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相关试卷

1、网络搜索已成为人们获取信息或解决问题的重要手段.为研究某传染性疾病的未来流行趋势，收集得到该疾病某月1号至30号的网络搜索量（单位：万次）如下：

时间	1号	2号	3号	4号	5号	6号	7号	8号	9号	10号	11号	12号	13号	14号	15号
搜索量	6.2	5.1	6.1	7.2	6.1	7.4	6.2	6.3	6.4	6.3	7.1	6.3	7.3	7.6	7.9
时间	16号	17号	18号	19号	20号	21号	22号	23号	24号	25号	26号	27号	28号	29号	30号
搜索量	8.5	11.2	10.3	9.1	9.6	10.1	10.6	10.9	8.8	10.4	8.2	11.5	12.1	12.8	13.6

用频率估计概率.

(1)、从2号至14号中任取1天，求该天的搜索量比其前后两日的搜索量都低的概率；

(2)、假设该疾病每天的搜索量变化是相互独立的.在未来的日子里任取3天，试估计这3天该疾病搜索量的数据中既有高于10万又有低于8万的概率；

(3)、记表中30天的搜索量的平均数为

x_{1}

，去除搜索量中最大的3个和最小的3个后剩余24个搜索量的平均数为

x_{2}

，试给出

x_{1}

与

x_{2}

的大小关系.（结论不要求证明）

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2、如图，在三棱锥 $D - A B C$ 中，平面 $D A B ⊥$ 平面 $A B C, A B ⊥ A C, E, F$ 分别为 $D A, D C$ 的中点．

(1)、求证：平面 $B E F ⊥$ 平面 $D A B$ ；

(2)、设 $A B = A C = 2$ ，从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择两个作为已知，求平面 $B E F$ 与平面 $A B C$ 夹角的余弦值．
条件①： $A D = 2$ ；
条件②： $B D = B C$ ；
条件③： $A B ⊥ C D$ ．
注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．

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3、已知 $△ A B C$ 中， $\sqrt{3} sin A + 2 {sin}^{2} \frac{A}{2} = 2$ ．

(1)、求 $∠ A$ 的大小；

(2)、设 $D$ 为 $A B$ 的中点，且 $sin ∠ A D C = \frac{\sqrt{21}}{7}, A C = 2$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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4、数学中有许多形状优美，应用广泛的曲线．双纽线 $C : {(x^{2} + y^{2})}^{2} = 2 a^{2} (x^{2} - y^{2})$ 就是其中之一（如图），其定义为：在平面内，到两个定点 $A (- a, 0)$ 和 $B (a, 0) (a > 0)$ 的距离之积为常数 $a^{2}$ 的点的轨迹．设 $P (x_{0}, y_{0}) (y_{0} \neq 0)$ 为 $C$ 上一点，给出下列四个结论：
① $|x_{0}| \leq \sqrt{2} a$ ；
② $|y_{0}| \leq \frac{a}{2}$ ；
③若点 $P$ 在第一象限，则 $|O P| < \sqrt{2} x_{0}$ ；
④ $△ P A B$ 的周长可以等于 $5 a$ ．
其中，所有正确结论的序号是．

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5、在数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 4, a_{5} = - 3$ ，且任意连续三项的和均为7，则 $a_{2025} =$ ；记数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则使得 $S_{n} \leq 100$ 成立的最大整数 $n =$ ．

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6、设函数 $f (x) = 2 sin (2 x + \frac{2 π}{3})$ ，则使得函数 $f (x + φ) (|φ| < \frac{π}{2})$ 在区间 $(0, \frac{π}{2})$ 上存在最大值的一个 $φ$ 值为．

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7、一个金属模具的形状，大小如图所示，它是圆柱被挖去一个倒立的圆锥剩余的部分，那么该模具的体积为．

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8、函数 $f (x) = \sqrt{x + 1} + \frac{3}{x^{2}}$ 的定义域为．

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9、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} 4 x - 4 a, & x \leq 1, \\ x^{2} - 2 a x + 3, & x > 1 \end{array}$ 若对于任意的 $x \in R$ ，都有 $f (x + 2) > f (x)$ ，那么实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[- 4, 4)$ B、 $[- 4, 2]$ C、 $(- \infty, 4)$ D、 $(- \infty, 2]$

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10、设正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，P为正方体表面上一点，且点P到直线 $A A_{1}$ 的距离与它到平面ABCD的距离相等，记动点P的轨迹为曲线W，则曲线W的周长为（）

A、 $3 \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{2} + π$ C、 $6 \sqrt{2}$ D、 $4 \sqrt{2} + π$

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11、小明在某印刷服务公司看到如下广告：“本公司承接图纸复印业务，规格可达A1，B1大小……”.他不禁好奇：A1，B1复印纸有多大呢？据查：所有的复印纸均为矩形，其长与宽的比值不变，且两张A4纸可以拼接成一张A3纸，两张A3纸可以拼接成一张A2纸…….已知A4纸的宽为210mm，那么A1纸的长和宽约为（）

A、840mm，594mm B、840mm，588mm C、594mm，420mm D、588mm，420mm

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12、设平面向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 不共线， $k, s \in R$ ，则“ $\vec{a} + k \vec{b}$ 与 $s \vec{a} + 2 \vec{b}$ 共线”是“ $s k = 2$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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13、设 $F (c, 0)$ 为双曲线 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右焦点．已知 $a, b, c$ 成等差数列，那么双曲线 $E$ 的离心率等于（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{5}{3}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、2

