$ ，下列说法正确的是（）

A、当 $a = 0$ 时， $y = f (x) - 2 x$ 有两个零点 B、当 $a = 1$ 时， $f (x)$ 在 $(- 2, + \infty)$ 上单调递增 C、若关于 $x$ 的方程 $f (x) = k$ 有两个不等实根，则 $k > - \frac{1}{e^{a + 1}}$ D、对任意两个正实数 $x_{1}, x_{2}$ ，且 $x_{2} > x_{1}$ ，若 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ，则 $x_{1} + x_{2} > - 2 (a + 1)$

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8、对于定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ ，若 $f (x + 1)$ 是奇函数， $f (x + 2)$ 是偶函数，且 $f (x)$ 在 $[1, 2]$ 上单调递减，则（）

A、 $f (3) = 0$ B、 $f (0) = f (4)$ C、 $f (\frac{1}{2}) = - f (\frac{3}{2})$ D、 $f (x)$ 在 $[3, 4]$ 上单调递减

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9、已知等比数列 ${a_{n}}$ 为递增数列， $b_{n} = \frac{n}{a_{n}}$ . 记 $S_{n}, T_{n}$ 分别为数列 ${a_{n}}, {b_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{2} = a_{1} a_{3} ， S_{3} + T_{3} = 12$ ，则 $S_{n} =$ （）

A、 $4 ^{n - 1} - 1$ B、 $\frac{1}{4} (4^{n - 1} - 1)$ C、 $\frac{1}{12} (4 ^{n} - 1)$ D、 $4 ^{n - 2}$

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10、已知函数 $f (x)$ 满足 $f (\frac{x}{y}) = f (x) - f (y), f (\frac{1}{2}) = - 1$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $f (\frac{1}{4}) = - 2$ B、 $f (2) = 0$ C、 $f (4) = 1$ D、 $f (8) = 2$

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11、蒙古包是我国蒙古族牧民居住的房子，适于牧业生产和游牧生活．如图所示的蒙古包由圆柱和圆锥组合而成，其中圆柱的高为 $2 m$ ，底面半径为 $4 m, O$ 是圆柱下底面的圆心．若圆锥的侧面与以 $O$ 为球心，半径为 $4 m$ 的球相切，则圆锥的侧面积为（）

A、 $8 \sqrt{5} {πm}^{2}$ B、 $16 \sqrt{5} {πm}^{2}$ C、 $20 {πm}^{2}$ D、 $40 {πm}^{2}$

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12、已知 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 是两个虚数，则“ $z_{1}$ ， $z_{2}$ 均为纯虚数”是“ $\frac{z_{1}}{z_{2}}$ 为实数”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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13、已知集合 $A = {x \in Z | x^{2} - 8 x + 15 \leq 0}, B = {x | x < 5}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{3\}$ B、 $\{3, 4\}$ C、 $\{4, 5\}$ D、 $\{3, 4, 5\}$

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14、已知直线 $l_{1} : a x - (a - 4) y + 2 = 0$ ，直线 $l_{2} : 2 x + a y - 1 = 0$ .

(1)、若 $l_{1}$ $/ /$ $l_{2}$ ，求实数 $a$ 的值；

(2)、若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，求实数 $a$ 的值.

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15、如图，在直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B ∥ C D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $A A_{1} = A B = 2 A D = 2 C D = 4$ ， $E, F, G$ 分别为棱 $D D_{1}$ ， $A_{1} D_{1}$ ， $B B_{1}$ 的中点，建立如图所示的空间直角坐标系.

(1)、求 $C, E, F, G$ 的坐标；

(2)、求 $\vec{C G} \cdot \vec{E F}$ 的值

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16、直线 $l : \frac{x}{m} + \frac{y}{n} = 1$ 过点 $A (1, 2)$ ，则直线 $l$ 与 $x$ 轴正半轴、 $y$ 轴正半轴围成三角形面积的最小值为．

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17、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为矩形， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $P A = A B = 2$ ， $A D = 4$ ， $E$ 为 $P C$ 的中点，则异面直线 $P D$ 与 $B E$ 所成角的余弦值为.

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18、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，取 $\{\vec{A B}, \vec{A D}, \vec{A A_{1}}\}$ 为基，若点 $G$ 为平面 $B C C_{1} B_{1}$ 的中心，且 $\vec{A G} = x \vec{A B} + y \vec{A D} + z \vec{A A_{1}}$ ，则 $x + y + z =$ ．

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19、已知向量 $\vec{a} = (1, - 1, 0)$ ， $\vec{b} = (- 1, 0, 1)$ ， $\vec{c} = (2, - 3, 1)$ ，则（）

A、 $|\vec{a} - \vec{b}| = 6$ B、 $(\vec{a} + 3 \vec{b}) \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = 7$ C、 $(\vec{a} + 4 \vec{b}) ⊥ \vec{c}$ D、 $\vec{a} ∥ (\vec{b} - \vec{c})$

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20、已知直线l： $\sqrt{3} x + y - 2 = 0$ ，则下列选项中正确的有（）

A、直线l在y轴上的截距是2 B、直线l的斜率为 $\sqrt{3}$ C、直线l不经过第三象限 D、直线l的一个方向向量为 $\vec{v} = (- \sqrt{3}, 3)$

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