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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin 2 x + 2 \cos^{2} x - 1$ ．

(1)、若 $α \in (- \frac{π}{2}, 0)$ ，且 $f (\frac{α}{2}) = \frac{1}{2}$ ，求 $\cos (α + \frac{5 π}{12})$ 的值；

(2)、在锐角三角形中，若 $f (A) = 1$ ，求 $\sin B + \sin C$ 的取值范围；

(3)、设函数 $g (x) = (1 - \frac{a}{2}) f (x) + \frac{1}{2} \sin (4 x - \frac{π}{6}) + \frac{3}{2}$ ，若 $g (x) > 0$ 在区间 $[\frac{7 π}{12}, \frac{5 π}{6}]$ 上恒成立，求 $a$ 的取值范围．

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2、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的侧面 $P A D$ 是边长为2的正三角形，底面 $A B C D$ 为正方形，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $N$ 为线段 $A D$ 的中点．

(1)、求证： $P N ⊥ N C$ ；

(2)、求二面角 $D - P N - C$ 的正切值；

(3)、求异面直线 $P A$ 与 $N C$ 所成角的余弦值．

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3、已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，目 $a \sin B = 2 b \cos A$ ．

(1)、求 $\cos A$ 的值；

(2)、若 $a = 2 \sqrt{10}$ ， $b = 5$ ，求 $△ A B C$ 的面积；

(3)、若 $b = \sqrt{5}$ ， $c = 3$ ，求 $△ A B C$ 中 $B C$ 边上的中线长．

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4、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是菱形， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $E$ 为线段 $P D$ 的中点．

(1)、求证： $P B //$ 平面 $A E C$ ；

(2)、求证：平面 $P A C ⊥$ 平面 $P B D$

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5、已知向量 $\vec{a} = (1, 1)$ ， $\vec{b} = (1, 2)$ ．

(1)、求 $| \vec{a} + \vec{b} |$ 的值；

(2)、若向量 $k \vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{a} + \vec{b}$ 垂直，求 $k$ 的值；

(3)、若向量 $k a + b$ 与 $\vec{a} + \vec{b}$ 的夹角为锐角，求 $k$ 的取值范围．

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6、在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $B A = B C = B B_{1} = 1$ ， $P$ 是棱 $A C$ 上一动点，则三棱锥 $P - A_{1} B C_{1}$ 的体积为．

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7、某海警船在 $A$ 处看灯塔 $B$ 在它的北偏东 $75 °$ ，距离为 $3 \sqrt{6} n mile$ ，在 $A$ 处看灯塔 $C$ 在海警船的北偏西 $30 °$ ，距离为 $2 \sqrt{3} n mile$ ，海警船由 $A$ 处向正北航行到 $D$ 处时，再看灯塔 $B$ 在南偏东 $60 °$ ，则灯塔 $C$ 与 $D$ 处之间的距离为 $n mile$ ．

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8、若复数 $z = (m^{2} - 3 m) + (m^{2} - 5 m + 6) i$ 是纯虚数，则 $| z | =$ ．

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9、如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，M，N，P分别是线段 $C_{1} D_{1}$ ， $C_{1} C$ ， $A_{1} A$ 的中点，则下列说法正确的是（）

A、 $B_{1} N ⊥$ 平面 $A B N$ B、正方体的外接球的表面积为 $12 π$ ，体积为 $4 \sqrt{3} π$ C、平面 $B M P$ 截正方体所得截面的形状是五边形 D、若底面 $A B C D$ 内的动点 $Q$ （包含边界）满足 $D_{1} Q //$ 平面 $B M N$ ，则 $C Q \in [0, \sqrt{5}]$

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10、在 $△ A B C$ 中， $D$ ， $E$ 分别是线段 $B C$ 上的两个三等分点（ $D$ ， $E$ 两点分别靠近 $B$ ， $C$ 两点），则下列说法正确的是（）

