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相关试卷

1、下列函数中，存在极值点的是（）

A、 $y = x - \frac{1}{x}$ B、 $y = - 2 x^{3} - x$ C、 $y = x ln x$ D、 $y = x sin x$

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2、已知函数 $f (x) = x^{α} (x > 0)$ ， $α$ 为实数， $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，在同一直角坐标系中， $f (x)$ 与 $f^{'} (x)$ 的大致图象不可能是（）

A、 B、 C、 D、

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3、某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度（支持与不支持）的关系，运用 $2 \times 2$ 列联表进行独立性检验.整理所得数据后发现，若依据 $α = 0.010$ 的独立性检验，则认为学生性别与是否支持该活动无关；若依据 $α = 0.025$ 的独立性检验，则认为学生性别与是否支持该活动有关，则 $χ^{2}$ 的值可能为（）
附表：
$α$
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

A、4.238 B、4.972 C、6.687 D、6.069

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4、若函数 $f (x) = e^{x} - k ln x$ 在区间 $(1 ， e)$ 上是增函数，则实数 $k$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty ， 0]$ B、 $(- \infty ， \frac{1}{e}]$ C、 $(- \infty ， e]$ D、 $(- \infty ， e^{e}]$

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5、画 $n$ 条直线，将圆的内部区域最多分割成（）

A、 $\frac{n^{2} + 2 n + 1}{2}$ 部分 B、 $\frac{n^{2} + n + 2}{2}$ 部分 C、 $\frac{n^{2} + 3 n}{2}$ 部分 D、 $\frac{n^{2} - n + 4}{2}$ 部分

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6、已知一组成对数据 $(x_{i}, y_{i}) (i = 1, 2, \dots, 6)$ 中y关于x的一元非线性回归方程 $y = b x^{2} + 1$ ，已知 $\sum_{i = 1}^{6} x_{i}^{2} = 12, \sum_{i = 1}^{6} x_{i} = 4, \sum_{i = 1}^{6} y_{i} = 18$ ，则 $b =$ （）

A、 $- 1$ B、1 C、 $- \frac{9}{2}$ D、 $\frac{9}{2}$

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7、在日常生活中，许多现象都服从正态分布.若 $X \sim N (μ, σ^{2})$ ，记 $p_{1} = P (μ - σ < X < μ + σ)$ ， $p_{2} = P (μ - 2 σ < X < μ + 2 σ)$ ， $p_{3} = P (μ - 3 σ < X < μ + 3 σ)$ ，经统计，某零件的尺寸大小 $X$ （单位：dm）从正态分布 $N (30, 25)$ ，则 $P (X > 40) =$ （）

A、 $1 - \frac{p_{1}}{2}$ B、 $1 - \frac{p_{2}}{2}$ C、 $\frac{1 - p_{2}}{2}$ D、 $\frac{1 - p_{3}}{2}$

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8、已知随机变量 $ξ$ 的分布列如下表：
$ξ$
1
2
3
$P$
$a$
$b$
$a$
则 $E (ξ) =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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9、等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = - 1, a_{4} = 8$ ，则 $\{a_{n}\}$ 的公差 $d =$ （）

A、3 B、2 C、 $- 2$ D、 $- 3$

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10、“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出的，该问题是“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小."意大利数学家托里拆利给出了解答，当 $△ A B C$ 的三个内角均小于 $\frac{2 π}{3}$ 时，使得 $∠ A O B = ∠ B O C = ∠ C O A = \frac{2 π}{3}$ 的点 $O$ 即为费马点；当 $△ A B C$ 有一个内角大于或等于 $\frac{2 π}{3}$ 时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $sin (A + \frac{π}{3}) = \frac{1}{2}$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、设点 $P$ 为 $△ A B C$ 的费马点，若 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} + \vec{P B} \cdot \vec{P C} + \vec{P C} \cdot \vec{P A} = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，求 $b^{2} + c^{2}$ 的最小值；

(3)、设点 $P$ 为 $△ A B C$ 的费马点， $P B + P C = t P A$ ，求实数 $t$ 的取值范围.