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14、设圆 $x^{2} + y^{2} + 4 x - 6 y + 5 = 0$ 的圆心为 $M$ ，直线 $y = - x + t$ 与该圆相交于两点 $A, B$ ．若 $\vec{M A} \cdot \vec{M B} = - 4$ ，则实数 $t =$ （）

A、1 B、3或1 C、3 D、3或 $- 1$

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15、若 ${(x^{2} + 1)}^{4} = a_{0} + a_{1} x^{2} + a_{2} x^{4} + a_{3} x^{6} + a_{4} x^{8}$ ，则 $a_{0} - a_{1} + a_{2} - a_{3} + a_{4} =$ （）

A、0 B、1 C、4 D、8

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16、设 $a = lg 2, b = lg 3$ ，则 $lg 15 =$ （）

A、 $(1 - a) b$ B、 $1 - a + b$ C、 $(1 + a) b$ D、 $1 + a - b$

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17、已知集合 $A = \{x |x^{2} + 2 x = 0\}$ ，集合 $B = \{x |x + 1 > 0\}$ ，那么（）

A、 $A \cap B = \emptyset$ B、 $A \subseteq B$ C、 $B \subseteq A$ D、 $(∁_{R} A) \cap B \neq \emptyset$

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18、定义在 $D$ 上的可导函数 $y = f (x)$ ，集合 $A_{(k, m)} = \{f (x) | F (x_{i}) = k, x_{i} \in D,$ $i = 1, 2, \dots, m,$ $m$ 为正整数 $}$ ，其中 $F (x) = f (x) + f^{'} (x)$ 称为 $f (x)$ 的自和函数， $x_{i}$ 称为 $y = f (x)$ 的固着点. 已知 $f (x) = a e^{x} + b x + c sin x (a, b, c \in R)$ .

(1)、若 $a = c = 0, b = 2, D = R$ ， $f (x) \in A_{(1, m)}$ ，求 $m$ 的值及 $y = f (x)$ 的固着点；

(2)、若 $a = 0, b = 1, c = 1, D = [s, t] (s > 0)$ ， $F (x)$ 是 $f (x)$ 的自和函数，且 $F (x)$ 在 $D$ 上是严格增函数，求 $t - s$ 的最大值；

(3)、若 $b = - 1, c = 0, D = (0, + \infty)$ ， $f (x) \in A_{(0, 1)}$ ，且 $t$ 是 $y = f (x)$ 的固着点，求 $a$ 的取值范围，并证明： $\frac{1}{2 a} < e^{t} < \frac{1}{a^{2}}$ .

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19、已知双曲线 $C : x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1_{} ， F_{1} 、 F_{2}$ 分别是其左、右焦点，直线 $l$ 与双曲线 $C$ 的右支交于 $A 、 B$ 两点.

(1)、当直线 $l$ 过点 $F_{2}$ ，且 $|A B| = 6$ 时，求 $△ A B F_{1}$ 的周长；

(2)、已知点 $N (- 2, 3)$ ，若直线 $A N 、 B N$ 的斜率之和为 $0$ ，且 $\tan ∠ A N B = \frac{4}{3}$ ，当 $A N 、 B N$ 分别与 $y$ 轴交于点 $R 、 S$ 时，求 $△ R S N$ 的面积；

(3)、已知直线 $l$ 过点 $F_{2}$ ， $P$ 是双曲线 $C$ 上一点且位于第一象限，且满足 $\vec{O Q} = 2 \vec{O P}$ 的点 $Q$ 在线段 $A B$ 上，若 $\vec{A B} = 2 \vec{Q F_{2}}$ ，求点 $P$ 的坐标.

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20、某游乐园的活动项目共有三类，分别是“过山车”等10个体验类项目、“海豚之舞”等4个表演类项目、“智力闯关”等3个互动类项目.因设备维护需要，项目并非每日都全部开放.以下数据是项目开放的数量 $x$ （个）和游客平均等待时间 $y$ （分钟/个）的关系：
项目类别
体验类
演出类
互动类
开放数量 $x$ （个）
4
5
6
7
8
2
4
2
3
平均等待时间 $y$ （分钟/个）
76
73
67
m
60
53
30
46
30

(1)、体验类项目中，若 $y$ 关于 $x$ 的回归方程为 $y = - 4.3 x + 93.8$ ，请计算 $m$ 的值，并依据该模型预测所有体验类项目均开放时的平均等待时间（精确到整数）；

(2)、小王游玩当日，体验类、演出类、互动类项目分别开放了8个、4个、3个，他计划随机游玩其中的3个项目，已知他选择的项目中至少包含1个互动类项目，求他的等待总时间恰为120分钟的概率；

(3)、为提高游客的参与度，园方在互动类项目“智力闯关”中设计了两关.通过第一关的游客奖励20个游园币，游客可以选择结束或继续闯关.若继续闯关，则必须完成第二关的所有题目.第二关包含2道相互独立的选择题，每答对1题可再奖励20个游园币，每答错1题则要扣除10个游园币.每个游园币可兑换园区内任意一个项目的1分钟等待时间.小王已通过第一关，假设他在第二关中每道题答对的概率均为 $p$ ，为了获得更多项目等待时间的兑换奖励，小王是否应该继续闯关？请你帮他做出决策.

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项目类别	体验类					演出类		互动类
开放数量 $x$ （个）	4	5	6	7	8	2	4	2	3
平均等待时间 $y$ （分钟/个）	76	73	67	m	60	53	30	46	30