A、 $\vec{A B} - \vec{A D} = \vec{A C} - \vec{A E}$ B、 $\vec{A B} = 2 \vec{A D} - \vec{A E}$ C、若 $| \vec{O A} | = | \vec{O B} | = | \vec{O C} | = 1$ ， $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = \vec{0}$ ，则 $\vec{A D} \cdot \vec{A E} = \frac{13}{6}$ D、若 $(\vec{A B} + \vec{A C}) ⊥ \vec{B C}$ ， $|\vec{A B} + \vec{A C}| = |\vec{A B} - \vec{A C}| = 2$ ，则 $\vec{A D} \cdot \vec{A E} = \frac{8}{9}$

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11、下列计算正确的是（）

A、 $\sin 75 ° \cos 15 ° + \cos 75 ° \sin 15 ° = 1$ B、 $\sin \frac{π}{8} \cos \frac{π}{8} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\cos^{2} \frac{π}{8} - \sin^{2} \frac{π}{8} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sin 45 °}{1 + \cos 45 °} = \tan 22.5 °$

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12、已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ （其中 $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $| φ | < \frac{π}{2}$ ）的部分图象如图所示，则下列说法错误的是（）

A、函数 $f (x)$ 的最小正周期是 $π$ B、函数 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{3}$ 对称 C、函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{7 π}{12}, 0)$ 对称 D、函数 $f (x)$ 在区间 $(\frac{3 π}{4}, π)$ 上单调递增

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13、已知梯形ABCO按斜二测画法得到的直观图为如图所示的梯形 $A^{'} B^{'} C^{'} O^{'}$ ，且 $A^{'} B^{'} = 1$ ， $O^{'} A^{'} = 2$ ， $O^{'} C^{'} = 4$ ，现将梯形ABCO绕OA旋转一周得到一个几何体，则该几何体的体积为（）

A、 $14 π$ B、 $25 π$ C、 $28 π$ D、 $42 π$

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14、已知m，n是空间中两条不同的直线， $α, β$ 是空间中两个不同的平面，则下列说法正确的是（）

A、若 $m ⊥ α$ ， $n ⊥ α$ ，则 $m // n$ B、若 $m // n$ ， $n \subset α$ ，则 $m / / α$ C、若 $α ⊥ β$ ， $m ⊥ α$ ，则 $m / / β$ D、若 $m ⊥ α$ ， $m ⊥ n$ ，则 $n // α$

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15、已知 $\tan α = \frac{4}{3}$ ，则 $\cos 2 α =$ （）

A、 $\frac{7}{25}$ B、 $- \frac{7}{25}$ C、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、 $- \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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16、已知非零向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = |\vec{b}|$ ，且 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $\frac{1}{2} \vec{b}$ ，则向量 $\vec{a}$ 与向量 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{2 π}{3}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{3}$

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17、将函数 $f (x) = \sin 2 x$ 的图象上所有的点向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，得到的图象所对应的函数的解析式为（）

A、 $y = \sin (2 x + \frac{π}{6})$ B、 $y = \sin (2 x + \frac{π}{3})$ C、 $y = \sin (2 x - \frac{π}{6})$ D、 $y = \sin (2 x - \frac{π}{3})$

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18、已知复数 $z$ 满足 $(1 + i) z = 1 - 2 i$ ，则复数 $z$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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19、平面向量 $\vec{a} = (m, 2)$ ， $\vec{b} = (- 2, 4)$ ，若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则 $m =$ （）

A、 $- 1$ B、1 C、 $- 2$ D、2

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20、已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 是不共线的向量，且 $\vec{A B} = \vec{a} + \vec{b}$ ， $\vec{A C} = m \vec{a} + 2 \vec{b}$ ， $\vec{C D} = 3 \vec{a} + 2 \vec{b}$ ，若B，C，D三点共线，则 $m =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{5}{2}$ D、 $\frac{7}{2}$

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