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1、下列命题中错误的是（）

A、棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形 B、以圆的直径所在直线为旋转轴，将圆面旋转180度形成的旋转体叫球 C、棱台的各条侧棱所在直线一定相交于一点 D、用一个面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫棱台

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2、在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $B = 2 C$ ， $b = \sqrt{2} a$ ，则（）

A、 $△ A B C$ 为直角三角形 B、 $△ A B C$ 为锐角三角形 C、 $△ A B C$ 为钝角三角形 D、 $△ A B C$ 的形状无法确定

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3、在 $(a x - 1) {(2 x - 1)}^{3}$ 的展开式中，若各项系数和为0，则 $a =$ .

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4、当药品 $A$ 注射到人体内，它在血液中的残余量会以每小时25%的速度减少.

(1)、按照医嘱，护士给患者甲注射了 $a mg$ 药品 $A$ 两小时后，患者甲血液中药品 $A$ 的残存量为 $225 mg$ ，求 $a$ 的值；

(2)、另一种药物 $B$ 注射到人体内，它在血液中的残余量会以每小时10%的速度减少.如果同时给两位患者分别注射 $800 mg$ 药品 $A$ 和 $500 mg$ 药品 $B$ ，请你计算注射后几个小时两位患者体内两种药品的残余量恰好相等.（第（2）问计算结果保留2位小数）
参考值： $\lg 2 = 0.301$ ， $\lg 3 = 0.477$ .

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5、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，若 $B = \frac{π}{3}$ ， $b^{2} = \frac{9}{4} a c$ ，则 $sin A + sin C =$ （）

A、 $\frac{2 \sqrt{39}}{13}$ B、 $\frac{\sqrt{39}}{13}$ C、 $\frac{\sqrt{7}}{2}$ D、 $\frac{3 \sqrt{13}}{13}$

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6、若函数 $f (x)$ 的定义域为R，且 $f (x + y) + f (x - y) = 2 f (x) f (y), f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$

(1)、求 $f (0)$ 的值，并证明函数 $f (x)$ 是偶函数；

(2)、判断函数 $f (x)$ 是否为周期函数并说明理由，求出 $f (- 2024) + f (2024)$ 的值

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7、已知函数 $f (x) = sin x cos x + \sqrt{3} {sin}^{2} x - \frac{\sqrt{3}}{2}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期及单调递减区间；

(2)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{4}, \frac{π}{4}]$ 上的最大值、最小值．

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8、（1）计算 $\tan 70 ° \cos 10 ° (\sqrt{3} \tan 20 ° - 1)$ ．
（2）已知 $cos α = \frac{1}{7}, cos (α + β) = - \frac{11}{14}$ ，且 $α, β \in [0, \frac{π}{2}]$ ，求 $β$ 的值．

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9、（1）计算 ${(2 \frac{7}{9})}^{\frac{1}{2}} - {(\sqrt[3]{5})}^{- 3} + {log}_{2} \sqrt[3]{2} + e^{ln 3}$ ．
（2）某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不得超过 $0.1 %$ ，而这种溶液最初的杂质含量为 $3 %$ ，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少 $\frac{1}{3}$ ，求使产品达到市场要求的过滤的最少次数（参考数据： $lg 2 \approx 0.301, lg 3 \approx 0.477$ ）．

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10、已知集合 $A = \{x |1 \leq x \leq 5\}$ ，集合 $B = \{x |1 + m \leq x \leq 2 - m\}$ ．

(1)、若 $m = - 1$ ，求 $A \cup ∁_{R} B$ ；

(2)、若集合 $A, B$ 满足条件：① $A \cup B = B$ ；② $A \cap B = A$ ；③ $x \in A$ 是 $x \in B$ 的必要条件．从以上三个条件中任选一个，求实数 $m$ 的取值范围．

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11、我们知道，函数 $y = f (x)$ 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f (x)$ 为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数 $y = f (x)$ 的图象关于点 $P (a, b)$ 成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f (x + a) - b$ 为奇函数，函数 $f (x) = x^{3} - 6 x^{2}$ 图象的对称中心为.

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12、如图某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数 $y = A cos (ω x + φ) + b (A > 0, ω > 0, |φ| < π)$ ，则（）

A、 $ω = \frac{π}{8}$ B、 $A = 20$ C、 $φ = \frac{π}{4}$ D、这段曲线的解析式是 $y = 20 cos (\frac{π}{8} x + \frac{π}{4}) + 10$

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13、设函数 $f (x) = ln |x| - \frac{1}{x^{2}}$ ，则使得 $f (2 x) > f (x - 3)$ 成立的 $x$ 的取值范围是（）

A、 $(- 3, + \infty)$ B、 $(- \infty, - 3) \cup (1, + \infty)$ C、 $(- 3, 1)$ D、 $(- \infty, - 3)$