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11、已知 $f (x) = \frac{x^{2} + 1}{a x + b}$ 是定义域上的奇函数，且 $f (1) = 2$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、判断并用定义证明 $f (x)$ 在区间 $(0, + \infty)$ 上的单调性；

(3)、设函数 $h (x) = x^{2} + \frac{1}{x^{2}} - 2 t \cdot f (x) (t < 0)$ ，若对任意的 $x_{1}, x_{2} \in [\frac{1}{2}, 1]$ ， $|h (x_{1}) - h (x_{2})| \leq \frac{15}{4}$ ，求实数 $t$ 的最小值.

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12、某校举办“奋进新征程，建功新时代”知识能力测评，共有1000名学生参加，随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成4组： $[60, 70), [70, 80), [80, 90), [90, 100]$ ，并整理得到如下频率分布直方图：

(1)、用分层随机抽样的方法从 $[80, 90), [90, 100]$ 这两个区间共抽取5名学生，则每个区间分别应抽取多少人？

(2)、在（1）的条件下，该校决定在这5名学生中随机抽取2名依次进行交流分享，求第二个交流分享的学生成绩在区间 $[80, 90)$ 的概率；

(3)、现需根据学生成绩制定评价标准，评定成绩较高的前70%的学生为良好，请根据频率分布直方图估计良好的最低分数线.（精确到1）

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13、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为平行四边形， $△ P C D$ 为等边三角形，平面 $P A C ⊥$ 平面 $P C D, C D = 2, A D = 3$ .

(1)、设 $G, H$ 分别为 $P B, A C$ 的中点，证明： $G H //$ 平面 $P A D$ ；

(2)、求直线 $A D$ 与平面 $P A C$ 所成角的正切值.

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14、记 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，已知 $a^{2} + b^{2} - a b = c^{2}$ .

(1)、求 $C$ ；

(2)、若 $sin A = \frac{1}{7}$ ，求 $sin B$ .

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15、一个三棱锥形木料 $P - A B C$ ，其中底面 $△ A B C$ 是 $A = 90^{\circ}, A B = 2 dm$ 的等腰直角三角形， $P A ⊥$ 底面 $A B C$ ，二面角 $P - B C - A$ 的大小为 $45^{\circ}$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 的外接球表面积为 ${dm}^{2}$ .

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16、若函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} 3^{a} - x, x \leq 2, \\ {log}_{2} x, x > 2 \end{array}$ 的值域为 $(1, + \infty)$ ，则实数 $a$ 的取值范围为.

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17、已知集合 $A = \{- 1, 0\}, B = \{y ∣ y = 2 x, x \in A\}$ ，则 $A \cup B$ 的所有元素之和为.

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18、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且 $f (1) = 0$ ，若 $f (x + y) = f (x) + f (y) + 2$ ，则（）

A、 $f (- 2) = - 6$ B、 $f (1013) = 2024$ C、 $f (x)$ 有最大值 D、函数 $f (x) + 2$ 是奇函数

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19、已知函数 $f (x) = sin x cos x - \sqrt{3} {cos}^{2} x + \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $\frac{π}{2}$ B、 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{2 π}{3}, 0)$ 成中心对称 C、 $f (x)$ 在区间 $[0, \frac{π}{3}]$ 上单调递增 D、若 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = x_{0}$ 对称，则 $cos 2 x_{0} = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

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20、已知向量 $\vec{a} = (1, 3), \vec{b} = (- 2, 1)$ ，则（）

A、 $|\vec{b}| = \sqrt{5}$ B、 $(\vec{a} - \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ C、 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量的模为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为钝角

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$α$	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

$ξ$	1	2	3
$P$	$a$	$b$	$a$