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相关试卷

1、函数 $f (x) = ln x - x^{2}$ 与直线 $x + y = 0$ 相切于点 $A$ ，则点 $A$ 的横坐标为（）

A、 $\frac{1}{e}$ B、1 C、2 D、e

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2、若 $a, b \in R$ ，则“ $a > b$ ”是“ $3^{a} - 3^{b} > 2^{b} - 2^{a}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3、已知非空集合 $A = \{x |a < x < a^{2}\}$ ，则实数a的取值范围为（）

A、 $(0, 1)$ B、 $(- \infty, 0)$ C、 $(- \infty, 0) \cup (1, + \infty)$ D、 $(- \infty, - 1) \cup (0, + \infty)$

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4、给定数列 $\{a_{n}\}$ ，若首项 $a_{1} > 0$ 且 $a_{1} \neq 1$ ，对任意的 $n, m \in N^{*}$ ，都有 $a_{n + m} = a_{n} \cdot a_{m}$ ，则称数列 $\{a_{n}\}$ 为“指数型数列”.

(1)、已知数列 $\{a_{n}\}$ 为“指数型数列”，若 $a_{1} = 2$ ，求 $a_{2}, a_{3}$ ；

(2)、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = \frac{1}{2}, a_{n} = 2 a_{n} a_{n + 1} + 3 a_{n + 1} (n \in N^{*})$ ，判断数列 $\{\frac{1}{a_{n}} + 1\}$ 是不是“指数型数列”？若是，请给出证明；若不是，请说明理由；

(3)、若数列 $\{a_{n}\}$ 是“指数型数列”，且 $a_{1} = \frac{a + 2}{a + 3} (a \in N^{*})$ ，证明：数列 $\{a_{n}\}$ 中任意三项都不能构成等差数列.

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5、已知抛物线 $E : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的准线为 $x = - \frac{1}{2}$ ，焦点为 $F . A, B, C$ 为 $E$ 上异于原点且不重合的三点.

(1)、求 $E$ 的方程；

(2)、若 $F$ 为 $△ A B C$ 的重心，求 $|F A| + |F B| + |F C|$ 的值；

(3)、过 $A, B$ 两点分别作 $E$ 的切线 $l_{1}, l_{2}, l_{1}$ 与 $l_{2}$ 相交于点 $D$ ，若 $|A B| = 4$ ，求 $△ A B D$ 面积的最大值.

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6、如图，在四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $D_{1} D ⊥$ 平面 $A B C D, A D // B C$ ， $A D = C D =$ 2， $B C = A_{1} D_{1} = D_{1} D = 1$ ， $∠ B C D = 60^{\circ}$ .

(1)、记平面 $A_{1} A D D_{1}$ 与平面 $B_{1} B C C_{1}$ 的交线为 $l$ ，证明： $l ⊥$ 平面 $B_{1} B D D_{1}$ ；

(2)、求平面 $A_{1} A D D_{1}$ 与平面 $A_{1} A B B_{1}$ 的夹角的余弦值.

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7、南方游客勇闯冰雪大世界点燃了民众对冰雪运动的热情，其中雪上运动深受游客的喜爱.某新闻媒体机构随机调查了男､女性游客各100名，统计结果如下表所示：
对滑雪的喜爱情况
性别
合计
男性游客
女性游客
喜欢滑雪
60
35
95
不喜欢滑雪
40
65
105
合计
100
100
200

(1)、依据小概率值 $α = 0.001$ 的独立性检验，能否认为游客是否喜欢滑雪与性别有关联？

(2)、冰雪大世界招募初学者进行滑雪培训，对四个滑雪基本动作（起步､滑行､转弯､制动）进行指导.据统计，每位初学者对起步、滑行、转弯、制动这四个动作达到优秀的概率分别为 $\frac{3}{4}, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{2}$ ，且四个滑雪基本动作是否达到优秀相互独立.若这四个滑雪基本动作至少有三个达到优秀，则可荣获“优秀学员”称号.求滑雪初学者荣获“优秀学员”称号的概率.
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}, n = a + b + c + d$ .
$α$
0.05
0.01
0.001
$x_{α}$
3.841
6.635
10.828

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8、记 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $(b - c) \sin B = (a + c) \cdot (\sin A - \sin C)$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $D$ 为边 $A B$ 的中点，且 $C D = 1$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值.

