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相关试卷

1、已知向量 $\vec{a} = (\sqrt{2}, 1), \vec{b} = (cos θ, sin θ) (0 \leq θ \leq π)$ ，则下列命题正确的是（）

A、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $tan θ = \sqrt{2}$ B、若 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量为 $- \frac{\vec{a}}{2 |\vec{a}|}$ ，则向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{2 π}{3}$ C、存在 $θ$ ，使得 $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a}| + |\vec{b}|$ D、 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 的最大值为 $\sqrt{3}$

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2、已知函数 $f (x) = sin (x - \frac{π}{3})$ ，则（）

A、 $2 π$ 为 $f (x)$ 的一个周期 B、 $y = f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{4 π}{3}$ 对称 C、 $f (x + π)$ 的一个零点为 $\frac{π}{3}$ D、 $f (x)$ 在区间 $(\frac{π}{2}, π)$ 上单调递减

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3、函数 $f (x) = x \sin x - x - 1$ 在区间 $(0, + \infty)$ 上的零点个数为（）

A、无穷多个 B、4个 C、2个 D、0个

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4、已知 $\sin (α + \frac{π}{6}) = \frac{4}{5}$ ，则 $\sin (2 α - \frac{π}{6}) =$ （）

A、 $\frac{24}{25}$ B、 $- \frac{24}{25}$ C、 $\frac{7}{25}$ D、 $- \frac{7}{25}$

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5、某饮料厂生产 $A, B$ 两种型号的饮料，已知这两种饮料的生产比例分别为 $40 %, 60 %$ ，且这两种饮料中的碳酸饮料的比例分别为 $20 %, 80 %$ ，若从该厂生产的饮料中任选一瓶，则选到非碳酸饮料的概率约为（）

A、0.12 B、0.20 C、0.44 D、0.32

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6、2023年第19届亚运会在杭州举行，亚运会的吉祥物琮琮、莲莲、宸宸深受大家喜爱，某商家统计了最近5个月销量，如表所示：若y与x线性相关，且线性回归方程为 $\hat{y} = - 0.6 x + \hat{a}$ ，则下列说法不正确的是（）
时间x
1
2
3
4
5
销售量y/万只
5
4.5
4
3.5
2.5

A、由题中数据可知，变量y与x负相关 B、当 $x = 5$ 时，残差为0.2 C、可以预测当 $x = 6$ 时销量约为2.1万只 D、线性回归方程 $\hat{y} = - 0.6 x + \hat{a}$ 中 $\hat{a} = 5.7$

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7、设 $a = ln 1$ ， $b = {log}_{2} 3$ ， $c = 2^{\sqrt{2}}$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $b < c < a$ D、 $b < a < c$

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8、已知 $a > 0, b > 0$ ，设甲： $a - b > 1$ ，乙： $\sqrt{a} - \sqrt{b} > 1$ ，则（）

A、甲是乙的充分不必要条件 B、甲是乙的必要不充分条件 C、甲是乙的充要条件 D、甲是乙的既不充分也不必要条件

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9、集合 $A = \{x |2 \leq x < 4\} ， B = \{x |x - 1 \geq 8 - 2 x\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $[2, 4)$ B、 $[3, 4)$ C、 $[2, + \infty)$ D、 $[3, + \infty)$

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10、将连续正整数1，2， $\dots$ ， $n (n \in N^{*})$ 从小到大排列构成一个数 $123 \dots n$ ， $F (n)$ 为这个数的位数 $($ 如当 $n = 12$ 时，此数为123456789101112，共有15个数字， $F (12) = 15)$ ，现从这个数中随机取一个数字， $p (n)$ 为恰好取到0的概率.

(1)、求 $p (100) .$

(2)、当 $n \leq 2021$ 时，求 $F (n)$ 的表达式.

(3)、令 $g (n)$ 为这个数中数字0的个数， $f (n)$ 为这个数中数字9的个数， $h (n) = f (n) - g (n)$ ， $S = \{n | h (n) = 1, n \leq 100, n \in N^{*}\}$ ，求当 $n \in S$ 时 $p (n)$ 的最大值.

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11、如图，在四棱锥 $Q - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是正方形，侧面 $Q A D$ 是正三角形，面 $Q A D ⊥$ 面 $A B C D$ ， $M$ 是 $Q D$ 的中点.

(1)、求证： $Q B$ ∥平面 $A M C$ ；

(2)、求直线 $A C$ 与平面 $Q C D$ 所成角的正弦值；

(3)、在棱 $Q C$ 上是否存在点 $N$ 使平面 $B D N ⊥$ 平面 $A M C$ 成立？如果存在，求出 $\frac{Q N}{N C}$ 如果不存在，说明理由.

