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相关试卷

1、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $b sin A = \sqrt{3} a cos B, ∠ A B C$ 的平分线交 $A C$ 于点 $D$ ，且 $B D = \sqrt{3}$ ，则 $a + 2 c$ 的最小值是（）

A、4 B、6 C、 $2 + 2 \sqrt{2}$ D、 $3 + 2 \sqrt{2}$

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2、已知 $m + e^{m} = e, n + 3^{n} = e$ ，则（）

A、 $1 < n < m < e$ B、 $1 < m < n < e$ C、 $0 < n < m < 1$ D、 $0 < m < n < 1$

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3、中国南北朝时期数学家､天文学家祖冲之､祖暅父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作，提出“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高.详细点说就是，夹在两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.上述原理在中国被称为祖暅原理.如图，一个上底面边长为1，下底面边长为2，高为 $3 \sqrt{3}$ 的正六棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为（）

A、24 B、 $24 \sqrt{3}$ C、 $27 \sqrt{3}$ D、 $\frac{63}{2}$

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4、已知函数 $y = x^{2} + (1 + m) x + 2$ 在区间 $(- \infty, 4]$ 上单调递减，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - 9]$ B、 $[3, + \infty)$ C、 $(- \infty, - 5]$ D、 $[7, + \infty)$

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5、在平行四边形 $A B C D$ 中，点 $E$ 满足 $\vec{A E} = \frac{1}{3} \vec{A C}$ ，则 $\vec{B E} =$ （）

A、 $\frac{2}{3} \vec{A B} - \frac{1}{3} \vec{A D}$ B、 $\vec{A B} - \frac{1}{3} \vec{A D}$ C、 $- \frac{2}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A D}$ D、 $- \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A D}$

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6、设 $x \in R$ ，则“ $x = \frac{π}{2}$ ”是“ $cos x = 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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7、已知由小到大排列的4个数据 $1, 3, 4, a$ 的极差是它们中位数的2倍，则 $a =$ （）

A、5 B、6 C、7 D、8

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8、已知 $z = (3 + i) (2 - i)$ ，则 $z$ 的虚部为（）

A、 $- i$ B、 $- 1$ C、 $7 i$ D、7

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9、在空间解析几何中，可以定义曲面（含平面） $S$ 的方程，若曲面 $S$ 和三元方程 $F (x, y, z) = 0$ 之间满足：①曲面 $S$ 上任意一点的坐标均为三元方程 $F (x, y, z) = 0$ 的解；②以三元方程 $F (x, y, z) = 0$ 的任意解 $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ 为坐标的点均在曲面 $S$ 上，则称曲面 $S$ 的方程为 $F (x, y, z) = 0$ ，方程 $F (x, y, z) = 0$ 的曲面为 $S$ .已知空间中某单叶双曲面 $C$ 的方程为 $\frac{x^{2}}{1} + \frac{y^{2}}{1} - \frac{z^{2}}{4} = 1$ ，双曲面 $C$ 可视为平面 $x O z$ 中某双曲线的一支绕 $z$ 轴旋转一周所得的旋转面，已知直线 $l$ 过C上一点 $Q (1, 1, 2)$ ，且以 $d = (- 2, 0, - 4)$ 为方向向量.

(1)、指出 $x O y$ 平面截曲面 $C$ 所得交线是什么曲线，并说明理由；

(2)、证明：直线 $l$ 在曲面 $C$ 上；

(3)、若过曲面 $C$ 上任意一点，有且仅有两条直线，使得它们均在曲面 $C$ 上.设直线 $l^{'}$ 在曲面 $C$ 上，且过点 $T (\sqrt{2}, 0, 2)$ ，求异面直线 $l$ 与 $l^{'}$ 所成角的余弦值.

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10、由 $m n$ 个小正方形构成长方形网格有 $m$ 行和 $n$ 列.每次将一个小球放到一个小正方形内，放满为止，记为一轮.每次放白球的频率为 $p$ ，放红球的概率为q， $p + q = 1$ .