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9、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}, P$ 为 $E$ 上且不与顶点重合的任意一点， $I$ 为 $△ P F_{1} F_{2}$ 的内心， $O$ 为坐标原点，记直线 $O P, O I$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，若 $k_{1} = \frac{3}{2} k_{2}$ ，则 $E$ 的离心率为.

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10、已知集合 $A = \{x \in N | {log}_{2} (x - 3) \leq 2\}$ ， $B = \{x |\frac{x - 7}{x - 4} \leq 0\}$ ，则 $A \cap B =$ .

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11、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，其中 $a = 3, b = 2, cos (A + B) = \frac{1}{3}$ ，则 $c =$ .

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12、已知函数 $f (x) = sin (x + \frac{π}{3}) + sin (\frac{π}{6} - x)$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的值域为 $[- \sqrt{2}, \sqrt{2}]$ B、 $f (x - \frac{π}{12})$ 为偶函数 C、 $f (x - \frac{π}{12})$ 在 $[0, \frac{π}{2}]$ 上单调递增 D、 $f (x)$ 在 $[\frac{π}{12}, \frac{3 π}{2}]$ 上有2个零点

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13、已知向量 $\vec{a} = (2, - 3)$ ， $\vec{b} = (- 2, - 1)$ ，则（）

A、 $(\vec{a} + 2 \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ B、 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 可作为一组基底向量 C、 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角的余弦值为 $- \frac{\sqrt{65}}{65}$ D、 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量的坐标为 $(\frac{2}{3}, \frac{1}{3})$

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14、已知 $A, B, C, D$ 为球面上四点， $M, N$ 分别是 $A B, C D$ 的中点，以 $M N$ 为直径的球称为 $A B, C D$ 的“伴随球”.若三棱锥 $A - B C D$ 的四个顶点均在表面积为 $100 π$ 的球面上，它的两条棱 $A B, C D$ 的长度分别为8和6，则 $A B, C D$ 的伴随球的体积的取值范围是（）

A、 $[\frac{π}{4}, \frac{343 π}{3}]$ B、 $[\frac{π}{4}, \frac{343 π}{6}]$ C、 $[\frac{π}{6}, \frac{343 π}{3}]$ D、 $[\frac{π}{6}, \frac{343 π}{6}]$

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15、已知函数 $f_{n} (x) = x^{n} + x + a$ ，其中 $n \in N$ 且 $n \geq 2, a < 0$ 且为常数.若对任意 $n \in N$ 且 $n \geq 2$ ， $y = f_{n} (x)$ 在 $(\frac{1}{2}, 1)$ 内均存在唯一零点，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- 1, 0)$ B、 $(- 1, - \frac{3}{4})$ C、 $(- 2, - \frac{3}{4})$ D、 $(- 2, - 1)$

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16、《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒､大寒､立春､雨水､惊蛰､春分､清明､谷雨､立夏､小满､芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，小寒､立春､惊蛰日影长之和为 $31.5$ 尺，前八个节气日影长之和为 $80$ 尺，则小满日影长为（）

A、1.5尺 B、3.5尺 C、5.5尺 D、7.5尺

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17、若直线 $l :$ $x - y + m^{2} - 6 = 0$ 平分圆 $C :$ $x^{2} + 2 m x + y^{2} + 4 = 0$ ，则实数 $m$ 的值为（）

A、 $- 2$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $- 2$ 或 $3$

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18、曲线 $f (x) = e^{x} - 3 x^{2}$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程为（）

A、 $x + y + 1 = 0$ B、 $x + y - 1 = 0$ C、 $x - y - 1 = 0$ D、 $x - y + 1 = 0$

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19、设 $α, β, γ$ 是三个不同平面，且 $α \cap γ = l, β \cap γ = m$ ，则 $α ∥ β$ 是 $l ∥ m$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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20、为了得到 $y = sin (5 x + \frac{π}{3})$ 的图象，只要将函数 $y = \sin 5 x$ 的图象（）

A、向左平移 $\frac{π}{15}$ 个单位长度 B、向右平移 $\frac{π}{15}$ 个单位长度 C、向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度 D、向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度

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对滑雪的喜爱情况	性别		合计
对滑雪的喜爱情况	男性游客	女性游客	合计
喜欢滑雪	60	35	95
不喜欢滑雪	40	65	105
合计	100	100	200

$α$	0.05	0.01	0.001
$x_{α}$	3.841	6.635	10.828