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相关试卷

1、若 $(1 - i) z = 3 + i$ ，则复数 $z$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2、已知直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $A A_{1} B_{1} B$ 为正方形， $A B = B C = 2$ ， E，F分别为 $A C$ 和 $C C_{1}$ 的中点，D为棱 $A_{1} B_{1}$ 上的点． $B F ⊥ A_{1} B_{1}$
（1）证明： $B F ⊥ D E$ ；
（2）当 $B_{1} D$ 为何值时，面 $B B_{1} C_{1} C$ 与面 $D F E$ 所成的二面角的正弦值最小?

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3、所有非零向量构成的集合为 $V$ ，对于 $\vec{a}, \vec{b} \in V, \vec{a} \neq \vec{b}$ ，定义 $V (\vec{a}, \vec{b}) = \{\vec{m} \in V |\vec{m} \cdot \vec{a} = \vec{m} \cdot \vec{b}\}$ .

(1)、已知 $\vec{a} = (- 1, 2), \vec{b} = (1, 3)$ ，若 $\vec{m} \in V (\vec{a}, \vec{b})$ ，且 $|\vec{m}| = \sqrt{5}$ ，求 $\vec{m}$ ；

(2)、已知 $\vec{a} = (- 1, 2), \vec{b} = (1, 3)$ ，若 $\vec{m} = (\cos α, \sin α)$ ，且 $\vec{m} \in V (\vec{a}, \vec{b})$ ，求 $\frac{\vec{m} \cdot (2 \vec{a} + \vec{b})}{\vec{m} \cdot (2 \vec{b} - \vec{a})}$ ；

(3)、已知 $\vec{m} = (1, 1), \vec{a} = (2 - 2 \cos^{2} x, 1 + 2 \sqrt{3} \sin x \cos x), \vec{b} = (λ, 3)$ ，当 $\vec{m} \in V (\vec{a}, \vec{b})$ 时，若关于 $x$ 的方程有三个连续的实数根 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3}, x_{3} + 2 x_{1} = 3 x_{2}$ ，求实数 $λ$ 的值.

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4、如图1，在梯形 $A B C D$ 中， $B C = 2 A B = 2 A D = 2 \sqrt{2}$ ， $A B ⊥ A D$ ，将 $△ A B D$ 沿 $B D$ 翻折到 $△ P B D$ 如图2，使平面 $P B D ⊥$ 平面 $B D C$ .

(1)、求证： $P B ⊥$ 平面 $P D C$ ；

(2)、已知点 $M$ 为棱 $C D$ 上的点，若直线 $B M$ 与平面 $P C D$ 所成的角的正弦值为 $\frac{2 \sqrt{34}}{17}$ .
①求三棱锥 $P - B D M$ 的体积；
②过点 $M$ 作平面 $α$ ，使平面 $α / /$ 平面 $P B D$ ，求平面 $α$ 截三棱锥 $P - B C D$ 所得截面的面积.

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5、在 $△ A B C$ 中，角 $A 、 B 、 C$ 所对的边分别是 $a 、 b 、 c$ ， $△ A B C$ 的面积为 $S_{△ A B C}$ ，若 $a^{2} + b^{2} - c^{2} = \frac{4 \sqrt{3}}{3} S_{△ A B C}$ .

(1)、求角 $C$ ；

(2)、若 $c = 2 \sqrt{3}$ ，点 $M$ 是边 $A B$ 的中点，求 $C M$ 的最大值.

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6、深州蜜桃具有个头硕大、色泽鲜艳、肉质鲜嫩、口味香甜的特点，在历史上一直备受推崇和喜爱.每个桃子的质量约6、7两，最大的可有1斤2两，被称为“桃中之魁”.如今，深州市大力倡导恢复古法种植技术，蜜桃种植户小李现在老树上有6000个蜜桃，新树上有4000个蜜桃，为了测蜜桃的质量，从新树上随机摘了8个蜜桃，从老树上随机摘了12个蜜桃，经称量，这8个新树上的蜜桃的质量（单位：克）依次为：310、446、480、441、451、510、475、407.

(1)、求这8个蜜桃质量的平均数与方差；

(2)、经检测12个老树上的蜜桃的质量的平均数为440，方差为3882，计算总样本的平均数与方差；

(3)、小李按新树与老树上的蜜桃个数用分层抽样随机取了5个蜜桃，然后再从这5个蜜桃中随机拿出两个让顾客品尝，求拿出的两个蜜桃至少有1个是新树上的蜜桃的概率.

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7、某乡镇企业2024年1～4月份生产的产品产量 $x (1000 x \in N)$ （单位：千件）与收益 $y$ （单位：万元）的统计数据如下表：
月份
$1$
$2$
$3$
$4$

产品产量 $x /$ 千件
$1$
$3$
$7$
$15$
…
收益 $y /$ 万元
$1$
$2$
$3$
$4$
…
已知 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ，给出以下4个函数模型：① $y = - a x + b$ ；② $y = b a^{x}$ ；③ $y = - x^{2} - a x + b$ ；④ $y = \log_{a} (x + b)$ .

