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相关试卷

1、已知随机变量 $X$ 的分布列为 $P (X = i) = \frac{i}{a} (i = 1, 2, 3, 4)$ ，则 $P (2 \leq X < 4) =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{7}{10}$ D、 $\frac{9}{10}$

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2、已知函数 $f (x) = ln x - a x$ 在区间 $[1, 3]$ 上单调递减，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $a \geq 1$ B、 $a > 1$ C、 $a \geq \frac{1}{3}$ D、 $a > \frac{1}{3}$

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3、设某商场今年上半年月销售额 $y$ （万元）关于月份 $x (x = 1, 2,$ … $, 6)$ 的经验回归方程为 $\hat{y} = 1.2 x + a$ ，已知上半年的总销售额为 $120$ 万元，则该商场 $12$ 月份销售额预计为（）

A、 $24$ B、 $27.8$ C、 $30.2$ D、 $32$

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4、若 $A_{2 n}^{3} = 10 A_{n}^{3}$ ，则 $n =$ （）

A、7 B、8 C、9 D、10

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5、已知函数 $f (x) = x^{3} - x^{2} - x - 1$ .

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若关于 $x$ 的不等式 $f (x) - c \leq 0$ 在区间 $[- 1, 2]$ 上恒成立，求实数 $c$ 的取值范围.

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6、已知函数 $f (x) = a e^{2 x} + (a - 2) e^{x} - x$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线与两坐标轴围成的三角形面积；

(2)、讨论函数 $f (x)$ 的零点个数.

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7、2023年第三十一届世界大学生夏季运动会在成都举行，中国运动员在赛场上挥洒汗水､挑战极限､实现梦想.最终，中国代表团以103枚金牌､40枚银牌､35枚铜牌，总计178枚奖牌的成绩，位列金牌榜和奖牌榜双第一，激发了大学生积极进行体育锻炼的热情.已知甲､乙两名大学生每天上午､下午都各用半个小时进行体育锻炼，近50天选择体育锻炼项目情况统计如下：
体育锻炼项目情况
（上午，下午）
（足球，足球）
（足球，羽毛球）
（羽毛球，足球）
（羽毛球，羽毛球）
甲
20天

10天
乙
10天
10天
5天
25天
假设甲､乙在上午､下午选择体育锻炼的项目相互独立，用频率估计概率.已知甲上午锻炼选择羽毛球的条件下，下午锻炼仍选择羽毛球的概率为 $\frac{2}{3}$ .

(1)、请将表格内容补充完整（写出计算过程）；

(2)、记 $X$ 为甲､乙在一天中选择体育锻炼项目的个数之差的绝对值.求 $X$ 的分布列和数学期望 $E (X)$ ；

(3)、已知在这50天中上午室外温度在20度以下的概率为 $\frac{1}{3}$ ，并且当上午的室外温度低于20度时，甲去打羽毛球的概率为 $\frac{3}{5}$ ，若已知某天上午甲去打羽毛球，求这一天上午室外温度在20度以下的概率.

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8、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为矩形，点 $E$ 是棱 $P D$ 上的一点， $P B //$ 平面 $A E C$ .

(1)、求证：点 $E$ 是棱 $P D$ 的中点；

(2)、若 $P A ⊥$ 平面 $A B C D, A P = 2, A D = 2 \sqrt{3}, P C$ 与平面 $P A D$ 所成角的正切值为 $\frac{1}{2}$ ，求二面角 $A - C E - D$ 的余弦值.

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9、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $S_{n} = 2 a_{n} - 2 (n \in N^{*})$ ，公差 $d$ 不为0的等差数列 $\{b_{n}\}$ 中， $b_{1} = 3$ ，且 $b_{4}$ 是 $b_{2}$ 与 $b_{8}$ 的等比中项.

(1)、求数列 $\{a_{n}\}, \{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求数列 $\{a_{n} b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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10、近年来我国新能源汽车产业迅速发展，下表是某地区新能源乘用车的年销售量与年份的统计表：
年份 $x$
$2018$
$2019$
$2020$
$2021$
$2022$
销量 $y$ （万台）
$1.60$
$1.70$
$1.90$
$2.20$
$2.60$
某机构调查了该地区 $100$ 位购车车主的性别与购车种类情况，得到的部分数据如下表所示：

购置传统燃油车
购置新能源车
总计
男性车主
$35$

$60$
女性车主

$25$

总计

$100$

(1)、求新能源乘用车的销量 $y$ 关于年份 $x$ 的线性相关系数 $r$ ，并判断 $y$ 与 $x$ 之间的线性相关关系的强弱；（若 $|r| \in [0.75, 1]$ ，相关性较强；若 $|r| \in [0.30, 0.75)$ ，相关性一般；若 $|r| \in [0, 0.30)$ ，相关性较弱）

(2)、请将上述 $2 \times 2$ 列联表补充完整，根据小概率值 $α = 0.05$ 的独立性检验，分析购车车主购置新能源乘用车与性别是否有关系？
①参考公式：相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} \cdot \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}} \cdot \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} y_{i}^{2} - n {\bar{y}}^{2}}}$ ；
②参考数据： $\sqrt{6.6} \approx 2.6$ ；
③卡方临界值表：
$α$
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
$χ_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
其中 $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$ .

