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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = x^{3} - 3 a^{2} x (a > 0)$ 的极大值点和极小值点分别记为 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ ，过点 $M (x_{1}, f (x_{1}))$ ， $N (x_{2}, f (x_{2}))$ 分别作x轴的平行线交 $f (x)$ 的图象于点C，A，过点M，N构造矩形 $A B C D$ ，如图所示，则下列说法正确的是（）

A、 $x_{2} - x_{1} = 2 a$ B、点M为线段CD的三等分点 C、当 $a = 1$ 时，四边形ABCD为正方形 D、当 $a = 1$ 时，四边形 $A M C N$ 为菱形

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2、有一组样本数据 $x_{1}, x_{2}, \cdot \cdot \cdot, x_{9}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < \cdot \cdot \cdot < x_{9}$ ，平均数为 $\bar{x}$ ，中位数为M，现对这组数据做如下变换： $y_{i} = x_{i} + i (i = 1, 2, \cdot \cdot \cdot, 9)$ ，得到一组新数据 $y_{1}, y_{2}, \cdot \cdot \cdot, y_{9}$ ，则下列说法正确的是（）

A、新数据的极差等于原数据的极差 B、新数据的平均数等于 $\bar{x} + 5$ C、新数据的方差大于原数据的方差 D、新数据的中位数等于 $M + 5$

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3、已知O为坐标原点，直线l与x轴交于Q点，与抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 交于A，B两点，且 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = - 4$ ，则（）

A、 $\frac{1}{|Q A|} + \frac{1}{|Q B|} = 1$ B、 $\frac{1}{| Q A |^{2}} + \frac{1}{| Q B |^{2}} = 1$ C、 $\frac{1}{|Q A|} + \frac{1}{|Q B|} = \frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{| Q A |^{2}} + \frac{1}{| Q B |^{2}} = \frac{1}{4}$

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4、已知圆台的上下底面的半径分别为1和3，圆台的侧面积为 $16 π$ ，若圆台内接于球 $O$ ，则球 $O$ 的半径为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $\frac{\sqrt{21}}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{21}}{3}$ D、 $\sqrt{21}$

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5、甲、乙、丙、丁、戊五名同学参加某项竞赛，决出了第一名到第五名的5个名次.甲、乙两人去询问成绩，组织者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军.”对乙说：“你当然不会是最差的.”从组织者的回答分析，这五名同学的名次排列的种数为（）

A、24 B、54 C、72 D、120

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6、已知正项等比数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{5} - a_{1} = 15$ ， $a_{4} - a_{2} = 6$ ，则 $a_{3} =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $2$ D、 $4$

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7、已知函数 $f (x) = sin (ω x + \frac{π}{4})$ $(ω > 0)$ 在区间 $(0, \frac{π}{2})$ 内恰有一个极值点，则 $ω$ 可能的取值为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、2 D、4

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8、若 ${(1 - x)}^{5} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{5} x^{5}$ ，则 $a_{0} - a_{1} + a_{2} - a_{3} + a_{4} - a_{5}$ 的值为（）

A、 $0$ B、 $16$ C、 $32$ D、 $64$

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9、双曲线 $\frac{y^{2}}{2} - x^{2} = 1$ 的实轴长为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、 $2 \sqrt{2}$

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10、已知命题 $p : \exists x \in R$ ， $x^{2} - x + 1 \leq 0$ ，那么 $\neg p$ 为（）

A、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} - x + 1 > 0$ B、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} - x + 1 > 0$ C、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} - x + 1 \leq 0$ D、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} - x + 1 \geq 0$

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11、已知定义在R上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x + y) = f (x) + f (y) + 3$ ，且当 $x > 0$ 时， $f (x) > - 3$ ．

(1)、求 $f (0)$ 的值，并证明： $F (x) = f (x) + 3$ 为奇函数；

(2)、求证： $f (x)$ 在R上是增函数；

(3)、若 $f (1) = 2$ ，求不等式 $f (x^{2} + x) + f (1 - 2 x) > 9$ 的解集．

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12、为弘扬我国古代的“六艺”文化，某中学计划开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门校本课程，每月一门，连续开设六个月，则下列说法正确的是（）

A、若学生甲和乙各自从中任选2门，则他们共有225种不同的选法 B、若课程“乐”排在“书”前面，则课程共有240种排法 C、若课程“射”“御”排在不相邻两个月，则课程共有480种排法 D、若课程“数”不排在第一个月，课程“礼”不排在第六个月，则课程共有504种排法

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13、某厂的一车间有3台大型机床，一个月内每台机床至多发生1次故障且每台机床是否发生故障相互独立，每台机床发生故障的概率为 $\frac{1}{3}$ ，发生故障时需1名维修工人进行维修.

