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相关试卷

1、已知复数 $z$ 满足 $(1 + i) z = 1 - i$ ，则 $z$ 的共轭复数为（）

A、 $- i$ B、 $i$ C、 $2 - i$ D、 $2 + i$

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2、双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数（历史上著名的“悬链线问题”与之相关）.其中双曲正弦函数： $\sinh (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$ ，双曲余弦函数： $\cosh (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$ （ $e$ 是自然对数的底数， $e = 2.71828 \dots$ ）.

(1)、求 $\cosh^{2} (x) - \sinh^{2} (x)$ 的值；

(2)、证明：两角和的双曲余弦公式 $\cosh (x + y) = \cosh (x) \cosh (y) + \sinh (x) \sinh (y)$ ；

(3)、若关于 $x$ 的不等式 $4 m \cosh^{2} (x) - 2 \sinh (2 x) - 3 \geq 0$ 在 $[\ln 2, + \infty)$ 上恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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3、如图，在平行四边形ABCD中， $\vec{B A} = \vec{a}$ ， $\vec{B C} = \vec{b}$ ， $\vec{C P} = 2 \vec{P D}$ ， $\vec{A D} = 3 \vec{A Q}$ ， $\vec{P Q} = λ \vec{a} + μ \vec{b}$ ，

(1)、求 $λ + μ$ 的值；

(2)、若 $|\vec{a}| = 2$ ， $|\vec{b}| = 3$ ， $∠ A B C = 60 °$ ，求 $\vec{B D} \cdot \vec{P Q}$ 的值．

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4、已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} cos x + \frac{\sqrt{3}}{2} sin x$ .在 $△ A B C$ 中， $f (B) = f (C)$ ，且 $b \neq c$ .

(1)、求 $∠ A$ 的大小：

(2)、若 $a = 5$ ， $b + c = 7$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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5、若函数 $f (x) = \sqrt{3} sin 2 ω x - 2 {cos}^{2} ω x + 1 (ω > 0)$ 在 $(0, \frac{π}{2})$ 上只有一个零点，则 $ω$ 的取值范围为.

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6、已知向量 $\vec{a} = (- 2, 6)$ ， $\vec{b} = (- 1, 2)$ ， $\vec{c} = (m, 1)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{c}$ ，则向量 $\vec{c}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量的坐标为.

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7、计算： $8^{- \frac{2}{3}} + {log}_{9} 8 \cdot {log}_{2} 3 =$ ．

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8、设复数 $z = \frac{1 + 3 i}{2 + i}$ ，则下列命题结论正确的是（）

A、 $z$ 的虚部为1 B、 $z$ 在复平面内对应的点在第四象限 C、 $|z| = \sqrt{2}$ D、 $z$ 是方程 $x^{2} - 2 x + 2 = 0$ 的根

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9、下列各式中，值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 的是（）

A、 $2 sin 15^{\circ} cos 15^{\circ}$ B、 $\frac{1 + tan 15^{\circ}}{2 (1 - tan 15^{\circ})}$ C、 $1 - 2 {sin}^{2} 15^{\circ}$ D、 $\frac{2 tan 15^{\circ}}{1 - {tan}^{2} 15^{\circ}}$

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10、若角 $θ$ 的终边与单位圆的交点坐标是 $(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ ，则 $\cos (\frac{π}{2} + θ) =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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11、设四边形 $A B C D$ 为矩形， $|\vec{A B}| = 6$ ， $|\vec{A D}| = 4$ ，若点 $M$ ， $N$ 满足 $\vec{B M} = \frac{1}{3} \vec{M C}$ ， $\vec{D N} = 2 \vec{N C}$ ，则 $\vec{A M} \cdot \vec{A N} =$ （）

A、28 B、32 C、36 D、40

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12、在 $△ A B C$ 中，点 $P$ 是 $∠ B A C$ 内一点，

(1)、如图，若 $\vec{B O} = λ \vec{B C}, \vec{A P} = \frac{3}{7} \vec{A O}$ ，过点 $P$ 的直线 $l$ 交直线 $A B, A C$ 分别于 $M, N$ 两点，且 $\vec{A M} = m \vec{A B}, \vec{A N} = n \vec{A C}$ ，已知 $λ, m, n$ 为非零实数.试求 $\frac{1 - λ}{m} + \frac{λ}{n}$ 的值.

(2)、若 $\vec{A B} ⊥ \vec{A C}$ ，且 $|\vec{A P}| = 2, \vec{A P} \cdot \vec{A B} = 2, \vec{A P} \cdot \vec{A C} = 1$ ，设 $∠ B A P = α$ ，试将 $|\vec{A B} + \vec{A C} + \vec{A P}|$ 表示成关于 $α$ 的函数，并求其最小值.

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13、设 $△ A B C$ 的三个内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $sin (A - \frac{π}{6}) = cos A$ .

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若 $a = 2$ ，求 $b + c$ 的最大值；

(3)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，且 $a = 1$ ，求 $b^{2} + c^{2}$ 的取值范围.

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14、如图，在几何体 ABCDEF中，四边形ABCD为平行四边形，G为FC的中点，平面ABFE∩平面CDEF=EF

(1)、证明：AF//平面BDG

(2)、证明：AB//EF

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15、在复平面内，复数 $z$ 对应的点的坐标为 $(m, - 1) (m \in R)$ ，且 $\bar{z} (1 + 3 i)$ 为纯虚数.

(1)、求 $m$ 的值：

(2)、复数求 $z_{1} = \frac{a + i^{2025}}{z}$ 在复平面对应的点在第一象限，求实数 $a$ 的取值范围.

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16、已知灯塔A在海洋观测站C的北偏东40°的方向上，A，C两点间的距离为5海里．某时刻货船B在海洋观测站C的南偏东80°的方向上，此时B，C两点间的距离为8海里，该时刻货船B与灯塔A间的距离为海里．

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17、如图，已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，点M为 $C C_{1}$ 的中点，点P为底面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 上的动点（包括边界），则（）

A、满足 $M P //$ 平面 $B D A_{1}$ 的点P的轨迹长度为 $\sqrt{2}$ B、满足 $|M P| = \sqrt{6}$ 的点P的轨迹长度小于 $\sqrt{2}$ C、存在点P满足 $∠ A P M = 90 °$ D、存在点P满足 $P A + P M = 4$

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18、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1， $P$ 为 $A C$ 的中点，则三棱锥 $P - A_{1} C_{1} B$ 的外接球的表面积为（）

A、 $\frac{5}{2} π$ B、 $\frac{11}{4} π$ C、 $3 π$ D、 $\frac{13}{4} π$

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19、在 $△ A B C$ 中角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，若 $a = 1$ ， $A = 30 °$ ， $b = x$ ，则（）

A、当 $x = \sqrt{2}$ 时， $B = 45 °$ B、当 $x > 1$ 时， $△ A B C$ 有两个解 C、当 $0 < x < 1$ 时， $△ A B C$ 只有一个解 D、对一切 $x > 0$ ， $△ A B C$ 都有解

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20、如图，桌面上放置着两个底面半径和高都是 $R$ 的几何体，左边是圆柱挖去一个倒立的圆锥（以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点）剩余的部分，右边是半球，用平行于桌面的平面截这两个几何体，截得左边几何体的截面面积为 $S_{1}$ ，截得半球的截面面积为 $S_{2}$ ，则（）

A、 $S_{1} < S_{2}$ B、 $S_{1} = S_{2}$ C、 $S_{1} > S_{2}$ D、 $S_{1}$ 与 $S_{2}$ 的大小关系不确定

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