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11、已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + a x^{2} + b$ 在 $x = - 2$ 处有极值 $\frac{10}{3}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求 $f (x)$ 在 $[- 3, 3]$ 上的最大值和最小值.

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12、已知函数 $f (x) = \frac{x}{e^{x}}$ （ $e$ 是自然对数的底数），则函数 $f (x)$ 的最大值为；若关于 $x$ 的方程 ${[f (x)]}^{2} + 2 t f (x) + 2 t - 1 = 0$ 恰有3个不同的实数解，则实数 $t$ 的取值范围为.

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13、从4名男生和3名女生中选出4人去参加一项创新大赛，如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，则不同的选法种数为（用数字作答）.

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14、乡村振兴战略坚持农业农村优先发展，目标是按照产业兴旺､生态宜居､乡风文明､治理有效､生活富裕的总要求，建立健全城乡融合发展体制机制和政策体系，加快推进农业农村现代化.某乡镇通过建立帮扶政策，使得该乡镇财政收入连年持续增长，具体数据如表所示：
第 $x$ 年
1
2
3
4
5
收入 $y$ （单位：亿元）
3
8
10
14
15
由上表可得 $y$ 关于 $x$ 的近似回归方程为 $\hat{y} = 3 x + \hat{a}$ ，则第6年该乡镇财政收入预计为亿元.

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15、已知 $C_{n + 1}^{2} + A_{n}^{2} = 22$ ，则正整数 $n$ =.

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16、若函数 $f (x) = \ln x + a (x^{2} - 2 x + 1) (a \in R)$ 存在两个极值点 $x_{1}, x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，则（）

A、函数 $f (x)$ 至少有一个零点 B、 $a < 0$ 或 $a > 2$ C、 $x_{2} > \frac{1}{2}$ D、 $f (x_{1}) + f (x_{2}) > 1 - 2 ln 2$

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17、如图，棱长均为2的正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $M ､ N$ 分别是 $A B ､ B B_{1}$ 的中点，则（）

A、 $B_{1} C_{1}$ $∥$ 平面 $A_{1} C M$ B、 $A N ⊥ A_{1} C$ C、 $B_{1}$ 到平面 $A_{1} C M$ 的距离为 $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$ D、直线 $A_{1} M$ 与 $B_{1} C_{1}$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{10}$

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18、甲乙两种品牌的手表，它们的日走时误差分别为 $X$ 和 $Y$ （单位： $s$ ），其分布列为
甲品牌的走时误差分布列
$X$
$- 1$
0
1
$P$
0.1
0.8
0.1
乙品牌的走时误差分布列
$Y$
$- 2$
$- 1$
0
1
2
$P$
0.1
0.2
0.4
0.2
0.1
则下列说法正确的是（）

A、 $E (X) = E (Y)$ B、 $D (X) < D (Y)$ C、 $E (2 X + 1) = 1$ D、 $D (2 X + 1) = 1.8$

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19、已知二项式 ${(2 \sqrt{x} - \frac{3}{2 x})}^{n}$ 的展开式中各项系数之和是 $\frac{1}{64}$ ，则下列说法正确的是（）

A、展开式共有6项 B、二项式系数最大的项是第4项 C、展开式的常数项为540 D、展开式的有理项共有3项

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20、某人在 $n$ 次射击中击中目标的次数为 $X$ ，且 $X \sim B (n, 0.8)$ ，记 $P_{k} = P (X = k), k = 0, 1, 2, \dots, n$ ，若 $P_{7}$ 是唯一的最大值，则 $E (X)$ 的值为（）

A、5.6 B、6.4 C、7.2 D、8

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年份 $x$	$2018$	$2019$	$2020$	$2021$	$2022$
销量 $y$ （万台）	$1.60$	$1.70$	$1.90$	$2.20$	$2.60$

	购置传统燃油车	购置新能源车	总计
男性车主	$35$		$60$
女性车主		$25$
总计			$100$

$α$	0.10	0.05	0.010	0.005	0.001
$χ_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

第 $x$ 年	1	2	3	4	5
收入 $y$ （单位：亿元）	3	8	10	14	15

$X$	$- 1$	0	1
$P$	0.1	0.8	0.1

$Y$	$- 2$	$- 1$	0	1	2
$P$	0.1	0.2	0.4	0.2	0.1