(1)、若 $m = 2$ ， $p = q = \frac{1}{2}$ ，记 $y$ 表示100轮放球试验中“每一列至少一个红球”的轮数，统计数据如表：
n
1
2
3
4
5
y
76
56
42
30
26
求y关于n的回归方程 $\ln \hat{y} = \hat{b} n + \hat{a}$ ，并预测 $n = 10$ 时，y的值；（精确到1）

(2)、若 $m = 2$ ， $n = 2$ ， $p = \frac{1}{3}$ ， $q = \frac{2}{3}$ ，记在每列都有白球的条件下，含红球的行数为随机变量 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望；

(3)、求事件“不是每一列都至少一个红球”发生的概率，并证明： ${(1 - p^{m})}^{n} + {(1 - q^{n})}^{m} \geq 1$ .
附：经验回归方程系数： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{k} x_{i} y_{i} - k \bar{x} \cdot \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{k} x_{i}^{2} - k {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ， $\sum_{i = 1}^{5} n_{i} \cdot \ln y_{i} = 53$ ， $\bar{\ln y} = 3.8$ .

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11、已知函数 $f (x) = x \ln x - x ， g (x) = a \ln x - x^{2} + 1$ .

(1)、求 $f (x)$ 的最小值；

(2)、若 $g (x) \leq 0$ 在区间 $(0, + \infty)$ 内恒成立，求实数 $a$ 的值.

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12、已知函数 $f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{4})$ ( $ω > 0$ )，点A是 $f (x)$ 图像上的一个最高点，B、C为 $f (x)$ 图像的两个对称中心， $△ A B C$ 面积的最小值为 $π$ ．

(1)、求 $ω$ 的值；

(2)、 $f (x)$ 在区间 $[0, m]$ 上有20个极值点，求实数m的取值范围．

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13、已知双曲线 $M : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}, △ A B C$ 的三个顶点都在 $M$ 上，且直线 $B C$ 过原点，直线 $A C, A B$ 斜率的乘积为3，则双曲线 $M$ 的离心率为．

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14、若 $(x^{2} + 1) \cdot {(x - 1)}^{8} = a_{0} + a_{1} (x - 2) + a_{2} {(x - 2)}^{2} + \dots + a_{10} {(x - 2)}^{10}$ ，则 $a_{0} + a_{1} + a_{2} + \dots + a_{10} =$ .

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15、甲､乙两同学参加普法知识对抗赛，规则如下：每轮由其中一人从题库中随机抽取一题回答.若回答正确，得1分，且此人继续答题；若回答错误，得0分，同时换成对方进行下一轮答题.据经验统计，甲､乙每次答题正确的概率分别是 $\frac{1}{2}$ 和 $\frac{2}{3}$ ，且第1题通过抛掷硬币决定由谁作答.设第 $n$ 次答题者是甲的概率为 $P_{n}$ ，第 $n$ 次回答问题结束后甲的得分为 $K_{n}$ ，则（）

A、 $P_{2} = \frac{1}{4}$ B、 $P (K_{1} = 0) = \frac{3}{4}$ C、 $P_{n + 1} = \frac{1}{6} P_{n} + \frac{1}{3}$ D、 $P (K_{n} = n) = \frac{1}{2^{n + 1}}$

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16、已知三棱锥 $V - A B C, V A = V B = V C, △ A B C$ 是边长为2的正三角形， $D, E$ 分别是 $V A, A B$ 的中点， $∠ C D E = 90 °, V$ 在平面 $A B C$ 内的投影为点 $M, M$ 在平面 $V A B$ 内的投影为点 $P$ ．（）

A、 $V A, V B, V C$ 两两垂直 B、 $P$ 在平面 $V A C$ 的投影为 $V A$ 的中点 C、 $C, M, E$ 三点共线 D、形如三棱锥 $V - A B C$ 的容器能被整体装入一个直径为2.5的球

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17、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的公差大于0且 $a_{1} + a_{6} = 4 a_{2}$ ，若 $\sum_{k = 1}^{24} \frac{1}{\sqrt{a_{k + 1}} + \sqrt{a_{k}}} = 6$ ，则 $a_{5} =$ （）

A、 $\frac{13}{4}$ B、 $\frac{9}{4}$ C、 $\frac{7}{4}$ D、 $\frac{5}{4}$

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18、记 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，若 $B = \frac{2}{3} π, b = 6, a^{2} + c^{2} = 3 a c$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $\frac{9 \sqrt{3}}{4}$ B、 $\frac{9}{4}$ C、 $\frac{9 \sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{9}{2}$

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19、如图，二面角 $α - l - β$ 等于 $120 °$ ， $A 、 B$ 是棱 $l$ 上两点， $B D 、 A C$ 分别在半平面 $α 、 β$ 内， $A C ⊥ l$ ， $B D ⊥ l$ ，且 $A B = A C = B D = 2$ ，则 $C D$ 的长等于（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、4 D、2

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20、若一个四位数的各个数位上的数子之和为3，则这样的四位数个数为（）

A、10 B、12 C、15 D、20

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