(1)、选择一个恰当的函数模型来描述 $x$ ， $y$ 之间的关系，并求出其解析式；

(2)、已知该乡镇企业由于场地小，最多只能生产500千件，否则需要搬迁，现镇政府想使该企业的收益在10万元以上（含10万元），此企业是否应搬迁？

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8、已知复数 $z_{1} = - m + (4 - m) i (m \in R)$ ， $z_{2} = 2 sin θ + (\frac{2}{sin θ} - λ) i (λ \in R, θ \in (π, 2 π))$ 并且 ${\bar{z}}_{1} = z_{2}$ ，则 $λ$ 的最大值为，此时 $z_{1}$ 的实部为.

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9、若一个正四棱柱的表面积为64，高为2，则该正四棱柱的外接球的体积为.

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10、某中学高一年级有400人，高二年级有600人，高三年级有500人，若用分层抽样在该中学抽取容量为60的样本，则应从高三年级抽取人.

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11、在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $F$ 是正方形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 内一动点（包括边界），则（）

A、 $A C_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} B D$ B、若 $C F = \sqrt{5}$ ，则点 $F$ 的轨迹长度为 $\frac{π}{2}$ C、若 $C F / /$ 平面 $A_{1} B D$ ，则点 $F$ 的轨迹长度是 $4 \sqrt{2}$ D、当点 $Q$ 在直线 $A_{1} B$ 上运动时， $D Q + C_{1} Q$ 的最小值是 $2 \sqrt{6}$

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12、欧拉公式 $e^{x i} = cos x + isin x$ 是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，下列说法中正确的是（）

A、 $\sqrt{2} e^{\frac{π}{4} i} \times 3 i = - 3 + 3 i$ B、 $e^{3 πi} < 0$ C、 $e^{4 i}$ 在复平面内对应的点位于第四象限 D、 $|\frac{2 e^{(x + 5) i}}{\sqrt{2} - \sqrt{2} i}| = 1$

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13、掷两枚质地均匀的骰子，设 $M =$ “第一枚出现的点数大于3”， $N =$ “第一枚出现的点数小于3”， $S =$ “第一枚出现的点数小于4”， $Q =$ “第二枚出现的点数小于5”，则（）

A、 $P (M \cup N) = 1$ B、 $P (M \cup S) = 1$ C、 $P (N Q) = \frac{2}{9}$ D、 $P (M \cup Q) = \frac{5}{6}$

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14、在中国文化中，八边形常常被看作是四平八稳、镇宅保平安的象征.比如，八角楼、八角塔、八边花窗、八角门环和八遍园林门径等，都有着这样的寓意.如图，在边长为 $2 \sqrt{2 - \sqrt{2}}$ 的正八边形 $A B C D E F G H$ 中，若 $△ B E H$ 内的一点 $P$ 满足 $∠ E P H = ∠ B P H = ∠ B P E = \frac{2π}{3}$ ，则 $\vec{P E} \cdot \vec{P H} + \vec{P B} \cdot \vec{P H} + \vec{P B} \cdot \vec{P E} =$ （）

A、 $- \frac{4 (\sqrt{3} + \sqrt{6})}{3}$ B、 $- \frac{4 (\sqrt{3} - \sqrt{6})}{3}$ C、 $- \frac{4 (\sqrt{3} + 2 \sqrt{6})}{3}$ D、 $- 4 (\sqrt{3} + \sqrt{6})$

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15、正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $B C = 2, A A_{1} = 3$ ，则二面角 $A - B D - C_{1}$ 的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{22}}{22}$ B、 $\frac{\sqrt{22}}{11}$ C、 $- \frac{\sqrt{22}}{22}$ D、 $- \frac{\sqrt{22}}{11}$

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16、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D, A D / / B C, A B ⊥ B C$ ， $A B = 4, P A = 5, B C = 2$ ，则异面直线 $P C$ 与 $A D$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{5}}{15}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{9}{10}$

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17、已知向量 $\vec{a} = (- 1, 2), \vec{b} = (λ, 1)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $cos ⟨ 3 \vec{a} + \vec{b}, \vec{a} - 2 \vec{b} ⟩ =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{10}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{8}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{5}$ D、 $\frac{2 \sqrt{2}}{5}$

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18、已知 $a, b, c$ 是三条直线， $α, β$ 是两个平面，则 $a ⊥ α$ 的一个充分条件是（）

A、 $a ⊥ b, a ⊥ c, b \subset α, c \subset α$ B、 $α ⊥ β, α \cap β = b, c \subset α, a ⊥ b, a ⊥ c$ C、 $α ⊥ β, α / / β$ D、 $a / / b, b / / c, c ⊥ β, α ∥ β$

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19、若复数 $z = m^{2} - 2 m - 3 + i (m^{2} - 3 m - 4) (m \in R)$ 为纯虚数，则 $(z + 3 + 5 i) (1 + i)$ 的虚部为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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20、某学校高三体检时将学生分为10人一组，测得其中一组的心率依次为61、64、65、62、61、74、62、62、70、78，则这组数据的第70百分位数是（）

A、65 B、67 C、67.5 D、70

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月份	$1$	$2$	$3$	$4$
产品产量 $x /$ 千件	$1$	$3$	$7$	$15$	…
收益 $y /$ 万元	$1$	$2$	$3$	$4$	…