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相关试卷

1、平面上一系列点 $A_{1} (x_{1}, y_{1}), A_{2} (x_{2}, y_{2}), \cdot \cdot \cdot, A_{n} (x_{n}, y_{n}), \cdot \cdot \cdot$ ，其中 $A_{1} (1, 2), y_{n} > y_{n + 1} > 0$ ，已知 $A_{n}$ 在曲线 $y^{2} = 4 x$ 上，圆 $A_{n} : {(x - x_{n})}^{2} + {(y - y_{n})}^{2} = r_{n}^{2}$ 与y轴相切，且圆 $A_{n}$ 与圆 $A_{n + 1}$ 外切，则 $A_{3}$ 的坐标为；记 $b_{n} = y_{n} y_{n + 1}$ ，则数列 $\{b_{n}\}$ 的前6项和为．

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2、已知 $C_{n}^{0} + 2 C_{n}^{1} + 2^{2} C_{n}^{2} + 2^{3} C_{n}^{3} + \dots + 2^{n} C_{n}^{n} = 243 (n \in N^{*})$ ，则 $C_{n}^{1} + C_{n}^{2} + C_{n}^{3} + \dots + C_{n}^{n}$ 的值为．

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3、复数 $z = 1 + 2 i + 3 i^{2} + \dots + 2022 i^{2021} + 2023 i^{2022}$ 的虚部为.

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4、设 $f (x)$ ， $g (x)$ 都是定义在 $R$ 上的奇函数，且 $f (x)$ 为单调函数， $f (1) > 1$ ，若对任意 $x \in R$ 有 $f (g (x) - x) = a$ （a为常数）， $g (f (x + 2)) + g (f (x)) = 2 x + 2$ ，则（）

A、 $g (2) = 0$ B、 $f (3) < 3$ C、 $f (x) - x$ 为周期函数 D、 $\sum_{k = 1}^{n} f (4 k) > 2 n^{2} + 2 n$

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5、如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点E，F分别是 $D D_{1}$ 和 $B D_{1}$ 的中点，则（）

A、 $C_{1} F / / A E$ B、 $C_{1} F ⊥ A_{1} D$ C、点F到平面EAC的距离为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、过E作平面 $α$ 与平面ACE垂直，当 $α$ 与正方体所成截面为三角形时，其截面面积的范围为 $[\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{14}}{3}]$

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6、已知函数 $f (x) = (x^{2} + a x + b) e^{x}$ ，下列结论正确的是（）

A、若函数 $f (x)$ 无极值点，则 $f (x)$ 没有零点 B、若函数 $f (x)$ 无零点，则 $f (x)$ 没有极值点 C、若函数 $f (x)$ 恰有一个零点，则 $f (x)$ 可能恰有一个极值点 D、若函数 $f (x)$ 有两个零点，则 $f (x)$ 一定有两个极值点

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7、如图， $⊙ O$ 的半径等于2，弦BC平行于x轴，将劣弧BC沿弦BC对称，恰好经过原点O，此时直线 $y = - x + m$ 与这两段弧有4个交点，则m的可能取值为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{6}{7}$ D、1

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8、假设甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和2个红球.现从甲袋中任取2个球放入乙袋，混匀后再从乙袋中任取2个球.已知从乙袋中取出的是2个白球，则从甲袋中取出的也是2个白球的概率为（）

A、 $\frac{37}{150}$ B、 $\frac{9}{75}$ C、 $\frac{18}{37}$ D、 $\frac{1}{2}$

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9、设 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的左右焦点， $P$ 为双曲线左支上一点，且满足 $|P F_{1}| = |F_{1} F_{2}|$ ，直线 $P F_{2}$ 与双曲线的一条渐近线垂直，则双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{5}{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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10、函数 $f (x) = \sin (ω x + φ) (ω > 0, 0 < φ < π)$ 的部分图象如图所示， $△ A B C$ 是等腰直角三角形，其中 $A, B$ 两点为图象与 $x$ 轴的交点， $C$ 为图象的最高点，且 $|O B| = 3 |O A|$ ，则 $f (2024) =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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11、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $P$ 在直线 $3 x + 4 y + 1 = 0$ 上.若向量 $\vec{a} = (3, 4)$ ，则 $\vec{O P}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量为（）

A、 $(- \frac{3}{5}, - \frac{4}{5})$ B、 $(\frac{3}{5}, \frac{4}{5})$ C、 $(- \frac{3}{25}, - \frac{4}{25})$ D、 $(\frac{3}{25}, \frac{4}{25})$

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12、四面体的四个面中，直角三角形最多可有（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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13、如图，一组数据 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, \cdot \cdot \cdot, x_{9}, x_{10}$ ，的平均数为5，方差为 $s_{1}^{2}$ ，去除 $x_{9}$ ， $x_{10}$ 这两个数据后，平均数为 $\bar{x}$ ，方差为 $s_{2}^{2}$ ，则（）