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12、为了研究学生每天总结整理数学错题情况，某课题组在我市中学生中随机抽取了100名学生调查了他们期中考试的数学成绩和平时总结整理数学错题情况，并绘制了下列两个统计图表，图1为学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，图2为学生一个星期内总结整理数学错题天数的扇形图.若本次数学成绩在110分及以上视为优秀，将一个星期有4天及以上总结整理数学错题视为“经常总结整理”，少于4天视为“不经常总结整理”.已知数学成绩优秀的学生中，经常总结整理错题的学生占70%.

数学成绩优秀
数学成绩不优秀
合计
经常总结整理

不经常总结整理

合计

(1)、根据图1、图2中的数据，补全表格；

(2)、求图1中m的值及学生期中考试数学成绩的第65百分位数；

(3)、抽取的100名学生中按“经常总结整理错题”与“不经常总结整理错题”进行分层抽样，随机抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2人进行座谈；求这2名同学均来自“经常总结整理错题”的概率.

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13、已知有下面三个条件：
① $S = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (\vec{A C} \cdot \vec{A B})$ ；② $\frac{a}{c} = \frac{\cos A + 1}{\sqrt{3} \sin C}$ ；③ $\frac{\sin B}{\sin C} + \frac{\sin C}{\sin B} = \frac{\sin^{2} A}{\sin B \sin C} + 1$ ；
请从这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答问题：在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且________.

(1)、求角A的大小；

(2)、若 $A D$ 是 $△ A B C$ 的角平分线，且 $b = 2$ ， $c = 3$ ，求线段 $A D$ 的长.

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14、在 $△ A B C$ 中，已知 $B C = 3$ ， $A C = 4$ ，点 $P$ 为线段 $B C$ 中点， $\vec{A Q} = \frac{2}{3} \vec{A B}$ ，设 $\vec{C B} = \vec{a}$ ， $\vec{C A} = \vec{b}$ .

(1)、用向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 表示 $\vec{C Q}$ ；

(2)、若 $∠ A C B = 90 °$ ，求 $\vec{A P} \cdot \vec{C Q}$ .

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15、如图，已知在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $F$ 为 $A_{1} C_{1}$ 的中点， $E$ 为棱 $B B_{1}$ 上的动点， $A A_{1} = 2$ ， $A B = 2$ ， $B C = 3 \sqrt{2}$ ， $A C = 4$ .当 $E$ 是棱 $B B_{1}$ 的中点，则三棱锥 $E - A B C$ 体积为；当三棱锥 $A_{1} - A E F$ 的外接球的半径最小时，直线 $E F$ 与 $A A_{1}$ 所成角的余弦值为.

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16、已知频率分布直方图如图所示，记其平均数为 $a$ ，中位数为 $b$ ，则 $a$ 与 $b$ 的大小关系为.

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17、甲、乙两人独立的解同一道题，甲、乙解对题的概率分别是 $\frac{2}{3}$ 、 $\frac{3}{5}$ ，那么恰好只有1人解对题的概率是.

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18、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，下列命题正确的是（）

A、若 $A = 60 °$ ， $a = 2$ ，则 $△ A B C$ 面积的最大值为 $\sqrt{3}$ B、若 $A = 60 °$ ， $a = 1$ ，则 $△ A B C$ 面积的最大值为 $\sqrt{3}$ C、若 $a = 2 \sqrt{3}$ ， $b = 4$ ，要使满足条件的三角形有且只有两个，则 $A \in (\frac{π}{6}, \frac{π}{3})$ D、若 $a + b = c (\cos A + \cos B)$ ，且 $c = 1$ ，则该三角形内切圆面积的最大值为 $\frac{3 - 2 \sqrt{2}}{4} π$

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19、设z为复数（i为虚数单位），下列命题正确的有（）

A、若 $(1 + i) z = - i$ ，则 $|z| = 1$ B、对任意复数 $z_{1}$ ， $z_{2}$ ，有 $|z_{1} z_{2}| = |z_{1}| \cdot |z_{2}|$ C、对任意复数 $z_{1}$ ， $z_{2}$ ，有 $\bar{z_{1} \cdot z_{2}} = \bar{z_{1}} \cdot \bar{z_{2}}$ D、在复平面内，若 $M = {z | |z - 2| \leq 2}$ ，则集合M所构成区域的面积为 $6 π$

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20、如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径 $2 R$ 相等，下列结论正确的是（）

A、圆柱的侧面积为 $4 π R^{2}$ B、圆锥的侧面积为 $\sqrt{5} π R^{2}$ C、圆柱的侧面积与球面面积相等 D、三个几何体的表面积中，球的表面积最小

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	数学成绩优秀	数学成绩不优秀	合计
经常总结整理
不经常总结整理
合计

时间x	1	2	3	4	5
销售量y/万只	5	4.5	4	3.5	2.5