(1)、若发生故障的机床数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列；

(2)、已知每名维修工人每月的工资为3万元，且1名维修工人每月至多只能维修1台机床，每台机床不发生故障或发生故障能及时维修，就能为该车间产生9万元的利润，否则将不产生利润.现该厂准备为该车间招聘 $k (k = 0, 1, 2, 3)$ 名维修工人，设该车间每月获利为 $Y_{k} (k = 0, 1, 2, 3)$ .
（i）当 $k = 1$ ，即该厂准备为该车间招聘1名维修工人时，求该车间每月获利的均值 $E (Y_{1})$ ；
（ii）若你是该厂厂长，请你决定招聘维修工人的人数 $k$ 的值，并说明理由.

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14、已知在 ${(\sqrt{x} + \frac{1}{2 \sqrt[3]{x}})}^{n}$ 的展开式中，前 $3$ 项的系数分别为 $a_{1}$ 、 $a_{2}$ 、 $a_{3}$ ，且满足 $2 a_{2} = a_{1} + a_{3}$ .

(1)、展开式中是否存在常数项，若存在，求出该常数项；若不存在，请说明理由；

(2)、求展开式中系数最大的项.

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15、某市高二年级期末统考的数学成绩 $X$ 近似服从正态分布 $X \sim N (100, 144)$ .

(1)、估计数学成绩超过112分的人数占总人数的比例；

(2)、若该市有10000名高二年级考生，估计全市数学成绩在 $(88, 124]$ 内的学生人数.
参考数据：若 $X \sim N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < X \leq μ + σ) = 0.6827$ ， $P (μ - 2 σ < X \leq μ + 2 σ) = 0.9545$ ， $P (μ - 3 σ < X \leq μ + 3 σ) = 0.9973$ .

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16、某校为了了解本校高二学生每周课外阅读情况，以便有针对性提供阅读建议，学校随机抽查了高二年级的100名同学，依据获得的数据将时间按 $[0, 1)$ ， $[1, 2)$ ， $[2, 3)$ ， $[3, 4)$ ， $[4, 5)$ ， $[5, 6]$ 分组，得到如下的频率分布直方图.

(1)、求 $a$ 的值，并估计该校高二年级每周课外阅读时间的平均数 $\bar{x}$ （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

(2)、若采用分层抽样的方法在 $[0, 1)$ ， $[5, 6]$ 两组抽取6人，再从这6人中随机选取3人座谈，设选取的阅读时间在 $[0, 1)$ 的人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列及数学期望 $E (X)$ .

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17、高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡着一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内.如图所示的高尔顿板有5层小木块，现小禹同学对该高尔顿板进行改进，小球在下落的过程中与小木块碰撞时，有 $\frac{1}{3}$ 的概率向左， $\frac{2}{3}$ 的概率向右滚下，小球共经过4次碰撞后，最后掉入编号为1、2、…、5的球槽内.将80个小球依次从高尔顿板上方的通道口落下，则2号球槽中落入个小球的概率最大.

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18、有5个男生和3个女生，现从中选出5人担任5门不同学科的课代表，已知男生甲必须包括在内，但不担任语文课代表，则不同选法有种.（用数字回答）.

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19、已知 ${(2 x - 1)}^{6} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + \dots + a_{6} x^{6}$ ，则 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{6} =$ ．

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20、杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》、《日用算法》和《杨辉算法》.杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.杨辉三角本身包含了很多有趣的性质，数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究，则下列结论正确的是（）

A、第20行中最大的数是第11个数 B、第20行中从左到右第18个数与第19个数之比为 $6 : 1$ C、记第20行第 $i$ 个数为 $a_{i}$ ，则 $\sum_{i = 1}^{20} 2^{i - 1} a_{i} = 30^{20}$ D、第四斜行的数：1，4，10，20，…，构成数列 $\{a_{n}\}$ ，则数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $C_{n + 3}^{4}$

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