A、 $\bar{x} > 5$ ， $s_{1}^{2} > s_{2}^{2}$ B、 $\bar{x} < 5$ ， $s_{1}^{2} < s_{2}^{2}$ C、 $\bar{x} = 5$ ， $s_{1}^{2} < s_{2}^{2}$ D、 $\bar{x} = 5$ ， $s_{1}^{2} > s_{2}^{2}$

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14、已知集合 $P = \{x \in Z| - 2 < x < 4\}$ ， $Q = \{x| x^{2} + 2 x - 3 \leq 0\}$ ，则 $P \cap Q =$ （）

A、 $(- 2, 1]$ B、 $[- 3, 4)$ C、 $\{- 1, 1\}$ D、 $\{- 1, 0, 1\}$

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15、已知函数 $f (x) = ln x + 1, g (x) = e^{x} - 1$ .

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 与 $y = g (x)$ 的公切线的条数；

(2)、若 $a > 0, \forall x \in (- 1, + \infty), f (x + 1) \leq a^{2} g (x) + a^{2} - a + 1$ ，求 $a$ 的取值范围.

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16、为改善人口结构，我国自2021年5月31日起实施三胎政策.政策实施以来，某市的人口出生率得到了一定程度的提高，某机构对该市家庭生育情况进行抽查，抽取到第2个三胎家庭就停止抽取，记抽取的家庭数为随机变量 $X (X \geq 2)$ ，且该市随机抽取一户是三胎家庭的概率为 $\frac{1}{3}$ ，已知各家庭抽查结果相互独立.

(1)、求 $P (X = 4)$ ；

(2)、若抽取的家庭数X不超过n的概率不小于 $\frac{2}{3}$ ，求整数n的最小值.

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17、某同学在研究二项式定理的时候发现： $f (x) = {(1 + x)}^{n} = 1 + C_{n}^{1} x + C_{n}^{2} x^{2} + \dots + C_{n}^{n - 1} x^{n - 1} + C_{n}^{n} x^{n}$ 其中 $C_{n}^{r}$ 为 $x^{r}$ 的系数，它具有好多性质，如：① $1 + C_{n}^{1} + C_{n}^{2} + \dots + C_{n}^{n - 1} + C_{n}^{n} = 2^{n}$ ；② $C_{n}^{m} = C_{n}^{n - m}$ ；③ $k C_{n}^{k} = n C_{n - 1}^{k - 1}$ ；请借助于该同学的研究方法或者研究成果解决下列问题：

(1)、计算： $C_{7}^{1} + 2 C_{7}^{2} + 3 C_{7}^{3} + \dots + 7 C_{7}^{7}$ ；(请用数字作答)

(2)、若 $n \in N^{*}$ ，且 $n \geq 3$ ，证明： $\sum_{k = 1}^{n} k^{2} C_{n}^{k} = n (n + 1) \cdot 2^{n - 2}$ ；

(3)、设数列 $a_{0}$ ， $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， …， $a_{n}$ 是公差不为0的等差数列，证明：对任意的 $n \in N^{*}$ ，函数 $p (x) = a_{0} C_{n}^{0} {(1 - x)}^{n} + a_{1} C_{n}^{1} x {(1 - x)}^{n - 1} + a_{2} C_{n}^{2} x^{2} {(1 - x)}^{n - 2} + \dots + a_{n} C_{n}^{n} x^{n}$ 是关于x的一次函数.

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18、小家电指除大功率､大体积家用电器（如冰箱､洗衣机､空调等）以外的家用电器，运用场景广泛，近年来随着科技发展，智能小家电市场规模呈持续发展趋势，下表为连续5年中国智能小家电市场规模（单位：千亿元），其中年份对应的代码依次为 $1 \sim 5$ .
年份代码 $x$
1
2
3
4
5
市场规模 $y$
0.9
1.2
1.5
1.4
1.6

(1)、由上表数据可知，可用线性回归模型拟合 $y$ 与 $x$ 的关系，请用相关系数加以说明；

(2)、建立 $y$ 关于 $x$ 的经验回归方程（系数精确到0.01）.
参考数据： $: \bar{y} = 1.32, \sum_{i = 1}^{5} x_{i} y_{i} = 21.4, \sqrt{\sum_{i = 1}^{5} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}} \approx 0.55, \sqrt{10} \approx 3.16$ ；
参考公式：相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ ，回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}, \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ .

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19、数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} a_{n} + a_{n + 1} - a_{n} = 0$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{\cos n π}{2 a_{n}} + 2$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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20、“杨辉三角”是我国数学史上的一个伟大成就，是二项式系数在三角形中的一种几何排列.如图所示，去除所有为1的项，依此构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的前46项和为.

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年份代码 $x$	1	2	3	4	5
市场规模 $y$	0.9	1.2	1.5	1.4	1.6