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14、记集合 $S = \{\{a_{n}\} |$ 无穷数列 $\{a_{n}\}$ 中存在有限项不为零， $n \in N *\}$ ，对任意 $\{a_{n}\} \in S$ ，设变换 $f (\{a_{n}\}) = a_{1} + a_{2} x + \dots + a_{n} x^{n - 1} + \dots$ ， $x \in R$ ．定义运算 $\otimes$ ：若 $\{a_{n}\}, \{b_{n}\} \in S$ ，则 $\{a_{n}\} \otimes \{b_{n}\} \in S$ ， $f (\{a_{n}\} \otimes \{b_{n}\}) = f (\{a_{n}\}) \cdot f (\{b_{n}\})$ ．

(1)、若 $\{a_{n}\} \otimes \{b_{n}\} = \{m_{n}\}$ ，用 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, b_{1}, b_{2}, b_{3}, b_{4}$ 表示 $m_{4}$ ；

(2)、证明： $(\{a_{n}\} \otimes \{b_{n}\}) \otimes \{c_{n}\} = \{a_{n}\} \otimes (\{b_{n}\} \otimes \{c_{n}\})$ ；

(3)、若 $a_{n} = \{\begin{cases} \frac{{(n + 1)}^{2} + 1}{n (n + 1)}, 1 \leq n \leq 100 \\ 0, n > 100 \end{cases}$ ， $b_{n} = \{\begin{cases} {(\frac{1}{2})}^{203 - n}, 1 \leq n \leq 500 \\ 0, n > 500 \end{cases}$ ， $\{d_{n}\} = \{a_{n}\} \otimes \{b_{n}\}$ ，证明： $d_{200} < \frac{1}{2}$ ．

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15、如图，在四棱锥 $E - A B C D$ 中，底面ABCD为平行四边形， $△ E A B$ 为等边三角形， $∠ A B C = 60 °$ ， $B C = C E = 2 A B$ ， $\vec{E F} = λ \vec{A B} + μ \vec{A D} (μ > 0)$ ， $E F = \frac{\sqrt{7}}{4} B C$ .

(1)、求证： $E B ⊥ A C$ ；

(2)、若 $F D = F C$ ，
①判断直线 $E F$ 与直线 $B C$ 的位置关系，并说明理由；
②求平面 $A B E$ 与平面 $F C D$ 的夹角.

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16、已知椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，离心率为 $\frac{2}{3}$ ， $P$ 为椭圆 $E$ 上的一点，且 $△ P F_{1} F_{2}$ 的内切圆半径最大值为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ .

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、直线 $l$ ： $y = k (x - 1)$ 交椭圆 $E$ 于 $P$ ， $Q$ 两点， $∠ P F_{2} Q$ 的角平分线所在的直线与直线 $x = 9$ 交于点 $M$ ，记直线 $O M$ 的斜率为 $k^{'}$ ，试问 $k \cdot k^{'}$ 是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由.

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17、美化环境，建设美好家园，大家一直在行动.现有一个直角三角形的绿地， $∠ C = 90 °$ ，计划在 $△ M N C$ 区域建设一个游乐场，其中 $A C = 5$ 米， $B C = 5 \sqrt{3}$ 米， $∠ M C N = 30 °$ .

(1)、若 $A M = 4$ 米，求 $△ M N C$ 的周长；

(2)、设 $∠ A C M = θ$ ，求游乐场区域 $△ M N C$ 面积的最小值，并求出此时 $θ$ 的值.

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18、平面上一系列点 $A_{1} (x_{1}, y_{1}), A_{2} (x_{2}, y_{2}), \cdot \cdot \cdot, A_{n} (x_{n}, y_{n}), \cdot \cdot \cdot$ ，其中 $A_{1} (1, 2), y_{n} > y_{n + 1} > 0$ ，已知 $A_{n}$ 在曲线 $y^{2} = 4 x$ 上，圆 $A_{n} : {(x - x_{n})}^{2} + {(y - y_{n})}^{2} = r_{n}^{2}$ 与y轴相切，且圆 $A_{n}$ 与圆 $A_{n + 1}$ 外切，则 $A_{3}$ 的坐标为；记 $b_{n} = y_{n} y_{n + 1}$ ，则数列 $\{b_{n}\}$ 的前6项和为．

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19、已知 $C_{n}^{0} + 2 C_{n}^{1} + 2^{2} C_{n}^{2} + 2^{3} C_{n}^{3} + \dots + 2^{n} C_{n}^{n} = 243 (n \in N^{*})$ ，则 $C_{n}^{1} + C_{n}^{2} + C_{n}^{3} + \dots + C_{n}^{n}$ 的值为．

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20、复数 $z = 1 + 2 i + 3 i^{2} + \dots + 2022 i^{2021} + 2023 i^{2022}$ 的虚部为.

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